Trabalho Energia PTV Treliças Castigliano

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Métodos de Energia 
 
 
Centro Universitário de João Pessoa 
Departamento de Engenharia Civil 
-Trabalho externo e energia de deformação; 
-Princípio do trabalho virtual; 
-Teorema de Castigliano; 
2 
TRABALHO EXTERNO E ENERGIA DE DEFORMAÇÃO 
 
TRABALHO EXTERNO: 
UiUe 
PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DE ENERGIA: “O trabalho realizado por todas as forças 
externas que atuam sobre uma estrutura (Ue) é transformado em trabalho interno ou energia 
de deformação (Ui), que é desenvolvida quando a estrutura se deforma. 
De uma força: Uma força realiza trabalho quando provoca deslocamento na mesma 
direção da mesma. 


x
FdxUe
FdxdUe
0
-Trabalho provocado por uma força 
4 
TRABALHO EXTERNO E ENERGIA DE DEFORMAÇÃO 
 







PUe
xdx
P
FdxUe
x
P
F
2
1
00
x
P
F


''  PUe
Se P já é aplicada a estrutura e 
outras cargas distorcem ainda mais 
a estrutura por um montante Δ’ , 
então o trabalho adicional de P é: 
''  PUe
TRABALHO EXTERNO E ENERGIA DE DEFORMAÇÃO 
 
TRABALHO EXTERNO: 
De um momento: É o produto da magnitude de um momento M e o ângulo através 
do qual ele gira 



MMdUe
MddUe
2
1
0



'Se o momento M já é aplicado a estrutura e outras cargas distorcem ainda mais a estrutura 
por um montante , então M gira e o trabalho adicional de M é: 
'' MUe 
'
d
TRABALHO EXTERNO E ENERGIA DE DEFORMAÇÃO 
 
ENERGIA DE DEFORMAÇÃO (trabalho interno): 
De uma força:. AE
NL
L
E
A
N
L
LLf
E
A
N
E




 
EA
LN
EA
NL
NUi
PUiUe
2
2
1
2
1


Energia de deformação 
provocada por uma força N. 
TRABALHO EXTERNO E ENERGIA DE DEFORMAÇÃO 
 
ENERGIA DE DEFORMAÇÃO (trabalho interno): 
De um Momento:. 


L
EI
dxM
Ui
EI
dxM
dUi
0
2
2
2
2
Energia de deformação 
provocada por uma flexão. 
EI
PL
EI
LP
P
3
62
1
3
32


PRINCÍPIO DO TRABALHO E ENERGIA 
 
UiUe 
 PUe
2
1 
L
EI
dxM
Ui
0
2
2
Conservação de energia 
EI
LP
Ui
x
EI
P
dx
EI
Px
UiPxM
LL
6
322
)(
32
0
32
0
2









 
PRINCÍPIO DO TRABALHO VIRTUAL 
 
  uPUiUe Método da carga unitária ou método das forças virtuas 
Cargas externas e internas devem estar em equilíbrio entre si. 
Trabalho das 
cargas externas 
Trabalho das 
cargas internas 
PRINCÍPIO DO TRABALHO VIRTUAL 
 
Método da carga unitária ou método das forças virtuas 
A carga externa virtual P’=1,0 provoca Δ (Trabalho virtual externo). 
A carga interna virtual u provoca dL (Trabalho virtual interno) 
 
Se queremos determinar a inclinação em um ponto da estrutura, deve-se aplicar um 
momento M’ com magnitude unitária no ponto. M’ provoca uma carga virtual em um 
dos elementos do corpo. Presumindo que as cargas reais deformam esse elemento um 
montante de dL, a rotação é: 
 
u
PRINCÍPIO DO TRABALHO VIRTUAL 
 
APLICAÇÃO DO PTV PARA TRELIÇAS: 
TRELIÇA SUJEITA A MUDANÇA DE 
TEMPERATURA 
TRELIÇA SUJEITA A CARGA EXTERNA 
TRELIÇA SUJEITA A ERRO DE 
FABRICAÇÃO 
TEOREMA DE CASTIGLIANO 
 
Método do trabalho mínimo. (Somente para estruturas com temperatura constante, 
apoios sem recalques, material elástico linear. 
“O deslocamento em um ponto é igual a primeira derivada parcial da energia de 
deformação na estrutura em relação a uma força atuando neste ponto e da direção do 
deslocamento. De maneira similar, a inclinação em um ponto é igual a primeira 
derivada parcial da energia de deformação na estrutura em relação a um momento 
atuando neste ponto e da direção da rotação.” i
i
i
P
U



TEOREMA DE CASTIGLIANO 
 
APLICAÇÃO DO TEOREMA DE CASTIGLIANO PARA TRELIÇAS: