EP 17 gabarito

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Gabarito do EP17-2013-1 
 
 
1)[Valor 2,0]Simplifique completamente cada expressão. 
a) 
bx
bbxbx
2
))(( 2


 
b) 
33
)23)(33( 2


x
xxa
 
 
Solução: 
a) 
x
bx
bxx
bx
bbxbx
bx
bbxbx









2
)2(
2
2
2
))(( 2222
 
 
b) 
)2)(1(
)1(3
)2)(1)(1(3
33
)23)(33( 2






xa
x
xxa
x
xxa
 
 
2) [Valor 3,0] A função f : [0, 6]  é dada por: 
 









6x4 se ),(
42 se ),(
20se ),(
)(
3
2
1
xf
 xxf
 x xf
xf
. 
A figura a seguir representa o gráfico da função f. 
 
Baseando-se na figura: 
a) Encontre a expressão de f1(x), de f2(x) e de f3(x). 
b) Determine a raiz de f. Você deve mostrar que a sua resposta é de fato uma raiz 
da função. 
c) Determine a taxa de variação média de f entre 0 e 3. 
 
Solução: 
a) f1(x) = + 1; f2(x) = 3; f3(x) = 2x + 11. 
b) 5,5 é a raiz, pois f(5,5) = 11 + 11 = 0. 
c) A taxa é dada por 
3
2
03
13



. 
 
3) [Valor 2,0] Resolva a inequação,
1
)3(


x
xx  0. Dê a resposta em termos de intervalos. 
Solução: Vejamos o estudo de sinal dos fatores da expressão
3
21
1
)3(
P
PP
x
xx


 . 
 
Pelo estudo de sinal dos fatores, temos que a solução da inequação é dada pelo 
conjunto, S = [3, 0]  (1, +). Note que o 1 foi excluído da solução pois a expressão 
não está definida para este valor de x. 
 
4) [Valor 1,0] O 5º termo de uma progressão geométrica é 768 e o 8º termo é 49152. 
Determine o 3º termo da progressão. 
Solução: a5 = 768 e a8 = 49152. Temos que a8 = a5.q
3
, donde q
3
 = 49152/(768) = 
64, donde q = 4. Temos que a3 = a5/q
2
 = 768/16 = 48. 
5) [Valor 0,5] Calcule cos 120º. 
Solução: cos 120º =  cos 60º= 0,5. 
 
6) [Valor 0,5]Um ângulo x de medida entre /2 e  é tal que, senx = . Determine o 
valor de tg x. 
Solução:cos
2
x = 1  24/25 = 1/25, donde cos x = 1/5 ou cosx = 1/5. Como x está no 
segundo quadrante, temos que cosx = 1/5. Logo, tgx = 2 . 
7) [Valor 1,0] Dê a fórmula conhecida como a lei dos cossenos. Utilizando a fórmula, 
justifique por que o triângulo 9, 40 e 42 é obtusângulo (com um ângulo maior do que 
90º). 
Solução: A fórmula é a
2
 = b
2
 + c
22bc.cos, onde  é o ângulo oposto ao lado de 
medida a. Se houver um ângulo de medida maior do que 90, este ângulo é oposto ao 
3 1 
+ 
+  
+ 
 
+  
+ 
 P1 
P2 
P1P2/P3 
P3 
 
 + 
0 
+ 
+ 
+ 
+ 
maior lado do triângulo. Vejamos a fórmula com a = 42. Temos 42
2
 = 1764, 40
2
 = 1600 
e 9
2
 = 81. Assim, 
1764 = 1600 + 81  720cos , 
Portanto, 
 
cos = 83/720, 
donde  é um ângulo maior do que 90º, pois tem cosseno negativo. 
 
Outros exercícios: 
1) Quantos termos tem a Progressão Aritmética (15, 5, ..., -5.005) ? 
Solução: , logo n=503. 
 
2) Três números estão em PA, de tal forma que a soma entre eles é 18 e o produto 66. 
Determine os números. 
Solução: Seja r a razão da PA, então podemos escrevê-la como 
Logo, e portanto . 
Daí, temos . Assim, 
 . Resolvendo a equação, obtemos 
 ou . Assim, a PA é (1,6,11) e razão ou (11,6,1) e 
razão . 
 
3) Os lados de um triângulo retângulo estão em PA de razão 3. Calcule-os. 
Solução: Seja um dos catetos, então o outro é e a hipotenusa , pois é o 
maior lado. Assim, pelo Teorema de Pitágoras, temos 
Daí, segue que e, portanto 
cujas raízes são 9 e -3. Como x>0, temos que os catetos são 9 e 12 e a hipotenusa 
15. 
 
4) Determine x, tal que, os três números (4x,2x+1,x-1) estejam em PG. 
Solução: Sabemos que a razão é dada por 
 
 
 e também 
 
 
. Logo igualando 
segue que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Somando-se o mesmo número aos números 5,7,8 , nesta ordem, obtém-se uma PG. 
Determine o número somado. 
Solução: Seja x o número que é somado. Então, obtemos a PG (5+x, 7+x, 8+x), 
cuja razão é igual a 
 
 
 e 
 
 
. Assim, igualando, segue que 
 
 
 = 
 
 
, donde 
 
 
6) Um menino recebeu 180 reais de aniversário e resolveu guardar e adicionar à essa 
quantia 40 reais a cada mês da sua mesada, para comprar um tablet no valor de 850 
reais. 
a) Determine a expressão do valor economizado pelo menino após n meses. 
b) Quantos meses serão necessários para que o menino consiga juntar uma quantia 
suficiente para a compra do tablet? 
Solução: 
a) Sejam y o valor economizado, então y=180+40n 
b) 
 
 Como n é inteiro, 
serão necessários 17 meses. 
7) Determine a relação entre a pressão (medida em atm) e a profundidade 
(medida em m) em um ponto submerso na água do mar, considerando que a pressão 
aumenta linearmente com a profundidade e que este aumento é de 1 atm a cada 10 
m de descida. 
Solução: A pressão sobre a Terra, no nível do mar (h=0) é de 1 atm e 
 
 
 
 
 
. 
Logo, p=1/10h+1. 
 
8) Para procurar um indivíduo perdido em áreas remotas, membros de equipes de 
busca e salvamento se separam e caminham paralelamente uns aos outros através da 
área a ser investigada. A experiência mostrou que a chance da equipe de achar um 
indivíduo perdido está relacionada com a distancia, d, que separa os membros da 
equipe. Para um particular tipo de terreno, a porcentagem de achados para várias 
separações está registrada na tabela a seguir: 
 
 
Distância de separação d (em metros) Porcentagem de achados P 
60 90 
120 80 
180 70 
240 60 
300 50 
 
a) Qual a função que relaciona a porcentagem de achados em função da 
distância? 
b) A função é crescente ou decrescente? 
c) Esboce o gráfico. 
d) Qual o significado do intercepto vertical? 
e) Qual o significado do intercepto horizontal? 
Solução: 
a) 
 
 
 
 
 
 Logo, 
 
 
 , substituindo P=90 e d=60, 
obtemos b=100, donde 
 
 
 
b) 
c) 
 
d) d=0, os buscadores estão ao lado do perdido; todos os perdidos são 
encontrados. 
e) P=0 ( os perdidos não são encontrados) para a distância entre os buscadores 
e os perdidos d=600 m 
 
9) Biólogos descobriram que o número de sons emitidos, por minuto, por certa 
espécie de grilos está relacionado com a temperatura e que essa relação é quase 
linear. Portanto, para simplificar o problema, vamos supor que seja linear. A 20°C, 
os grilos emitem cerca de 124 sons por minuto. A 28°C, emitem 172 sons por 
minuto. Encontre a equação que relaciona a temperatura em graus Celsius C e o 
número de sons n por minuto. 
Solução: Como a relação é linear, temos C=na+b. Substituindo os pontos (20,124) e 
(28, 172), obtemos o sistema 
124=20a+b 
172=28a+b. 
Logo, fazendo a diferença entre as equações, obtemos 48=8a, donde a=6. Voltando 
à primeira equação, temos b=124-120=4. Assim, C=6n+4 é a equação que relaciona 
a temperatura em graus Celsius C e o número de sons n por minuto. 
 
 
10) Uma empresa, para construir uma estrada, cobra uma taxa fixa que varia de acordo 
com o número de quilômetros de estrada construída. O gráfico abaixo descreve o 
custo da obra, em milhões de dólares, em função do número de quilômetros 
construídos. 
 
a) Obter a lei da função, para x ≥ 0, que determina esse gráfico. 
b) Determinara taxa fixa cobrada pela empresa para a construção da estrada. 
c) Qual será o custo total da obra, sabendo que a estada terá 50 km de extensão? 
Solução: 
a) , substituindo o ponto (10,5), obtemos , donde 
a=1/10. Assim, 
 
 
 
b) A empresa cobra 4 milhões de dólares de taxa fixa, mais 100 mil dólares por 
quilômetro de estrada construída. 
c) 
 
 
 
11) Resolva as inequações e dê o conjunto solução usando a notação de intervalo. 
a) 
b) 
c) 
Solução: 
a) . Fazendo o 
produto dos sinais(ou estudando o sinal da parábola y= ), o conjunto 
solução é dado por 
b) . Estudando o sinal da 
parábola y= , ou fatorando como √ √ , e 
fazendo o produto dos sinais, obtemos √ √ . 
c) Fazendo o produto dos sinais entre -3x+2 e x+4, obtemos [ ] 
12) Determine x, tal que o ângulo Nesse caso, calcule o valor da hipotenusa. 
 
Solução: Sabemos que 
 
 
. Para temos √ =
 
 
, donde 
 
√ 
 
√ 
 
 
A hipotenusa h é tal que, 
√ 
 
 
√ 
 
 √ √