Exercícios de Mecânica Clássica

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Mecaˆnica Cla´ssica (I)- 2013/2014
folha 7
1. Um cubo homoge´neo de massa M e lado 2a roda em torno de uma diagonal de uma face com
velocidade angular constante ω. Mostre que a grandeza do momento angular em relac¸a˜o a um
dos ve´rtices fixos e´ (
√
43/3)Ma2ω.
2. Uma barra cil´ındrica de altura h oca e raio a e massa m, gira com velicidade angular ω em
torno de um eixo vertical que passa pelo ponto O (ver figura) a h/3 da base e que faz um
aˆngulo θ = pi/3 com o eixo de simetria do cilindro (indicado a trac¸o dois pontos). A velicidade
angular ω = αt, sendo α uma constante.
(a) Construa o tensor de ine´rcia no sistema dos eixos principais de ine´rcia.
(b) Determine o momento angular e a energia cine´tica do cilindro.
(c) Determine o momento resultante das forc¸as que actuam sobre o cilindro.
ω
h
θ
Ο
a
θ m
r
Ο
O
B
A
C
D
α
probl 2 probl 3 probl 4
3. Um disco uniforme de massa M e raio R tem ligado a uma das faces uma pequena massa m a`
distaˆncia r do seu centro. O disco pode rolar livremente sem escorregar ao longo de uma linha
rectil´ınea.
(a) Escreva o Lagrangiano do sistema em termos do aˆngulo que a linha que passa pelo centro
do disco e pela part´ıcula m faz com a vertical. Obtenha a equac¸a˜o do movimento.
(b) Mostre que se o disco for levemente deslocado da sua posic¸a˜o de equil´ıbrio e largado, ficara´
a oscilar com um per´ıodo
T = 2pi
√
(3MR2/2) +m(R− r)2
mgr
4. Na figura OA e´ uma haste leve (massa despreza´vel) de comprimento b que gira com velocidade
angular Ω em torno do eixo OB, perpendicular a OA. A e´ o ponto me´dio da haste CD de
massa m, comprimento 2a e ligada a` haste OA no ponto A de tal modo que CD e´ sempre
coplanar a OB. Se α for o aˆngulo ÔAC prove que as componentes do momento angular de
CD relativamente a O nas direcc¸o˜es
−→
OA,
−−→
OB e uma direcc¸a˜o perpendicular a estas duas sa˜o,
respectivamente,
ma2Ω
3
sinα cosα, mΩ(b2 +
1
3
a2 cos2 α),
ma2α˙
3
.