EP04 GP 2013 2 Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Geometria Plana – EP04 – Tutor
Prezado(a) aluno(a),
o conteu´do desta semana voceˆ encontra no seguinte cap´ıtulo do livro de Geometria Ba´sica - Mo´dulo
1 - Volume 1 - (Autores: Dirce Uesu Pesco/Roberto Geraldo Tavares Arnaut),
Aula 3: Pol´ıgonos Convexos.
Exerc´ıcio 1: Seja o pol´ıgono regular ABCDE · · · , determine esse pol´ıgono sabendo que os prolo-
gamentos dos lados AB e DC fazem um aˆngulo que mede
8
9
do seu aˆngulo interno.
Soluc¸a˜o: Considere o pol´ıgono regular ABCDE · · · , denote P a intersec¸a˜o dos prolongamentos dos
lados AB e CD. Por hipo´tese BP̂C =
8 Ai
9
.
A
C
P
B
Ai
D
Ai
Temos no ∆PBC
180◦ − Ai + 180◦ − Ai +BP̂C = 180◦ ⇒ 360◦ − 2 Ai + 8 Ai
9
= 180◦
Enta˜o
180◦ =
10 Ai
9
⇒ Ai = 9 · 18◦ ⇒ Ai = 162◦
Mas Ai =
180◦(n− 2)
n
pois o pol´ıgono e´ regular. Assim
162◦ =
180◦(n− 2)
n
⇒ 180◦n− 360◦ = 162◦n ⇒ 18n = 360◦ ⇒ n = 20.
Portanto o pol´ıgono e´ o icosa´gono.
Exerc´ıcio 2: Sa˜o dados dois pol´ıgonos regulares P1 e P2, tais que o aˆngulos externo de P1 e´ igual a
vige´sima parte da soma dos aˆngulos internos de P2 e o aˆngulo interno de P1 representa o triplo do
aˆngulo externo de P2. Determine o nu´mero de diagonais de P1 e P2.
Soluc¸a˜o: Considere P1 e P2 com nu´mero de ve´rtices n1 e n2, respectivamente.
AeP1 =
1
20
SiP2
AiP1 = 3 AeP2
⇒

360
n1
=
1
20
· 180(n2 − 2)
180(n1 − 2)
n1
= 3 · 360
n2
⇒

n1 · n2 − 2 n1 = 40
6 n1 = n1 · n2 − 2 n2
Geometria Plana – EP04 Tutor 2
Assim 
n1 · n2 = 40 + 2 n1
n1 · n2 = 6 n1 + 2 n2
⇒ 40 + 2 n1 = 6 n1 + 2 n2 ⇒ n2 = 20− 2n1
Enta˜o
6 n1 = n1 · n2 − 2 n2 ⇒ 6 n1 = n1(20− 2 n1)− 2(20− 2 n1) ⇒ n21 − 9 n1 + 20 = 0
Resolvendo a equac¸a˜o de segundo grau:
n1 =
9±√81− 80
2
=

9 + 1
2
= 5
9− 1
2
= 4
Se n1 = 5 ⇒ n2 = 20− 10 = 10
Se n1 = 4 ⇒ n2 = 20− 8 = 12
Temos duas soluc¸o˜es :
Para n1 = 5 e n2 = 10, enta˜o
d1 =
5(5− 3)
2
=
5 · 2
2
= 5 e d2 =
10(10− 3)
2
=
10 · 7
2
= 35
ou para n1 = 4 e n2 = 12, enta˜o
d1 =
4(4− 3)
2
=
4 · 1
2
= 2 e d2 =
12(12− 3)
2
=
12 · 9
2
= 54
Exerc´ıcio 3: Determine o geˆnero do pol´ıgono cujo nu´mero de diagonais excede de 25 o nu´mero de
lados.
Soluc¸a˜o: Seja d = n+ 25.
n(n− 3)
2
= n+ 25 ⇒ n2 − 5n− 50 = 0
n =
5±√25 + 200
2
=

5 + 15
2
= 10
5− 15
2
= −5 (na˜o, pois e´ negativo)
Logo n = 10.
Exerc´ıcio 4: Determine o nu´mero ma´ximo de pontos de intersec¸a˜o das diagonais de um pol´ıgono
convexo de seis lados.
Nota: Na˜o considere os ve´rtices do pol´ıgono.
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Geometria Plana – EP04 Tutor 3
Soluc¸a˜o: Seja o pol´ıgono convexo de 6 lados. Note que o pol´ıgono na˜o e´ regular.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
V
V
V
V
V
V
1
2
3
4
5
6
Quanto a intersec¸a˜o entre das diagonais, observe que as diagonais V1V3, V2V4, V3V5, V4V6, V5V1
e V6V2 interceptam em, no ma´ximo, treˆs pontos, enquanto que as diagonais V1V2, V2V5 e V3V6
interceptam em, no ma´ximo, quatro pontos. Totalizando em 15 o nu´mero ma´ximo de pontos de
intersec¸a˜o das diagonais de um pol´ıgono convexo de seis lados.
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