EP05 GP 2013 2 Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Geometria Plana – EP05 – Tutor
Prezado(a) aluno(a),
o conteu´do desta semana voceˆ encontra no seguinte cap´ıtulo do livro:
Geometria Ba´sica - Mo´dulo 1 - Vol. 1,(Autores:Dirce Uesu Pesco/Roberto Geraldo Tavares Arnaut),
Aula 4: Aˆngulos em uma Circunfereˆncia;
Voceˆ tambe´m pode encontrar o conteu´do dessa aula na Plataforma, na sec¸a˜o Cadernos Dida´ticos.
Exerc´ıcio 1: De um ponto M1 exterior a uma circunfereˆncia de centro O, trac¸am-se as secantes
MAB e MDC onde A esta´ entre M e B e D esta´ entre M e C. Sabendo que o arco AD excede
o aˆngulo M̂ de 10◦ e, ainda que,
_
BC
_
AD
=
5
2
, determine o valor da medida do aˆngulo M̂ .
Soluc¸a˜o: Do enunciado:
A
B
D
C
M
O
m(
_
AD)−m(M̂) = 10◦ (1)
e
_
BC
_
AD
=
5
2
(2)
Como m(M̂) =
m(
_
BC)−m(
_
AD)
2
(3)
De (2) vem m(
_
BC) =
5
2
m(
_
AD) (4)
De (1) vem m(M̂) = m(
_
AD)− 10◦ (5)
Substituindo (4) e (5) em (3), vem: m(
_
AD)− 10◦ =
5
2
m(
_
AD)−m(
_
AD)
2
m(
_
AD)− 10◦ = 3
4
m(
_
AD) ⇒ m(
_
AD) = 40◦
De (1) vem 40◦ −m(M̂) = 10◦ ⇒ m(M̂) = 30◦
Exerc´ıcio 2: Calcule os aˆngulos do quadrila´tero inscrito ABCD sabendo que a diagonal AC faz
com os lados AB e AD um aˆngulo de 45◦ e com a diagonal BD um aˆngulo de 70◦.
Soluc¸a˜o: De acordo com os dados do enunciado:
Geometria Plana – EP05 Tutor 2
A
45º
B
C
D
45º
70º
A corda BD e´ o diaˆmetro da circunfereˆncia, ja´ que
BÂD =
_
BD
2
⇒
_
BD= 180◦
e 45◦ =
_
BC
2
e 45◦ =
_
CD
2
70◦ =
_
AB +
_
CD
2
⇒ 140◦ =
_
AB +90◦ ⇒
_
AB= 140◦ − 90◦ = 50◦.
Da´ı
_
AD= 180◦ − 50◦ = 130◦ e  = 45◦ + 45◦ = 90◦, B̂ =
_
AD +
_
DC
2
=
130◦ + 90◦
2
= 110◦
Ĉ = 90◦, pois BD e´ diaˆmetro, e D̂ =
_
AB +
_
BC
2
=
50◦ + 90◦
2
= 70◦.
Portanto os aˆngulos pedidos sa˜o : Â = 90◦, B̂ = 110◦, Ĉ = 90◦ e D̂ = 70◦.
Exerc´ıcio 3: Um dos aˆngulos agudos de um trape´zio iso´sceles ABCD, inscrito em um c´ırculo mede
67◦30′.
A
O
67º30'
D
C
B
M
t
T
a) Encontre o valor dos arcos subentendidos pelas bases deste trape´zio,
sabendo que os lados na˜o paralelos subentendem arcos iguais a 60◦.
b) Pela extremidade B da base maior trac¸a-se a tangente a` circunfereˆncia.
Qual o valor do aˆngulo formado pela mesma com a base maior?
c) Calcule o aˆngulo das diagonais e o aˆngulo exterior M̂ formado
pelo prolongamento dos lados na˜o paralelos.
Soluc¸a˜o:
a) m(
_
DCB) = 2 ·m(Â) = 2 · 67◦30′ = 135◦.
m(
_
DC) = m(
_
DB)−m(
_
CB) = 135◦ − 60◦ = 75◦
m(
_
AB) = 360◦− (m(
_
BC)+m(
_
CD)+m(
_
DA)) = 360◦− (60◦+75◦+60◦) = 360◦−195◦ = 165◦.
b) m(AB̂T ) =
m(
_
AB)
2
=
165◦
2
= 82◦30′.
c) Seja N a intersec¸a˜o das diagonais AC e BD, enta˜o
m(AN̂B) =
m(
_
DC) +m(
_
AB)
2
=
75◦ + 165◦
2
= 120◦.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Geometria Plana – EP05 Tutor 3
m(AM̂B) =
m(
_
AB)−m(
_
DC)
2
=
165◦ − 75◦
2
= 45◦.
Exerc´ıcio 4: Seja um triaˆngulo equila´tero ABC inscrito em uma circunfereˆncia. Tomemos um ponto
D situado sobre o arco AB. Ligue D a A, D a B e D a C, tomemos sobre DC o comprimento
DM = DA:
A
B
M
C
D
a) Mostre que o triaˆngulo DAM e´ equila´tero.
b) Mostre que os segmentos MC e DB tem a mesma medida.
c) Conclua que DC = DA+DB.
Soluc¸a˜o:
a) Temos que AD̂M = AB̂C = 60◦, ja´ que AD̂M =
_
AC
2
e AB̂C = 60◦ =
_
AC
2
.
Como DM = DA enta˜o DÂM = DM̂A =
180◦ − 60◦
2
= 60◦. Logo ∆ADM e´ equila´tero.
b) ∆AMC ≡ ∆ADB pois

MĈA = DB̂A =
_
AD
2
CÂM = DÂB = 60◦ −MÂB
AB = AC, (lados do triaˆngulo equila´tero )
, pelo crite´rio ALA.
Logo MC = DB
c) DM = DA e MC = DB, enta˜o DC = DM +MC = DA+DB.
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