aula 06

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Aula 6 – Equações diferenciais de segunda ordem.
Definição 6.1
Uma equação diferencial de 2a ordem é da forma
.
onde o termo incluindo a derivada de segunda ordem deve aparecer. A equação diferencial de 2a
ordem pode ser escrita também como
.
A solução da equação diferencial de 2a ordem é uma função onde c1e c2 são
constantes arbitrárias, que satisfaz a equação diferencial.
As constantes c1 e c2 podem ser encontrados depois de aplicação as condições iniciais:
.
Observação
A derivada de segunda ordem pode ser escrita em várias formas:
Exemplo 6.1
Exemplos de equações diferenciais de 2a ordem:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Exercício 6.1
Equação diferencial tem uma solução . Verifique a
identidade da solução.
1
Exemplo 6.2
A função de distancia tem aceleração com a velocidade inicial e a
posição inicial . Qual é a função de distancia ?
Solução
O problema é a solução de equação de segunda ordem
com condições iniciais
.
A velocidade pode ser achada integrando a equação diferencial
.
Aplicando a condição inicial da velocidade temos
Então
.
Integrando mais uma vez
.
Aplicando a condição inicial da distancia temos
.
A solução final é
.
Equação da forma .
Quando temos uma função da forma
a solução pode ser encontrada pela aplicação de integração na função duas vezes.
Integrando uma vez encontramos
.
Integrando uma vez mais
2
.
Exemplo 6.3
a) 
b) 
Exercício 6.2
Encontra a integral geral da equação . Ache a solução particular aplicando as
condições iniciais e .
Equações diferenciais de 2a ordem que se reduzem a equações de 1a ordem.
Equações da forma
que não contem, explicitamente, a função desconhecida y(x).
Tratamos a derivada como uma função nova, . Assim a derivada de y de segunda
ordem vira a derivada de primeira ordem de p
.
A equação diferencial para resolver é de 1a ordem
.
A integral geral desta equação diferencial é .
A solução final y(x) é a integral da função 
.
Exemplo 6.4
Integre a equação diferencial de 2a ordem
Solução
3
Substituindo temos
 .
Separando as variáveis temos
 
Integrando os dois lados
A solução p(x) é
Integrando p(x) em x temos
Equações da forma
que não contem, explicitamente, a variável independente x.
Tratamos a derivada como uma função nova, , mas tratamos p como função de y. Assim
.
Substituindo as derivadas na equação acima temos
.
A integral geral desta equação diferencial é .
A solução final y(x) pode ser encontrada pela separação das variaveis
.
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