AD2 GP 2013 2 Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Geometria Plana – AD2 – Gabarito – 2013.2
Questa˜o 1 [1,5 pt]: Um quadrila´tero ABCD esta´ inscrito em um c´ırculo. A corda AB subentende
um arco igual a
1
6
da circunfereˆncia e a corda DC um arco igual a
1
3
da circunfereˆncia. Sabendo
que a diagonal BD subentende um arco DAB igual a
5
12
da circunfereˆncia,
a) classifique o quadrila´tero ABCD,
b) calcule os aˆngulos formados pelas suas diagonais,
c) encontre o aˆngulo determinado pelos prolongamentos dos lados CB
e DA.
Soluc¸a˜o:
a) Temos
_
AB=
360◦
6
= 60◦,
_
DC=
360◦
3
= 120◦ e
_
DAB=
5 · 360◦
12
= 150◦, enta˜o
_
BC= 360◦ − 150◦ − 120◦ = 90◦ e
_
DA= 150◦ − 60◦ = 90◦.
Assim
_
DA=
_
BC, logo BÂD =
_
BC +
_
CD
2
=
90◦ + 120◦
2
=
210◦
2
= 105◦.
CD̂A =
_
AB +
_
BC
2
=
60◦ + 90◦
2
=
150◦
2
= 75◦.
Os aˆngulos internos  e D̂ do quadrila´tero ABCD sa˜o suplementares pois BÂD = 105◦ e
CD̂A = 75◦. Enta˜o AB//CD e
_
BC=
_
AD.
Portanto o quadrila´tero e´ um trape´zio iso´sceles.
b) CÎD =
_
AB +
_
CD
2
=
60◦ + 120◦
2
=
180◦
2
= 90◦. Portanto as diagonais sa˜o perpendicula-
res.
c) CM̂D =
_
CD −
_
AB
2
=
120◦ − 60◦
2
=
60◦
2
= 30◦
Questa˜o 2 [1,2 pt]: Dada uma circunfereˆncia de centro O e uma corda AB. Pelo ponto M , meio
do arco AB, trac¸amos duas cordas quaisquer MP e MQ que cortam a corda AB nos pontos N e
R, respectivamente. Mostre que o quadrila´tero NPQR e´ inscrit´ıvel.
Soluc¸a˜o: Considere a figura conforme enunciado:
Geometria Plana– Gabarito AD2 2
Para mostrar que o quadrila´tero NPQR e´ inscrit´ıvel temos que mostrar que P̂ + R̂ = 180◦.
Temos que P̂ =
_
QB +
_
BM
2
e R̂ =
_
AP +
_
PQ +
_
BM
2
=
_
AP +
_
PQ +
_
AM
2
, pois M esta´ na
metade do arco AB.
Assim P̂ + R̂ =
_
QB +
_
BM +
_
AP +
_
PQ +
_
AM
2
=
360◦
2
= 180◦.
Logo P̂ + R̂ = 180◦, portanto o quadrila´teroNPQR e´ inscrit´ıvel.
Questa˜o 3 [1,5 pt]: Sobre uma reta dada a medem-se a partir do ponto A, no mesmo sentido, os
comprimentos seguintes : AB = 3 cm, BC = 12 cm e CD = 15 cm. Sobre uma reta b paralela
a` primeira, a partir de certo ponto A′ qualquer, mede-se o segmento A′B′ = 5 cm. As retas AA′
e BB′ se cortam no ponto O. Trac¸am-se as retas CO e DO que interceptam b em C ′ e D′,
respectivamente. Se a distaˆncia entre as paralelas e´ igual a 6 cm,
a) determine a distaˆncia do ponto O a cada paralela,
b) encontre a medida dos segmentos B′C ′ e C ′D′ .
Soluc¸a˜o: Considere a reta a, a partir do ponto A medem-se, no mesmo sentido, os comprimentos
seguintes : AB = 3 cm, BC = 12 cm e CD = 15 cm. Sobre uma paralela b a` reta a, a partir de
A′, mede-se A′B′ = 5 cm. As retas AA′ e BB′ se cortam no ponto O. E a distaˆncia entre as duas
retas a, e b e´ 6 cm, ou seja, HH ′ = 6 cm.
a) Temos dois casos a considerar :
i) O e´ exterior as paralelas e ii) O e´ interior as paralelas:
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Geometria Plana– Gabarito AD2 3
Caso i) Se AB e A′B′ tem mesmo sentido, o ponto O e´ exterior as paralelas
OH ′
OH
=
AB
A′B′
⇒ OH
′
OH
=
5
3
⇒ OH +HH
′
OH
=
5
3
⇒ OH + 6
OH
=
5
3
3 ·OH + 18 = 5 ·OH ⇒ OH = 9 cm
Portanto as distaˆncias sa˜o 9 cm e 15 cm.
Caso ii) Se AB e A′B′ tem sentido contra´rio, o ponto O e´ interior as paralelas
OH ′
OH
=
5
3
⇒ HH
′ −OH
OH
=
5
3
⇒ 6−OH
OH
=
5
3
⇒ 18− 3 ·OH = 5 ·OH
OH =
18
8
=
9
4
Portanto as distaˆncias sa˜o
9
4
cm e
15
4
cm.
b) Como
A′B′
AB
=
5
3
=
B′C
BC
=
C ′D′
CD
,enta˜o
B′C ′ =
5BC
3
=
5 · 12
3
= 20 cm e C ′D′ =
5CD
3
=
5 · 15
3
= 25 cm
Questa˜o 4 [1,5 pt]: No triaˆngulo ABC temos AB = 18 cm, AC = 27 cm e BC = 15 cm. A
partir do ve´rtice A, sobre o lado AB marca-se AD = 6 cm e trac¸a-se DE paralela ao lado BC,
A, E e C colineares. Sabendo que AF e´ a bissetriz do aˆngulo A, determine os segmentos DF e
FE marcados sobre a paralela DE pela bissetriz do aˆngulos A.
Soluc¸a˜o: Seja o triaˆngulo conforme enunciado,
∆ADE ∼ ∆ABC ja´ que DE//BC. Temos
AD
AB
=
AE
AC
⇒ 6
18
=
AE
27
⇒ AE = 9 cm.
DE
BC
=
AE
AC
⇒ DE
15
=
9
27
⇒ DE = 15
3
= 5 cm.
Pelo Teorema de bissetriz interna (TBI), no ∆ADE,
DF
6
=
FE
9
e DF + FE = 5 cm. Assim
DE + FE
6 + 9
=
DE
6
=
FE
9
⇒ 5
15
=
DF
6
=
FE
9
enta˜o
DF =
6 · 5
15
= 2 e FE =
5 · 9
15
= 3
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Geometria Plana– Gabarito AD2 4
Questa˜o 5 [1,5 pt]: Em um triaˆngulo retaˆngulo iso´sceles BAC retaˆngulo em A trac¸a-se a mediana
BD relativa a um dos catetos AC. Do ponto E, no qual a reta que conte´m a mediana encontra o
c´ırculo circunscrito, baixemos EF perpendicular sobre AC. Mostre que AF = 3EF .
Soluc¸a˜o: Seja o triaˆngulo conforme enunciado:
Os triaˆngulos retaˆngulos ABD, DEF e EFC sa˜o semelhantes pois
tem dois aˆngulos iguais. Temos que ∆ABC e´ retaˆngulo iso´sceles
com  = 90◦, enta˜o AB = AC e AD =
AC
2
=
AB
2
, portanto
AB = 2 AD. Pela semelhanc¸a EF = 2 DF e FC = 2 EF , enta˜o
AF = AD +DF = CD +DF = CF +DF +DF = CF + 2DF
Logo AF = 2 EF + EF = 3 EF .
Questa˜o 6 [1,5 pt]: Sendo dado um retaˆngulo baixa-se de cada um dos ve´rtices a perpendicular
sobre a diagonal oposta. Mostre que os pe´s dessas perpendiculares sa˜o os ve´rtices de um retaˆngulo
semelhante ao retaˆngulos dado.
Soluc¸a˜o: Considere o retaˆngulos ABCD conforme enunciado, os ve´rtices A′, B′, C ′ e D′ sa˜o os pe´s
das perpendiculares sobre a diagonal oposta.
Vamos mostrar que A′B′C ′D′ e´ um retaˆngulo. Os triaˆngulos retaˆngulos AA′D ≡ DD′A pois tem a
hipotenusa igual e um aˆngulo agudo de igual medida, pois OD = OA(propriedade de retaˆngulo).
Da´ı DA′ = AD′, No quadrila´tero A′D′AD, A′D = D′A e A′D̂A = D′ÂD, logo A′D′//AD. De
forma similar podemos concluir que C ′B′//CB, A′B′//CD e D′C ′//AB.
A′B′C ′D′ tendo seus lados paralelos aos lados do retaˆngulo ABCD, e´ um retaˆngulo semelhante ao
retaˆngulo dado.
Questa˜o 7 [1,3 pt]: Duas circunfereˆncias sa˜o tangentes internamente como na figura. Os segmentos
AB e CD sa˜o perpendiculares e o ponto O e´ o centro da circunfereˆncia maior. Os segmentos AP
e CQ medem, respectivamente, 4 m e 3 cm. Qual a medida do raio do c´ırculo menor?
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Geometria Plana– Gabarito AD2 5
Soluc¸a˜o: Sejam r e R, respectivamente, os raios das circunfereˆncias menor e maior e S o centro da
circunfereˆncia menor. Temos que 2r = PB = AB − 4 = 2R− 4. Logo R = r + 2.
No triaˆngulo retaˆngulo SQO temos SQ = r,
OQ = OC − 3 = R− 3 = r + 2− 3 = r − 1 e OS = OB − SB = R− r = 2
Pelo Teorema de Pita´goras vem
r2 = (r − 1)2 + 22 = r2 − 2r + 5 ⇒ 2r = 5
Logo r = 2, 5 cm.
Questa˜o 8[boˆnus 0,5 pt]: ABCD e´ um paralelogramo no qual AB = 5 cm e AD = 3 cm.
Sabendo que a projec¸a˜o da diagonal AC sobre a reta que conte´m o lado AB mede 6 cm:
a) calcule a medida da diagonal AC.
b) calcule a medida da diagonal BD.
Soluc¸a˜o: Considere AH a projec¸a˜o de AC sobre a reta que conte´m o lado AB.
Temos que AH = 6 cm, pelo enunciado. Podemos concluir que AD = BC = 3 cm, BH = 1 cm.
No ∆BHC retaˆngulo, 32 = 12 + CH
2 ⇒ CH2 = 8
No ∆ACH retaˆngulo, 62 + CH
2
= AC
2 ⇒ AC2 = 36 + 8 = 44 ⇒ AC = 2√11
No ∆ABC, AC
2
= 52 + 32 − 2 · 5 · 3 · cos B̂ ⇒ 44 = 34− 30 cos B̂ ⇒ cos B̂ = −1
3
No ∆ABD, cos  = − cos B̂ = 1
3
.
BD
2
= 32 + 52 − 2 · 3 · 5 · cos  = 9 + 25− 30 · 1
3
= 24
Logo BD = 2
√
6.
Obs: A nota ma´xima desta avaliac¸a˜o e´ 10,0(dez).Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ