PROVIDENCIA, Constança - MecÂnica Física - 2010

Prévia do material em texto

Constanc¸a Provideˆncia
Mecaˆnica F´ısica
Departamento de F´ısica
2010
Conteu´do
1 Mecaˆnica Newtoniana 1
1.1 Sistemas de ine´rcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Leis de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Consequeˆncias das leis de Newton: . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.1 Teorema da conservac¸a˜o da quantidade de movimento de
uma part´ıcula: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.2 Teorema da conservac¸a˜o do momento angular de uma par-
t´ıcula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.3 Teorema da conservac¸a˜o da energia de uma part´ıcula . . . 4
1.4 Part´ıcula sujeita a` acc¸a˜o da forc¸a da gravidade . . . . . . . . . . . 9
1.5 O oscilador harmo´nico unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 Movimento unidimensional de um sistema conservativo: energia
versus posic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7 Movimento de um electra˜o sob o efeito de um campo ele´ctrico e
magne´tico constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Campo de forc¸as centrais 16
2.1 Campo de forc¸as centrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Exemplos de campos de forc¸as centrais . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 A o´rbita de uma part´ıcula sobre a qual actua uma forc¸a central . 19
2.4 As equac¸o˜es de movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5 Representac¸a˜o gra´fica de Uef : propriedades das o´rbitas . . . . . . 26
2.5.1 O potencial U(r) = −k
r
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5.2 O potencial U(r) = − k
r3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5.3 O potencial U(r) = kr
2
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.6 Barreira de potencial centr´ıfugo L2/2mr2 . . . . . . . . . . . . . . 32
2.7 O´rbitas limitadas, o´rbitas fechadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.8 Determinac¸a˜o de U(r) conhecida a o´rbita r(θ) . . . . . . . . . . . 34
2.9 O´rbitas circulares esta´veis e insta´veis . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.10 O problema de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.10.1 As o´rbitas no problema de Kepler . . . . . . . . . . . . . . 36
2.10.2 A Terceira Lei de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
ii
2.11 Sistemas bina´rios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.12 Teorema do Virial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.13 Coliso˜es - Difusa˜o de part´ıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.13.1 A secc¸a˜o eficaz diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.13.2 Secc¸a˜o eficaz de Rutherford . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3 Sistemas de part´ıculas 52
3.1 Conservac¸a˜o da quantidade de movimento . . . . . . . . . . . . . 53
3.1.1 Oscilador numa caixa. O balistocardiograma . . . . . . . . 55
3.2 Conservac¸a˜o do momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3 Conservac¸a˜o da energia mecaˆnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4 Formalismo Lagrangiano 65
4.1 Ligac¸o˜es, Coordenadas Generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2 Princ´ıpio d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3 Equac¸o˜es de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.4 Princ´ıpio de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.5 Ca´lculo de variac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.6 Sistema com va´rios graus de liberdade: equac¸o˜es de Euler . . . . 80
4.7 Equac¸o˜es de Lagrange do Princ´ıpio de Hamilton . . . . . . . . . . 81
4.7.1 Movimento de uma part´ıcula em coordenadas cartesianas . 83
4.7.2 Part´ıcula num campo de forc¸as centrais . . . . . . . . . . . 83
4.7.3 Ma´quina de Atwood: roldana sem atrito e sem massa . . . 84
4.8 Soma ao lagrangiano de uma derivada total em ordem ao tempo . 85
4.9 Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.10 Variac¸a˜o sujeita a ligac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.10.1 Exemplo - Arco que roda sem escorregar num plano inclinado 90
4.11 Coordenadas c´ıclicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.11.1 Exemplo 1: part´ıcula num campo de forc¸as centrais . . . . 91
4.11.2 Exemplo 2: movimento unidimensional de duas part´ıculas
ligadas por uma mola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.12 Leis de conservac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.12.1 Invariaˆncia de L perante a transformac¸a˜o qj → qj + δqj . . 94
4.12.2 Invariaˆncia de L perante a translac¸a˜o do sistema como um
todo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.12.3 Invariaˆncia de L perante a rotac¸a˜o do sistema como um todo 97
4.12.4 Consequeˆncias da uniformidade do tempo . . . . . . . . . 98
4.13 Lagrangiano de um sistema na˜o fechado . . . . . . . . . . . . . . 101
4.14 Potencial dependente da velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.15 O peˆndulo esfe´rico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
iii
5 Oscilac¸o˜es lineares livres 107
5.1 Sistema com um grau de liberdade . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.1.1 Exemplo: O peˆndulo simples . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.2 Sistema com va´rios graus de liberdade . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.2.1 O peˆndulo duplo no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.2.2 Vibrac¸o˜es de uma mole´cula triato´mica linear e sime´trica . 117
6 Cinema´tica do corpo r´ıgido 121
6.1 Estudo do movimento do corpo r´ıgido: escolha de um conjunto de
coordenadas independentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.2 Transformac¸o˜es ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.2.1 Exemplo: rotac¸a˜o num plano . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.2.2 Interpretac¸a˜o da transformac¸a˜o representada pela matriz A 129
6.3 Aˆngulos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.4 Teorema de Euler no movimento do corpo r´ıgido . . . . . . . . . . 134
6.5 Rotac¸o˜es finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.6 Rotac¸o˜es infinitesimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.7 Variac¸a˜o de um vector com o tempo . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.8 Forc¸a de Coriolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7 Dinaˆmica do Corpo Rı´gido 148
7.1 Momento angular e energia cine´tica do movimento dum corpo com
um ponto fixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7.2 Noc¸a˜o de tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
7.3 Momento de ine´rcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
7.4 Momentos principais de ine´rcia - eixos principais de ine´rcia . . . . 156
7.5 Equac¸o˜es de movimento de um corpo r´ıgido com um ponto fixo . 158
7.5.1 Movimento de um corpo r´ıgido livre com um eixo de simetria159
7.6 Movimento de um corpo r´ıgido - formalismo Lagrangiano . . . . . 161
7.7 O Girosco´pio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
7.7.1 Conservac¸a˜o do momento angular . . . . . . . . . . . . . . 165
7.7.2 Conservac¸a˜o de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
8 Hamiltoniano. Equac¸o˜es de Hamilton 169
8.1 Transformac¸a˜o de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
8.2 Equac¸o˜es de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
8.3 Exemplo 1: movimento de uma part´ıcula num campo de forc¸as
centrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
8.4 Exemplo 2: part´ıcula na˜o relativista sujeita ao campo electro-
magne´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
8.5 Coordenadas c´ıclicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8.6 Dependeˆncia no tempo de H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.7Equac¸o˜es de Hamilton de um princ´ıpio variacional . . . . . . . . . 175
iv
9 Transformac¸o˜es cano´nicas 177
10 Pareˆntesis de Poisson 180
10.1 Propriedades dos pareˆntesis de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . 181
10.2 Equac¸o˜es de movimento em termos dos pareˆntesis de Poisson . . . 182
11 Relatividade Restrita: formulac¸a˜o covariante das leis da f´ısica 183
11.1 As leis de Newton e o princ´ıpio da relatividade . . . . . . . . . . . 183
11.2 As equac¸o˜es de Maxwell e o princ´ıpio da relatividade . . . . . . . 184
11.3 Experieˆncia de Michelson-Morley . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
11.4 Postulados de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
11.5 Noc¸a˜o de observador inercial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
11.6 Formulac¸a˜o covariante num espac¸o tridimensional . . . . . . . . . 188
11.7 Tensores no espac¸o de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
11.7.1 O tetra-vector xµ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
11.7.2 Tetra-vector contravariante: Aµ(A0, A1, A2, A3) . . . . . . 190
11.7.3 Tetra-vector covariante: Bµ(B0, B1, B2, B3) . . . . . . . . . 191
11.7.4 Tensor de 2a ordem contravariante, covariante e misto . . 192
11.7.5 Produto escalar entre dois 4-vectores . . . . . . . . . . . . 193
11.7.6 O tensor me´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
11.8 Conservac¸a˜o do 4-vector pµ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
11.8.1 O 4-vector velocidade uµ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
11.8.2 O 4-vector quantidade de movimento pµ . . . . . . . . . . 197
11.8.3 Limite cla´ssico da energia E . . . . . . . . . . . . . . . . 200
11.8.4 Exemplo: colisa˜o totalmente inela´stica . . . . . . . . . . . 200
11.8.5 Lei de transformac¸a˜o de pµ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
11.8.6 Part´ıcula com m = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
11.8.7 Sistema centro de massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
11.8.8 Colisa˜o de duas part´ıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
11.8.9 O limiar absoluto duma reacc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . 205
11.9 A segunda lei de Newton em Mecaˆnica Relativista . . . . . . . . 206
11.10 Alguns tetra-vectores em f´ısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
v
Cap´ıtulo 1
Mecaˆnica Newtoniana
1.1 Sistemas de ine´rcia
Supomos a existeˆncia de sistemas de refereˆncia, os sistemas de ine´rcia, nos quais
as leis de Newton sa˜o va´lidas.
Um sistema de ine´rcia e´ um sistema em relac¸a˜o ao qual o espac¸o e´ homoge´neo
e isotro´pico e o tempo uniforme. Concretamente, um corpo livre e em repouso
num sistema de ine´rcia mante´m-se livre e em repouso por um tempo ilimitado.
Se ale´m do sistema de ine´rcia considerado, escolhermos um outro que se mova
em relac¸a˜o ao primeiro com movimento rectil´ıneo e uniforme, as leis do movimento
neste novo sistema sera˜o as mesmas do sistema de refereˆncia inicial. A experieˆncia
mostra que nestes sistemas na˜o so´ as leis do movimento do corpo livre sa˜o as
mesmas mas que o mesmo se verifica para todas as leis da mecaˆnica. Todos estes
sistemas sa˜o equivalentes do ponto de vista da mecaˆnica.
Princ´ıpio da relatividade de Galileu: nos sistemas de ine´rcia as propriedades
do espac¸o e do tempo bem como todas as leis da mecaˆnica sa˜o as mesmas.
Uma consequeˆncia imediata: na˜o existe um sistema de refereˆncia absoluto!
Consideremos dois sistemas de ine´rcia S e S ′. S ′ desloca-se com uma veloci-
dade V′ relativamente a S, conforme a figura 1.1 As coordenadas r e r′ de um
ponto P , respectivamente, nos sistemas S e S ′ esta˜o relacionados pelas relac¸o˜es
r(t) = r′(t) +
−−→OO′(t),
= r′(t) +V′t, (1.1)
visto que
−−→OO′(t) = V′t, se considerarmos que no instante inicial, t = 0, as
origens, O e O′, de ambos os sistemas coincidem. A equac¸a˜o (1.1) exprime a lei
de transformac¸a˜o de Galileu.
1
O
O
P
r
r
’
S
S
’
’
Figura 1.1: Sistemas de ine´rcia S e S′
1.2 Leis de Newton
Primeira lei: uma part´ıcula livre (sobre ela na˜o actuam quaisquer forc¸as) man-
te´m o seu estado de repouso ou de movimento rectil´ıneo uniforme - lei da
ine´rcia.
Seja F a forc¸a total que actua na part´ıcula. Se F = 0 enta˜o a velocidade
da part´ıcula, v, e´ constante.
Segunda lei: se sobre uma part´ıcula actuam forc¸as, a variac¸a˜o da sua quantidade
de movimento por unidade de tempo e´ igual a` resultante das forc¸as que
actuam nela.
Se p e´ a quantidade de movimento da part´ıcula e F a resultante das forc¸as
que actuam nela enta˜o
dp
dt
= F. (1.2)
Terceira lei: quando duas part´ıculas interagem a forc¸a que a primeira exerce na
segunda e´ igual em grandeza e direcc¸a˜o mas de sentido oposto a` forc¸a que
a segunda exerce na primeira - lei das forc¸as de acc¸a˜o e reacc¸a˜o.
Se F21 e´ a forc¸a que a part´ıcula 1 exerce sobre a part´ıcula 2 e F12 e´ a forc¸a
que a part´ıcula 2 exerce sobre a part´ıcula 1 enta˜o
F21 = −F12. (1.3)
Quarta lei: A adic¸a˜o das forc¸as que actuam numa part´ıcula segue as regras de
adic¸a˜o de vectores.
2
Na forma (1.2) a segunda lei de Newton aplica-se tambe´m quando a massa
de ine´rcia na˜o e´ constante. No entanto, se a massa de ine´rcia da part´ıcula m
e´ constante, (1.2) pode reescrever-se na forma mais conhecida. Substituindo
p = mv em (1.2) temos
m
dv
dt
= F,
ma = F. (1.4)
Tambe´m conclu´ımos que a primeira lei e´ um caso especial da segunda lei. Na
verdade, se F = 0 enta˜o dv
dt
= 0 ou v= constante.
1.3 Consequeˆncias das leis de Newton:
1.3.1 Teorema da conservac¸a˜o da quantidade de movi-
mento de uma part´ıcula:
Teorema da conservac¸a˜o da quantidade de movimento de uma part´ıcula: se a
forc¸a total F que actua sobre uma part´ıcula e´ nula enta˜o dp
dt
= 0 e a quantidade
de movimento conserva-se.
Das leis de Newton podemos ainda provar que este teorema e´ va´lido para um
sistema isolado de duas part´ıculas. Seja F21(F12) a forc¸a que a part´ıcula 1 (2)
exerce sobre a part´ıcula 2 (1). Da terceira lei de Newton temos que
F12 + F21 = 0. (1.5)
Integrando (1.5) no tempo entre o instante t′ e t′′ obtemos∫ t′′
t′
(F12 + F21)dt = 0, (1.6)
ou ainda ∫ t′′
t′
d
dt
(m1v1 +m2v2)dt = 0. (1.7)
A u´ltima expressa˜o foi obtida substituindo em (1.6) F12 =
d
dt
(m1v1) e F21 =
d
dt
(m2v2). De (1.7) obtemos
(m1v1 +m2v2)|t′′t′ = 0,
p1(t
′) + p2(t
′) = p1(t
′′) + p2(t
′′), (1.8)
usando a definic¸a˜o de quantidade de movimento p = mv. A equac¸a˜o (1.8)
exprime o teorema da conservac¸a˜o da quantidade de movimento para o sistema
isolado de duas part´ıculas que interagem.
3
1.3.2 Teorema da conservac¸a˜o do momento angular de
uma part´ıcula
Seja L o momento angular de uma part´ıcula, de massa m e quantidade de movi-
mento p, relativamente ao ponto O,
L = r ∧ p, (1.9)
sendo r o raio vector da origem O a` part´ıcula. O momento da forc¸a F que actua
sobre a part´ıcula, N, e´ definido por
N = r ∧ F. (1.10)
Por outro lado calculando a variac¸a˜o de L com o tempo obtemos
dL
dt
=
d
dt
(r ∧ p)
= v ∧mv + r ∧ d
dt
(mv). (1.11)
No segundo membro a primeira parcela e´ nula porque exprime o produto vectorial
de dois vectores paralelos. Assim, de (1.10) e (1.11), substituindo d
dt
(mv) por F,
obtemos
N = r ∧ F = dL
dt
, (1.12)
ou,
N =
dL
dt
, (1.13)
sendo ambos os vectores N e L definidos relativamente a` origem O. De (1.13)
obtemos o teorema da conservac¸a˜o do momento angular.
Teorema da conservac¸a˜o do momento angular de uma part´ıcula: se o momento
das forc¸as total, N, que actua sobre uma part´ıcula e´ nulo, enta˜o L˙ = 0 e o
momento angular L da part´ıcula conserva-se.
1.3.3 Teorema da conservac¸a˜o da energia de uma part´ı-
cula
Consideremos o trabalho realizado pela forc¸a externa F sobre a part´ıcula quando
esta se desloca do ponto 1 para oponto 2. Pela definic¸a˜o de trabalho temos
W12 =
∫ 2
1
F · ds. (1.14)
Se considerarmos a massa da part´ıcula constante, substituindo F por d
dt
(mv) e
ds por vdt obtemos
W12 =
∫ 2
1
d
dt
(mv).vdt =
m
2
∫ 2
1
d
dt
(v · v)dt.
4
Mas v · v = v2, logo
W12 =
m
2
∫ 2
1
d
dt
(v2)dt =
m
2
v2|t2t1 =
m
2
v2(t2)− m
2
v2(t1).
A quantidade escalar mv
2
2
e´ a energia cine´tica da part´ıcula. Conclu´ımos que
W12 = T2 − T1, (1.15)
sendo T2(1) a energia cine´tica da part´ıcula no instante t2(t1),
T2 =
m
2
v2(t2), T1 =
m
2
v2(t1).
A igualdade (1.15) diz-nos que o trabalho realizado sobre a part´ıcula pelas forc¸as
externas e´ igual a` variac¸a˜o da energia cine´tica da part´ıcula.
Se o trabalho W12 realizado sobre a part´ıcula e´ o mesmo qualquer que seja
o caminho escolhido entre o ponto 1 e 2 dizemos que a forc¸a que actua sobre a
part´ıcula e´ conservativa i.e. ∮
F · ds = 0 (1.16)
ou ainda
F = −∇U, (1.17)
onde U e´ uma func¸a˜o escalar e ∇ representa o operador gradiente
∇ =
∂
∂x
iˆ+
∂
∂y
jˆ +
∂
∂z
kˆ, (1.18)
∇U =
∂U
∂x
iˆ+
∂U
∂y
jˆ +
∂U
∂z
kˆ.
A equac¸a˜o (1.16) exprime o facto de o trabalho realizado por uma forc¸a conserva-
tiva sobre uma part´ıcula ao longo de um caminho fechado ser nulo. As equac¸o˜es
(1.16) e (1.17) sa˜o equivalentes.
Para um sistema conservativo, um sistema sobre o qual so´ actuam forc¸as
conservativas,
W12 = −
∫ 2
1
∇U · ds = −
∫ 2
1
dU = U1 − U2, (1.19)
sendo U1(U2) a energia potencial no ponto 1 (ponto 2) e
∇U · ds = ∂U
∂x
dx+
∂U
∂y
dy +
∂U
∂z
dz = dU.
Igualando (1.15) e (1.19) obtemos
T2 − T1 = U1 − U2,
5
ou
T1 + U1 = T2 + U2. (1.20)
Teorema da conservac¸a˜o da energia de uma part´ıcula: se as forc¸as que actuam
sobre uma part´ıcula sa˜o conservativas, a energia total da part´ıcula, E = T + U ,
conserva-se.
Designamos por
E = T + U (1.21)
a energia mecaˆnica da part´ıcula.
Podemos sempre utilizar o facto de a energia mecaˆnica de um sistema con-
servativo se conservar para obter a lei de movimento do sistema se este for uni-
dimensional.
Consideremos uma part´ıcula que descreve um movimento unidimensional su-
jeita apenas a forc¸as conservativas. A sua energia mecaˆnica e´
E = T + U(x) =
mx˙2
2
+ U(x). (1.22)
Resolvendo esta equac¸a˜o em ordem a x˙ temos
dx
dt
=
√
2
m
(E − U(x)),
ou, sabendo que dx = dx
dt
dt,
dt =
dx√
2
m
(E − U(x))
. (1.23)
Integrando a u´ltima equac¸a˜o entre o instante t0 e t obtemos
t− t0 =
∫ x1
x0
dx√
2
m
(E − U(x))
. (1.24)
6
Nota: O operador gradiente
O Gradiente e´ um operador diferencial vectorial representado por
∇ ou grad
e definido por
~∇ =
3∑
i=1
eˆi
∂
∂xi
= eˆ1
∂
∂x1
+ eˆ2
∂
∂x2
+ eˆ3
∂
∂x3
≡ eˆx ∂
∂x
+ eˆy
∂
∂y
+ eˆz
∂
∂z
.
Num espac¸o bidimensional temos
~∇ = eˆ1 ∂
∂x
+ eˆ2
∂
∂y
,
e num espac¸o unidimensional
~∇ = eˆ1 ∂
∂x
.
Consideremos uma func¸a˜o escalar φ(x, y). A func¸a˜o φ varia se as coordenadas
x ou y variarem. Se x variar de dx e y variar de dy, φ varia de dφ tal que
dφ =
∂φ
∂x
dx+
∂φ
∂y
dy
ou, se introduzirmos,
~∇φ = eˆx∂φ
∂x
+ eˆy
∂φ
∂y
e o vector deslocamento
d~s = dx eˆx + dy eˆy,
podemos escrever dφ como o produto escalar de dois vectores, ∇φ e d~s,
dφ =∇φ · d~s.
Representemos num gra´fico as linhas equipotenciais, sobre as quais φ e´ cons-
tante. Se considerarmos d~s paralelo a uma linha equipotencial, conforme repre-
sentado na figura 1.2 temos
dφ = 0 =∇φ · d~s
pois ao longo de uma linha equipotencial dφ = 0. Esta restric¸a˜o e´ va´lida para
qualquer deslocamento sobre uma linha equipotencial, implicando
∇φ · d~s = 0 ∀
d~s paralelo a uma linha equipotencial ou ∇φ ⊥ d~s
∇φ e´ perpendicular a` linha equipotencial. A 3 dimenso˜es ∇φ e´ perpendicular
a` superf´ıcie equipotencial. A variac¸a˜o dφ tem seu valor ma´ximo se d~s‖~∇φ, isto
e´, em cada ponto na direcc¸a˜o perpendicular a` linha equipotencial que passa pelo
ponto.
Resumindo:
7
φ=α1
O
y
x
ds
α
α
α
2
3
4
Figura 1.2: Linhas equipotenciais da func¸a˜o φ
(φ =constante)
1 ~∇φ e´, em qualquer ponto, perpendicular a`s linhas ou superf´ıcies φ = cons-
tante.
2 O vector ∇φ tem a direcc¸a˜o de maior variac¸a˜o de φ pois dφ = ∇φ · d~s e´
ma´ximo se d~s‖~∇φ
3 Qualquer direcc¸a˜o no espac¸o pode ser representada por um versor unita´rio
nˆ. A variac¸a˜o de φ na direcc¸a˜o nˆ (derivada direccional de φ) e´ dada por
nˆ ·∇φ = ∂φ
∂n
8
1.4 Part´ıcula sujeita a` acc¸a˜o da forc¸a da gravi-
dade
Supomos uma part´ıcula de massa m sujeita a acc¸a˜o da forc¸a da gravidade. A
posic¸a˜o e a velocidade inicial t0 sa˜o, respectivamente, y0 e v0. A sua energia
mecaˆnica e´ dada por
E =
1
2
mv2 +mg y (1.25)
onde v e y sa˜o a velocidade e a posic¸a˜o da part´ıcula no instante t. Vimos que
a energia mecaˆnica e´ uma constante do movimento. Em particular, no instante
t = t0 temos
E =
1
2
mv20 +mg y0. (1.26)
Esta equac¸a˜o permite-nos relacionar a velocidade inicial com a posic¸a˜o incial
v0 =
√
2
(
E
m
− gy0
)
, y0 =
E
mg
− v
2
0
2g
(1.27)
Usaremos o me´todo da quadratura para obter a equac¸a˜o de movimento da part´ıcula:
Substituindo U = mg y na equac¸a˜o (1.24) obtemos
t− t0 =
∫ y
y0
dy√
2(E/m− gy) =
−2
2g
√
2(E/m− gy)
∣∣∣∣
y
y0
(1.28)
Substituindo os limites de integrac¸a˜o e identificando v0 definido em (1.27), obte-
mos
−g(t− t0) =
√
2(E/m− gy)yy0 − v0
(v0 − g(t− t0))2 = 2
(
E
m
− gy
)
y =
E
mg
− v
2
0
2g
+ v0(t− t0)− g
2
(t− t0)2
y = y0 + v0(t− t0)− g
2
(t− t0)2
onde identifica´mos y0 =
E
mg
− v20
2g
, eq. (1.27). E´ interessante salientar que deter-
mina´mos a equac¸a˜o de movimento partindo de uma grandeza escalar, a energia
mecaˆnica, e na˜o de uma grandeza vectorial, a forc¸a, como fazemos quando calcu-
lamos a equac¸a˜o de movimento a partir da 2a lei de Newton.
9
1.5 O oscilador harmo´nico unidimensional
A energia potencial do oscilador harmo´nico e´ da forma
U =
kx2
2
, (1.29)
onde k e´ a constante de elasticidade e x a deformac¸a˜o da mola. Substituindo
(1.29) em (1.24) obtemos
t− t0 =
∫ x
x0
dx√
2E
m
− kx2
m
,
t1 − t0 =
∫ x
x0
dx√
2E
m
√
1− k
2E
x2
.
Efectuando a mudanc¸a de varia´veis
y =
√
k
2E
x, dx =
√
2E
k
dy
temos
t− t0 = 1√
2E
m
∫ y
y0
√
2E
k
dy√
1− y2 =
√
m
k
arcsin(y)|yy0 , (1.30)
visto que
∫
dy/
√
1− y2 = arcsin(y). Supondo que arcsin(y0) = 0, e invertendo
(1.30) obtemos
arcsin(y) =
√
k
m
(t− t0),
x =
√
2E
k
sin
[√
k
m
(t− t0)
]
. (1.31)
A equac¸a˜o (1.31) define a lei de movimento do oscilador harmo´nico. A frequeˆncia
das oscilac¸o˜es e´ dada por
ω =
√
k
m
e a amplitude de oscilac¸a˜o
A =
√
2E
k
e´ proporcional a` raiz quadrada da energia do oscilador. Este mesmo facto vamos
encontrar frequentemente nos diferentes ramos da F´ısica, por exemplo, no estudo
de todos os feno´menos ondulato´rios.
10
A escolha y0 = 0 esta´ relacionada com a escolha das condic¸o˜es iniciais: y0 6= 0
implicaria o aparecimento de uma fase
δ0 = arcsin(y0)
na equac¸a˜o (1.31),
x =
√
2E
k
sin
[√
k
m
(t− t0) + δ0
]
.
1.6 Movimento unidimensional de um sistema
conservativo: energia versus posic¸a˜o
A energia de uma part´ıcula que se move ao longo de uma linha rectil´ınea sujeita
a` forc¸a f(x), conservativa, e´ dada por
E =
m
2
x2 + U(x). (1.32)
Seja U(x) uma func¸a˜o cont´ınua representada na figura 1.3 em func¸a˜o de x.
Representamos pela linha paralela ao eixodos x a energia mecaˆnica da part´ıcula.
E
V(x)
x x
x
x x1 2
0
4 5
x
x 3
Figura 1.3: Energia potencial U(x) em func¸a˜o de x
Da equac¸a˜o (1.32) e do gra´fico podemos tirar as seguintes concluso˜es:
• De (1.32) temos que a energia cine´tica da part´ıcula e´ dada por
T =
1
2
mx2 = E − U(x). (1.33)
A energia cine´tica nunca podera´ ser negativa o que implica que
E ≥ U(x). (1.34)
11
No gra´fico existem dois intervalos para os quais a condic¸a˜o (1.34) na˜o e´
satisfeita
x ∈ [x1, x2] e x ∈ [x3,∞[.
Estas zonas sa˜o zonas proibidas e a part´ıcula nunca sera´ encontrada nestes
intervalos.
• A distaˆncia da recta E a` curva U(x) representa a energia cine´tica. Nos
pontos x1, x2 e x3 ela e´ nula, no ponto x0 ela e´ ma´xima. Os pontos x1, x2 e
x3 sa˜o chamados pontos de retorno. Nestes pontos a velocidade da part´ıcula
anula-se, invertendo-se o sentido de acordo com a sua posic¸a˜o.
• Uma part´ıcula sujeita a` energia potencial representada por U(x) e com
energia E pode ter dois tipos de movimentos de acordo com a sua posic¸a˜o:
– Pode deslocar-se entre ]∞, x1]. Este movimento so´ e´ limitado num
lado. A part´ıcula pode aproximar-se do ponto x = x1 vinda do infinito
x = −∞. No ponto x1 a sua velocidade anula-se e muda de sentido. A
part´ıcula enta˜o afasta-se indefinidamente. Este movimento e´ ilimitado.
– A part´ıcula move-se no intervalo [x2, x3]. Este movimento e´ limitado
em ambos os lados. Consideremos uma part´ıcula que parte da posic¸a˜o
x = x2 no sentido dos x crescentes. A sua velocidade no sentido
positivo do eixo dos x aumenta ate´ ao ponto x = x0 seguidamente
diminui ate´ x = x4, volta a aumentar ate´ x = x5 e a partir de x5
diminui ate´ x3 onde se anula e passa a ser negativa (movimento no
sentido dos x decrescentes) passando a part´ıcula pelos pontos x5, x4, x0
ate´ voltar a atingir x2. E´ um movimento limitado, perio´dico com
per´ıodo
T (E) = 2
∫ x3
x2
dx√
2
m
(E − U(x))
. (1.35)
O per´ıodo T e´ func¸a˜o de energia da part´ıcula e e´ igual ao dobro do
tempo que a part´ıcula demora a percorrer a distaˆncia entre x2 e x3.
Na Fig. 1.2 identificamos va´rias posic¸o˜es para as quais
dU
dx
= 0,
nomeadamente x = 0, x0, x4, x5. Nestes pontos a forc¸a exercida sobre a part´ıcula
e´ nula, ~F = −(dU/dx)ˆi = 0. Se a part´ıcula tiver velocidade nula nestas posic¸o˜es
ela vai manter-se nessa posic¸a˜o indefinidadmente. Dizemos que estes pontos sa˜o
pontos de equil´ıbrio. No entanto, e´ importante distinguir entre pontos como x0,
onde a segunda derivada da func¸a˜o e´ positiva
d2U
dx2
∣∣∣∣
x=x0
> 0, equil´ıbrio esta´vel
12
e pontos como x4, onde a segunda derivada da func¸a˜o e´ negativa
d2U
dx2
∣∣∣∣
x=x4
< 0, equil´ıbrio insta´vel.
Aos primeiros chamamos pontos de equil´ıbrio esta´vel e aos segundos pontos de
equil´ıbrio insta´vel. No caso de um ponto de equil´ıbrio esta´vel, quando a part´ıcula
e´ desviada da posic¸a˜o de equil´ıbrio a forc¸a exercida sobre ela vai obriga´-la a voltar
a` posic¸a˜o de equil´ıbrio. No caso de um ponto de equil´ıbrio insta´vel, quando a
part´ıcula e´ desviada da posic¸a˜o de equil´ıbrio a forc¸a exercida sobre ela vai afasta´-
la desse ponto.
1.7 Movimento de um electra˜o sob o efeito de
um campo ele´ctrico e magne´tico constantes
Bibliografia: French-Newtonian Mechanics-pg. 467
Vamos fazer o estudo do movimento de um electra˜o sob o efeito de um campo
ele´ctrico e um campo magne´tico constantes. Supomos que temos um par de
placas paralelas a` distaˆncia d uma da outra, montadas dentro de um tubo onde
existe o va´cuo e ligadas a uma bateria de modo a existir um campo ele´ctrico
uniforme de intensidade E = V/d entre as placas, de acordo com a figura 1.4. As
d
x
y
V
0
B
Figura 1.4: Tubo cato´dico com condensador
placas esta˜o colocadas entre os polos de um magnete que cria um campo uniforme
perpendicular ao plano do papel. Supomos que os electro˜es, de carga q = −e,
comec¸am o seu movimento a partir da placa debaixo com uma velocidade muito
pequena. Os electro˜es podera˜o ser libertados por um processo foto-ele´ctrico.
A forc¸a magne´tica, sendo perpendicular a` direcc¸a˜o do movimento do electra˜o,
FB = −ev ∧B,
13
na˜o realiza trabalho e a energia do electra˜o e´ dada por
E =
m
2
v2 − eV
d
y =
m
2
(v2x + v
2
y)− e
V
d
y. (1.36)
A u´ltima parcela representa a energia do electra˜o no campo ele´ctrico. A energia
mecaˆnica (1.36) e´ expressa em termos de vx, vy e y, e, devido a` escolha da origem
da energia potencial, e´ nula visto que para y = 0, v = 0. Podemos transformar
este problema num problema unidimensional eliminando vx em func¸a˜o de y. O
campo ele´ctrico so´ pode acelerar o electra˜o na direcc¸a˜o do eixo dos y. O movi-
mento na direcc¸a˜o do eixo dos x e´ apenas devido ao campo magne´tico B. Assim,
a componente da lei de Newton segundo o eixo dos x e´ dada por
m
d2x
dt2
= −e (v ∧B)x ,
ou ainda, visto que B = −Bkˆ,
m
d2x
dt2
= evyB.
Integrando a u´ltima equac¸a˜o com a condic¸a˜o v = 0 no ponto y = 0, obtemos
dx
dt
=
eB
m
y = ω0y. (1.37)
Finalmente, substituindo a u´ltima equac¸a˜o na expressa˜o (1.36), determinamos a
energia mecaˆnica do electra˜o apenas em func¸a˜o de y e vy,
E = 0 =
m
2
(v2y + ω
2
0y
2)− eV
d
y.
Tudo se passa como se a part´ıcula executasse um movimento unidimensional
sujeita a um potencial efectcivo
Uef =
m
2
ω20y
2 − eV
d
y. (1.38)
Seja ya = eV/(mdω
2
0) = V m/(edB
2).Na figura 1.5 representamos a func¸a˜o Uef em
func¸a˜o de y, correspondendo a uma para´bola de ve´rtice no ponto (Uef =
m
2
ω20y
2
a,
y = ya), como e´ fa´cil de concluir se reescrevermos (1.38) na forma
Uef =
m
2
ω20 (y − ya)2 −
m
2
ω20y
2
a, . (1.39)
Substituindo E = 0 e U = Uef (y) na equac¸a˜o (1.24) obtemos
14
Uef
y2y ay a
0
-m ω ya
2 2
0 /2
Figura 1.5: Energia potencial Uef (y)
t− t0 =
∫ y
y0
dy√
ω20y
2
a − ω20 (y − ya)2
,
=
1
ω0
∫ z
z0
dz√
1− z2 , z = y/ya − 1,
=
1
ω0
(arcsin(y/ya − 1)− arcsin(y0/ya − 1))
Finalmente, sabendo que para t = 0, y0 = 0, e que arcsin(−1) = 3π/2, obtemos
y(t) = ya(1 + sin(ω0t+ 3π/2)) = ya(1− cos(ω0t)). (1.40)
Determinamos x(t) integrando (1.37)
x(t) = ya (ω0t− sin(ω0t)) . (1.41)
As equac¸o˜es (1.41) e (1.40) determinam a trajecto´ria do electra˜o, representando
um ciclo´ıde na sua forma parame´trica, ver figura 1.6. E´ de notar que o valor
ma´ximo de y e´ ymax = 2ya, e, que se 2ya ≥ d o electra˜o e´ absorvido pela placa
de cima na˜o se obtendo a trajecto´ria representada em 1.6. O valor de ymax =
2V m/(edB2) podera´ ser alterado variando B ou V .
0 2 4 6pi pipi
y
2y a
x/ ω 0pi 3pi 5pi
Figura 1.6: Movimento do electra˜o no plano xy
15
Cap´ıtulo 2
Campo de forc¸as centrais
2.1 Campo de forc¸as centrais
Um campo de forc¸as centrais e´ caracterizado por linhas de forc¸a com a direcc¸a˜o
da linha que une o corpo, no qual a forc¸a actua, e o corpo que produz o campo de
forc¸as. Considerando uma part´ıcula num campo de forc¸as externo, o campo de
forc¸as centrais e´ um campo de forc¸as no qual a forc¸a que actua sobre a part´ıcula
tem a direcc¸a˜o da linha que une a part´ıcula a um ponto fixo, o centro do campo
de forc¸as. A forc¸a F que actua na part´ıcula sera´ da forma
F = f(x, y, z)
r
r
.
Este campo de forc¸as e´ conservativo se o mo´dulo de F apenas depender da
distaˆncia r ao centro de forc¸as, i.e.
F = f(r)
r
r
. (2.1)
Teorema: Um campo de forc¸as central e´ conservativo se uma das duas condic¸o˜es
e´ verificada:
1. a direcc¸a˜o da forc¸a e´ ao longo da linha que une a part´ıcula a um ponto fixo
e a grandeza so´ depende da distaˆncia do ponto fixo a` part´ıcula.
2. a forc¸a deriva de uma func¸a˜o potencial que apenasdepende da distaˆncia do
ponto fixo a` part´ıcula.
16
Estas duas condic¸o˜es sa˜o equivalentes. Consideremos a condic¸a˜o 2
F = −∇U(r) = −
(
∂U
∂x1
eˆ1 +
∂U
∂x2
eˆ2 +
∂U
∂x3
eˆ3
)
= −
3∑
i=1
∂U
∂xi
eˆi
= −
3∑
i=1
dU
dr
∂r
∂xi
eˆi,
onde considera´mos que U e´ apenas func¸a˜o de r. Substituindo
∂r
∂xi
=
∂
∂xi
√
x21 + x
2
2 + x
2
3 =
2xi
2
√
x21 + x
2
2 + x
2
3
=
xi
r
; i = 1, 2, 3,
obtemos
F = −∇U(r) = −1
r
dU
dr
3∑
i=1
xieˆi = −dU
dr
r
r
,
considerando que 1
r
dU
dr
na˜o e´ afectado pelo somato´rio no ı´ndice i e que
3∑
i=1
xieˆi = x1eˆ1 + x2eˆ2 + x3eˆ3 = r.
Finalmente temos
F = −dU(r)
dr
r
r
= f(r)
r
r
.
F e´ uma forc¸a com a direcc¸a˜o do raio vector r que une a part´ıcula ao centro do
campo de forc¸as e cujo mo´dulo apenas depende da distaˆncia r ao centro de forc¸as.
Prova´mos que a condic¸a˜o 2 e´ equivalente a` condic¸a˜o 1. O inverso tambe´m e´
verdadeiro.
Seja F da forma
F = f(r)
r
r
.
O trabalho elementar realizado por esta forc¸a durante o deslocamento dr e´ dado
por
dw = F · dr = f(r)
r
r · dr.
Substituindo r · dr por rdr,
r.dr =
1
2
d(r · r) = 1
2
dr2 = rdr,
obtemos
dw = f(r)dr.
17
O trabalho elementar dw apenas depende do valor inicial e final da varia´vel r,
a distaˆncia ao centro de forc¸as, e, portanto, F e´ uma forc¸a conservativa. Enta˜o
existe uma func¸a˜o potencial U(r) tal que
dw = −dU = f(r)dr
ou
F = −∇U,
visto que dU =∇U · dr. 1
Prova´mos que as condic¸o˜es 1 e 2 do teorema sa˜o equivalentes. Falta agora
provar que se F e´ conservativo o mo´dulo de F apenas depende de r ou que
U = U(r). Supomos que nada e´ conhecido acerca da dependeˆncia de |F| de r.
Partimos do facto que F e´ uma forc¸a central
F = f
r
r
, (2.2)
e F deriva de um potencial
F = −∇U. (2.3)
Multiplicando escalarmente (2.2) e (2.3) por dr e igualando ambas as expresso˜es
obtemos
−∇U.dr = f
r
r · dr. (2.4)
Vimos anteriormente que
r · dr = rdr
e
∇U · dr = dU.
Substituindo as u´ltimas relac¸o˜es em (2.4) temos
−dU = fdr,
ou a func¸a˜o potencial U varia apenas quando a varia´vel r varia. Enta˜o U e´ func¸a˜o
de r, U = U(r). Mas U = U(r) implica que
F = f(r)rˆ,
como quer´ıamos demonstrar.
1dU = ∂U
∂x
dx+ ∂U
∂y
dy + ∂U
∂z
dz = (∂U
∂x
eˆ1 +
∂U
∂y
eˆ2 +
∂U
∂z
eˆ3).(dxeˆ1 + dyeˆ2 + dzeˆ3) =∇U · dr.
18
2.2 Exemplos de campos de forc¸as centrais
O campo de forc¸as de Coulomb e o campo de forc¸as grav´ıtico sa˜o dois exemplos
de campos de forc¸as centrais da forma
F = − k
r2
rˆ,
i.e., forc¸as que derivam de um potencial U(r) tal que
U(r) = −k
r
.
Nas u´ltimas equac¸o˜es k e´ uma constante positiva no caso do campo grav´ıtico
e do campo de Coulomb entre part´ıculas com carga de sinal oposto, ou k e´ uma
constante negativa no caso do campo de Coulomb entre part´ıculas com carga do
mesmo sinal. Se k > 0 o campo de forc¸as e´ atractivo, se k < 0 o campo de forc¸as
e´ repulsivo.
O oscilador harmo´nico isotro´pico e´ outro exemplo de um campo de forc¸as
centrais:
U(r) =
kr2
2
, k > 0.
2.3 A o´rbita de uma part´ıcula sobre a qual ac-
tua uma forc¸a central
A o´rbita de uma part´ıcula sobre a qual actua uma forc¸a da forma
F = f(r)
r
r
e´ plana. Consideremos que num dado instante a part´ıcula tem uma velocidade r˙
e sobre ela actua uma forc¸a F com a direcc¸a˜o indicada na figura 2.1. De acordo
com a segunda lei de Newton a acelerac¸a˜o da part´ıcula tem a direcc¸a˜o da forc¸a
F. A forc¸a F esta´ sobre o plano definido pela velocidade r˙ e a origem O. Assim,
a acelerac¸a˜o na˜o tem uma componente perpendicular ao plano definido por O e
r˙ que obrigue a part´ıcula a sair deste plano. A part´ıcula ficara´ sempre sobre o
plano definido pela origem e a velocidade inicial da part´ıcula v0 - e´ o plano da
o´rbita.
Chegaremos a` mesma conclusa˜o calculando o momento angular da part´ıcula
relativamente a` origem O,
dL
dt
= r ∧ F = r ∧ f(r)
r
r = 0
dL
dt
= 0⇒ L = cte.
19
O
P
F
v
Figura 2.1: Campo de forc¸as central, sendo O o centro de
forc¸as e P a posic¸a˜o da part´ıcula
Conclu´ımos que o momento angular de uma part´ıcula sujeita um campo de forc¸as
centrais F = f(r)rˆ e´ constante. Sendo L um vector, temos na verdade treˆs cons-
tantes de movimento, as treˆs componentes de L. O vector posic¸a˜o da part´ıcula r
e´ constantemente perpendicular a L (L = r ∧ p) e, portanto, como consequeˆncia
de L ser um vector constante, r pertence em todos os instantes t a um plano
perpendicular a L, o plano da o´rbita.
Se o movimento e´ planar um problema que inicialmente era um problema a 3
dimenso˜es passa a ser um problema a duas dimenso˜es 2!
2.4 As equac¸o˜es de movimento
As soluc¸o˜es das equac¸o˜es de movimento
mx¨i = Fi i = 1, 2, 3,
treˆs equac¸o˜es diferenciais de segunda ordem, conteˆm 6 constantes de integrac¸a˜o,
duas por equac¸a˜o. Para duas destas poderemos escolher os co-senos directores de
L que fixam o plano da o´rbita. Resta-nos um problema a duas dimenso˜es com
4 constantes de integrac¸a˜o. Uma destas e´ a grandeza do vector L que tambe´m
se mante´m constante, e outra e´ a energia mecaˆnica do sistema que se mante´m
constante se o campo de forc¸as e´ conservativo. As u´ltimas duas constantes apare-
cem na integrac¸a˜o das equac¸o˜es de movimento e, definem, por exemplo, a posic¸a˜o
inicial da part´ıcula.
Escolhemos o eixo dos z paralelo ao vector L e introduzimos as coordenadas
polares r, θ no plano xy,
x = r cos θ y = r sin θ. (2.5)
2se L = 0 enta˜o o movimento e´ linear. Da definic¸a˜o de L = r ∧mr˙ so´ podemos ter L = 0
para r e r˙ 6= 0 se r‖r˙.
20
Sejam L e E respectivamente a grandeza do vector momento angular e a energia
mecaˆnica,
L = |r ∧mv| = m(xy˙ − yx˙). (2.6)
E =
1
2
m(x˙2 + y˙2) + U(r). (2.7)
A equac¸a˜o (2.6) representa a componente L3 do momento angular visto que es-
colhemos L = Lkˆ. Substituindo (2.5) e
x˙ = r˙ cos θ − rθ˙ sin θ,
y˙ = r˙ sin θ + rθ˙ cos θ
nas expresso˜es (2.6) e (2.7) obtemos
L = mr2θ˙, (2.8)
E =
m
2
(r˙2 + r2θ˙2) + U(r). (2.9)
A equac¸a˜o (2.8) conte´m a lei das a´reas. Sabemos que L e´ constante. O significado
f´ısico do segundo membro da equac¸a˜o (2.8) fica claro analisando a figura 2.2. Seja
O
P
Q
d
θ
θ
Figura 2.2: Lei das a´reas
P a posic¸a˜o da part´ıcula no instante t e Q a sua posic¸a˜o no instante t + dt. No
intervalo de tempo dt o raio vector r varre uma a´rea
dA =
1
2
OP PQ = 1
2
r2dθ.
A a´rea varrida por unidade de tempo,
dA
dt
=
1
2
r2θ˙, (2.10)
21
e´, de acordo com (2.8), uma constante do movimento,
dA
dt
=
L
2m
. (2.11)
Podemos enunciar a lei das a´reas do seguinte modo: o raio vector da part´ıcula
relativamente ao centro de forc¸as varre a´reas iguais em intervalos de tempo iguais.
Esta lei e´ conhecida pela segunda lei de Kepler no caso do potencial grav´ıtico.
Vimos, no entanto, que ela e´ mais geral: e´ va´lida para qualquer campo de forc¸as
centrais mesmo que na˜o seja conservativo.
Da equac¸a˜o (2.9) conclu´ımos que a energia cine´tica em coordenadas polares e´
da forma
T =
1
2
mr˙2 +
1
2
mr2θ˙2, (2.12)
estando a primeira e a segunda parcela ligadas, respectivamente, ao movimento
radial e transverso da part´ıcula. Em coordenadas polares a velocidade da part´ı-
cula e´
v = r˙eˆr + rθ˙eˆθ (2.13)
sendo eˆr =
r
r
em
cada ponto e eˆθ o vec-
tor unita´rio perpendi-
cular a eˆr e apontando
no sentido dos aˆngulos
crescentes, conforme a
figura ao lado.
êθ
êr
r
O
Definindo vr = r˙ e vθ = rθ˙, (2.12) pode escrever-se na forma
T =
m
2
v2r +
m
2
v2θ .
Substituindo θ˙ por L/mr2 (ver eq. (2.8)) na equac¸a˜o (2.12)temos
T =
1
2
mr˙2 +
L2
2mr2
. (2.14)
A parcela L
2
2mr2
e´ geralmente chamada energia potencial centr´ıfuga porque a forc¸a
obtida calculando o negativo do gradiente desta energia potencial e´ dada por
Fcent = − d
dr
(
L2
2mr2
) =
L2
mr3
.
Substituindo L = mr2θ˙ obtemos
Fcent = mrθ˙
2,
que e´ igual a` forc¸a centr´ıfuga mω2r num referencial que roda com uma velocidade
angular ω igual ao valor instantaˆneo de dθ
dt
. No entanto, e´ importante na˜o esquecer
22
que de facto a ”energia potencial centr´ıfuga”e´ uma parcela da energia cine´tica
da part´ıcula: a parte correspondente a` componente transversa (perpendicular em
cada instante ao raio vector) do movimento.
A possibilidade de exprimir a energia cine´tica apenas em func¸a˜o da varia´vel r
reduz o problema do estudo do movimento de uma part´ıcula num campo conser-
vativo de forc¸as centrais a um problema unidimensional de uma part´ıcula sujeita
ao potencial efectivo Uef , i.e.
m
d2r
dt2
= − d
dr
Uef .
Substituindo (2.14) na equac¸a˜o (2.9) verificamos que
E =
1
2
mr˙2 +
L2
2mr2
+ U(r) (2.15)
corresponde ao problema unidimensional de uma part´ıcula sujeita a` energia po-
tencial efectiva
Uef =
L2
2mr2
+ U(r) (2.16)
ja´ estudado anteriormente (ver equac¸a˜o (1.22) e seguintes). A u´nica diferenc¸a e´
que a varia´vel r ∈ [0,+∞[ e no problema unidimensional x ∈] − ∞,+∞[. De
(2.16) e (1.23) temos
dt =
dr√
2
m
(
E − U(r)− L2
2mr2
) . (2.17)
Calculando a variac¸a˜o de θ, dθ, quando t varia de uma quantidade dt a partir da
equac¸a˜o (2.8),
dθ =
L
mr2
dt,
e, substituindo em (2.17), obtemos
dθ =
L
r2
dr√
2m
(
E − U(r)− L2
2mr2
) . (2.18)
Integrando (2.18) entre um ponto inicial com coordenadas (r0, θ0) e um ponto
gene´rico (r, θ) determinamos a equac¸a˜o da o´rbita da part´ıcula
θ − θ0 =
∫ r
r0
Ldr
r2
√
2m
(
E − U(r)− L2
2mr2
) . (2.19)
Este integral pode ser integrado em termos de func¸o˜es conhecidas para os seguin-
tes potenciais
U(r) =
a
r
,
a
r2
, ar2.
23
Consideremos primeiro o caso U(r) = a
r
, com a < 0 ou a > 0. Efectuando a
mudanc¸a de varia´veis
r → x = 1
r
dx =
−1
r2
dr
obtemos de (2.19)
θ − θ0 =
∫ x
x0
−Ldx√
2m(E − ax− L2
2m
x2)
(2.20)
O passo seguinte consiste em efectuar uma nova mudanc¸a de varia´veis de modo
a obtermos um integral da forma ∫
dy√
1− y2 .
Para isso, escrevemos a func¸a˜o integranda em (2.20) na forma
f = 2mE − 2max− L2x2 = 2mE −
(
Lx+
ma
L
)2
+
m2a2
L2
,
ou ainda,
f = A2
[
1−
(
Lx+ma/L
A
)2]
,
com
A =
√
2mE +
m2a2
L2
.
Substituindo f em (2.20)
θ − θ0 = −
∫ x
x0
Ldx
A
√
1−
(
Lx+ma/L
A
)2 ,
e efectuando uma nova mudanc¸a de varia´veis
x→ y = Lx+ma/LA ; dy =
L
Adx,
temos, finalmente,
θ − θ0 =
∫ y
y0
−dy√
1− y2 = arccosy|
y
y0
.
Escolhendo θ0 de modo que arccosy0 = 0 obtemos
(θ − θ0) = arccosy ↔ y = cos(θ − θ0)
24
ou,
1
r
= −ma
L2
+
A
L
cos(θ − θ0). (2.21)
Voltaremos a` equac¸a˜o (2.21) quando estudarmos o problema de Kepler. A de-
rivac¸a˜o de (2.21) supo˜e que se E < 0 enta˜o m
2a2
L2
> 2m|E|. Ale´m disso a constante
a na energia potencial U(r) = a/r pode ser positiva ou negativa. A interpretac¸a˜o
da equac¸a˜o (2.21) depende do sinal de a como seria de esperar. Se a > 0, U(r)
representa um potencial repulsivo, se a < 0, U(r) e´ um potencial atractivo.
Para o potencial U(r) = a
r2
procedemos de um modo semelhante. A integrac¸a˜o
de (2.19) no caso do oscilador harmo´nico U(r) = kr
2
2
, k > 0, envolve mudanc¸as
de varia´vel um pouco diferentes. Neste caso temos
θ − θ0 =
∫ r
r0
Ldr
r2
√
2m
(
E − kr2
2
− L2
2mr2
) ,
e, efectuando a mudanc¸a de varia´veis
r → x = 1
r
, dx = −dr
r2
, (2.22)
obtemos
θ − θ0 =
∫ x
x0
−Ldx√
2mE − mk
x2
− L2x2
,
=
∫ x
x0
−Lxdx√−mk + 2mEx2 − L2x4 .
Somando e subtraindo um termo independente de x de modo a completar um
quadrado perfeito juntamente com os u´ltimos dois termos do radicando, obtemos
θ − θ0 =
∫ x
x0
−Lxdx√
m2E2
L2
−mk − (Lx2 − mE
L
)2 ,
ou
θ − θ0 =
∫ x
x0
−Lxdx
A′
√
1−
(
Lx2−mE/L
A′
)2
com
A′ =
√
m2E2
L2
−mk. (2.23)
Efectuando uma segunda mudanc¸a de varia´veis
y =
Lx2 −mE/L
A′ , dy =
2Lxdx
A′ (2.24)
25
temos
θ − θ0 = 1
2
∫ y
y0
−dy√
1− y2 =
1
2
arccosy|yy0 . (2.25)
Se escolhermos θ0 tal que y0 = 0 temos, invertendo (2.25),
y = cos 2(θ − θ0), (2.26)
ou, ainda, substituindo (2.22) e (2.24) em (2.26)
1
r2
=
mE
L2
+
√
m2E2
L4
− mk
L2
cos 2(θ − θ0). (2.27)
A equac¸a˜o (2.27) representa uma elipse com a origem de coordenadas no centro
da elipse.
Exerc´ıcio: escrever a equac¸a˜o de uma elipse com o centro na origem das coordenadas
em coordenadas cartesianas e efectuar uma mudanc¸a de varia´veis para coordenadas
polares - Comparar o resultado obtido com (2.27).
Conclu´ımos que uma part´ıcula sujeita ao potencial U(r) = kr
2
2
descreve uma
o´rbita el´ıptica com origem de coordenadas no centro, i.e. o centro de forc¸as situa-
se no centro da o´rbita. De (2.27) tambe´m se obte´m o limite inferior da energia
da part´ıcula. O movimento so´ se pode realizar se
m2E2
L4
− mk
L2
≥ 0 ou E ≥
√
k
m
L (2.28)
visto que o radicando obtido em (2.27) devera´ ser positivo.
2.5 Representac¸a˜o gra´fica de Uef : propriedades
das o´rbitas
Das equac¸o˜es (2.8) e (2.15) foi poss´ıvel determinar a o´rbita de uma part´ıcula
sujeita a um campo de forc¸as centrais conservativo. No entanto, a equac¸a˜o (2.15)
so´ por si conte´m muita informac¸a˜o sobre o tipo de o´rbitas que a part´ıcula pode
descrever. A ana´lise dos gra´ficos da energia potencial efectiva da part´ıcula,
Uef (r) = U(r) +
L2
2mr2
, (2.29)
em func¸a˜o da coordenada r, e´ suficiente para classificar o movimento da part´ıcula
de acordo com a sua energia.
Estudaremos os seguintes casos:
a) U(r) = −k
r
, b) U(r) = − k
r3
, c) U(r) =
kr2
2
, k > 0. (2.30)
26
Em cada caso representaremos a func¸a˜o Uef (r) em func¸a˜o de r e estudaremos a
possibilidade da part´ıcula ter diferentes valores de energia, E. O movimento so´
sera´ poss´ıvel se
E ≥ Uef (r), (2.31)
verificando-se o sinal de igual se a parcela mr˙
2
2
, a energia cine´tica radial, for nula.
2.5.1 O potencial U(r) = −kr
r
E
E
E
E
- k/r
L / 2mr
r r r r
r
1
2
3
4
5
2
2
1 3 0 4
2 E = 0
Uef(r)
O
Figura 2.3: O potencial efectivo Uef para U(r) = −kr
A func¸a˜o Uef (r), representada na figura 2.3, e´ positiva quando r → 0 porque
| L
2
2mr2
| > | − k
r
| se r → 0. (2.32)
No limite r →∞
| − k/r| > |L2/2mr2| r →∞ (2.33)
e, portanto, Uef e´ negativo. O mı´nimo de Uef e´ determinado minimizando Uef
em relac¸a˜o a r,
dUef
dr
= 0⇒ − L
2
mr3
+
k
r2
= 0. (2.34)
27
O mı´nimo verifica-se para
r0 =
L2
km
, Uef (r0) = −k
2m
2L2
. (2.35)
E´ importante salientar que quando L = 0, o potencial efectivo reduz-se ao po-
tencial U(r), Uef = U(r), e a part´ıcula nunca sente o efeito repulsivo quando se
aproxima do centro de forc¸as O.
Consideremos os diferentes casos indicados na figura:
i) E = E1 > 0, a energia e´ positiva. A part´ıcula tem uma o´rbita ilimitada. A
part´ıcula podera´ vir do infinito no sentido de r decrescente, no ponto r = r2,
a sua velocidade anula-se (ponto de retorno) e a part´ıcula continuara´ o seu
movimento no sentido de r crescente ate´ ao infinito. r1 e´ a coordenada
radial do ponto de aproximac¸a˜o ma´xima do centro de forc¸as.
ii) E = E2 = 0, e´ um caso semelhante ao caso estudado em i).
iii) E = E3 < 0, a part´ıculatem uma o´rbita limitada entre os pontos de
coordenadas radial r = r3 e r = r4. Os pontos r = r3 e r4 sa˜o pontos de
retorno, respectivamente, os pontos de aproximac¸a˜o ma´xima e afastamento
ma´ximo do centro de forc¸as.
iv) E = E4, a part´ıcula tem uma o´rbita circular com r = r0. Notar que nestas
condic¸o˜es a velocidade radial r˙ e´ nula. A part´ıcula apenas tem velocidade
angular v0 = rθ˙. O ponto r0 obte´m-se minimizando Uef em ordem a r,
dUef
dr
= 0.
Desta equac¸a˜o obtemos
dU
dr
=
L2
mr30
⇔ F = −mr0θ˙2 = −mv
2
0
r0
, (2.36)
com F = −dU
dr
e L = mr2θ˙ = mr0vθ. A equac¸a˜o (2.36) exprime o facto
de o campo de forc¸as ter de exercer uma forc¸a sobre a part´ıcula que lhe
transmita a acelerac¸a˜o centr´ıpeta necessa´ria para a part´ıcula se manter na
o´rbita r = r0.
v) E = E5, o movimento na˜o e´ poss´ıvel porque E < Uef (r)∀r. O movimento
so´ e´ poss´ıvel para E ≥ E4 = Uef (r0)
E´ de notar que em todos os casos podemos determinar a energia cine´tica radial,
mr˙2/2, calculando a distaˆncia da recta E = Ei a` curva Uef (r).
Na figura 2.4 esta´ representada uma o´rbita limitada (E = E3) sendo r1 e r2,
respectivamente, os pontos de aproximac¸a˜o ma´xima e afastamento ma´ximo do
28
centro de forc¸as. E´, no entanto, importante notar que a forma da o´rbita so´ pode
ser determinada integrando a equac¸a˜o da o´rbita (2.19). Do gra´fico de Uef so´
podemos concluir que o movimento da part´ıcula com energia E3 esta´ confinado
ao espac¸o limitado pelas circunfereˆncias r = r1 e r = r2. A discussa˜o que foi feita
r r1 2
Figura 2.4: O´rbita limitada, E = E3
para o potencial U(r) = −k
r
e´ va´lida para qualquer potencial U(r) desde que
• r →∞⇒ |U(r)| → 0 mais devagar que 1/r2.
• r → 0⇒ U(r)→ −∞ mais devagar que −1/r2.
• No caso particular de U(r) = −k
r
a part´ıcula tera´ uma o´rbita
i) hiperbo´lica se E = E1,
ii) parabo´lica se E = E2 = 0,
iii) el´ıptica se E = E3,
iv) circular se E = E4.
Exerc´ıcio: Determinar a partir da representac¸a˜o gra´fica da energia potencial efectiva
as o´rbitas poss´ıveis de uma part´ıcula sujeita aos potenciais: a)V = k/r, com k > 0.
2.5.2 O potencial U(r) = − kr3
Representamos na figura 2.5 o potencial efectivo correspondente ao potencial
U(r) = − k
r3
k > 0. O presente estudo e´ equivalente ao estudo que seria feito se
i) |U(r)| → 0 mais depressa que 1/r2 quando r →∞.
ii) U(r)→ −∞ mais depressa que −1/r2 quando r → 0.
29
- k/r
L / 2mr
2
2
3
r
E
E
E
 E = 0
E
rr
1
2
3
4
5
2 0 3
O r
r1
Uef(r)
Figura 2.5: O potencial efectivo Uef para U(r) = − kr3
A condic¸a˜o i) implica que Uef (r)→ 0 por valores positivos quando r →∞ porque
o termo L
2
2mr2
e´ maior que | − k/r3| quando r → 0. Da condic¸a˜o ii) resulta que
Uef (r) → −∞ quando r → 0 pois a parcela −k/r3 e´ maior em valor absoluto
que L2/2mr2 neste caso. Ale´m disso, visto que Uef (r) primeiro cresce e depois
decresce a func¸a˜o Uef (r) tem um ma´ximo:
dUef
dr
∣∣∣∣
r=r0
= 0⇒ −L
2
mr30
+
3k
r40
= 0⇔ r0 = 3km
l2
.
Estudaremos seguidamente as propriedades das diferentes o´rbitas que a par-
t´ıcula tem consoante a sua energia:
i) E = E1, o´rbita na˜o limitada. A part´ı cula pode deslocar-se desde r = 0 ate´
r =∞.
ii) E = E2 = 0, se a part´ıcula esta´ a` distaˆncia r = r0 ela mante´m-se sempre a
esta distaˆncia do centro de forc¸as, descrevendo uma o´rbita circular. A sua
velocidade radial e´ nula. Se, no entanto, a part´ıcula na˜o esta´ a` distaˆncia
r = r0 da origem, algo diferente sucede. Se ela esta´ a r > r0 de O e se
afasta do centro de forc¸as ela continuara´ a afastar-se ate´ ao infinito. No
entanto, se ela se aproxima dum ponto com r = r0 logo que ela atinja este
ponto ela ficara´ a circular em torno de O a` distaˆncia r0 porque neste ponto
30
a velocidade radial e´ nula e a forc¸a efectiva que actua na direcc¸a˜o radial
tambe´m e´ nula. Na˜o lhe podera´ ser transmitida uma acelerac¸a˜o radial que
a obrigue a afastar -se de r = r0. Se ela esta´ a r < r0 de O ela ficara´ nesta
regia˜o ate´ atingir o ponto r = r0 mantendo-se a circular em torno de O, a
uma distaˆncia r0, indefinidamente.
iii) E = E3, o movimento so´ e´ poss´ıvel se r < r2 e r > r3. Se r < r2 o
movimento e´ limitado, 0 ≤ r ≤ r2. Se r < r3 a o´rbita e´ ilimitada, r ≥ r3
sendo limitada inferiormente.
iv) E = E4 = 0, so´ e´ poss´ıvel movimento na regia˜o 0 ≥ r ≥ r1, o´rbita limitada.
v) E = E5 < 0, situac¸a˜o equivalente a iv).
Conclu´ımos que, ao contra´rio do exemplo anterior, o movimento da part´ıcula e´
sempre poss´ıvel qualquer que seja a energia da part´ıcula.
2.5.3 O potencial U(r) = kr
2
2
Este e´ um caso bastante diferente dos outros dois anteriores: na˜o iremos encontrar
o´rbitas ilimitadas. Representamos na figura 2.6 o potencial efectivo correspon-
dente ao potencial U(r) = kr
2
2
, k > 0. Quando r → 0 a energia potencial
Uef(r)
r
E
E
r r rO
kr /2
L /2mr 2
2
1
0
1 0 2
2
Figura 2.6: O potencial efectivo Uef para U(r) =
kr2
2
centr´ıfuga prevalece, ℓ2/2mr2 → ∞ enquanto que kr2/2 → 0. Pelo contra´rio,
31
quando r → ∞, kr2/2 → ∞ e ℓ2/2mr2 → 0. A curva da energia potencial
efectiva tem um mı´nimo para r = r0, tal que:
dUef
r
∣∣∣∣
r=r0
= 0 ⇒ r40 =
ℓ2
km
,
Uef (r0) = ℓ
√
k
m
.
Sendo a energia cine´tica da part´ıcula uma quantidade positiva, podendo, quando
muito ser nula, a energia mecaˆnica, E = mr˙2/2 + Uef , nunca podera´ ser inferior
a Uef (r0), o valor mı´nimo de Uef . Analisaremos, em seguida, algumas das propri-
edades da o´rbita descrita por uma part´ıcula com energia mecaˆnica E = Uef (r0)
e E > Uef (r0):
• E0 = Uef (r0) – a part´ıcula descreve uma o´rbita circular de raio r0. O centro
de forc¸as e´ o centro da o´rbita e a velocidade radial da part´ıcula, r˙, e´ nula.
• E1 > Uef (r0) – a part´ıcula descreve uma o´rbita limitada, sendo r1 e r2, res-
pectivamente, as distaˆncia de aproximac¸a˜o ma´xima e de maior afastamento.
Nestes pontos a velocidade radial anula-se. A part´ıcula so´ podera´ ser en-
contrada numa regia˜o do espac¸o compreendida entre as circunfereˆncias de
raio r = r1 e r = r2. Do gra´fico na˜o poderemos tirar mais nenhuma in-
formac¸a˜o sobre a forma da o´rbita que a part´ıcula descreve . Vimos, no
entanto, no para´grafo anterior, que a equac¸a˜o de o´rbita, eq. (2.27), repre-
senta uma elipse, estando o centro de forc¸as no centro da elipse. Assim, r1
e´ o semi-eixo menor da elipse e r2 o semi-eixo maior.
As o´rbitas descritas por part´ıculas sujeitas ao potencial harmo´nico esfe´rico sa˜o
todas limitadas, qualquer que seja a energia das part´ıculas, e, apenas quando a
part´ıcula tiver o momento angular nulo, ell = 0, podera´ passar pelo centro de
forc¸as, devido a` auseˆncia da barreira do potencial centr´ıfugo.
2.6 Barreira de potencial centr´ıfugo L2/2mr2
Em certas condic¸o˜es a barreira de potencial centr´ıfugo impede a aproximac¸a˜o das
part´ıculas do centro de forc¸as. Determinemos essas condic¸o˜es. A energia cine´tica
radial e´ positiva
1
2
mr˙2 = E − Uef (r) ≥ 0
logo E ≥ U(r) + L2
2mr2
ou, ainda,
r2U(r) ≤ r2E − L2/2m.
32
Consideremos o limite r → 0, a part´ıcula aproxima- se do centro de forc¸as,
lim
r→0
r2U(r) ≤ − L
2
2m
, (2.37)
e seja U(r) = − α
rβ
.
• Se β > 2 limr→0− αrβ−2 = −∞, (2.37) e´ verificada, −∞ ≤ −L2/2m.
• Se β < 2 limr→0− αrβ−2 = 0, (2.37) so´ e´ poss´ıvel se L = 0.
• Se β = 2 limr→0− αr0 = −α, (2.37) so´ e´ poss´ıvel se α ≥ L2/2m.
2.7 O´rbitas limitadas, o´rbitas fechadas
Vimos que em certas condic¸o˜es a part´ıcula sujeita a um campo de forc¸as cen-
trais move-se numa o´rbita limitada, i.e. a distaˆncia r da part´ıcula ao centro
de forc¸as pertence ao intervalo [rmin, rmax] sendo rmin e rmax respectivamente as
distaˆncias de aproximac¸a˜oma´xima e afastamento ma´ximo do centro de forc¸as,
rmin e rmax sa˜o pontos de retorno. A part´ıcula move-se entre duas circunfereˆncias
conceˆntricas de raios rmin e rmax. A o´rbita e´ tangente a estas duas circunfereˆncias.
Na figura 2.7 esta´ representada a o´rbita de uma part´ıcula confinada a` regia˜o do
rmin
rmaxD
A
C
B
O
D’
Figura 2.7: O´rbita de uma part´ıcula confinada a` regia˜o do
espac¸o rmin ≤ r < rmax
espac¸o rmin ≤ r < rmax. Consideremos o movimento da part´ıcula depois de ter
alcanc¸ado o ponto A. Move-se seguidamente no sentido da seta passando tan-
gente a` circunfereˆncia interior no ponto C e novamente tangente a` circunfereˆncia
exterior no ponto B. Seja Tr o tempo que a part´ıcula demora a efectuar este
33
movimento. Tr e´ o per´ıodo radial. Por outro lado o raio vector muda constante-
mente de direcc¸a˜o no mesmo sentido. Seja Tθ, o per´ıodo angular, o tempo que ele
demora a percorrer um aˆngulo 2π, por exemplo a ir de D a D′. OD representa o
raio vector num instante t e OD′ o raio vector no instante t+ Tθ. Se os per´ıodos
Tr e Tθ sa˜o comensura´veis, i. e.
Tr
Tθ
= m
n
sendo m e n dois nu´meros inteiros
a o´rbita e´ fechada, pois, ao fim de um certo per´ıodo de tempo igual ao menor
mu´ltiplo comum de Tθ e Tr, a part´ıcula volta a` posic¸a˜o inicial. Se Tθ e Tr na˜o
sa˜o comensura´veis o raio vector percorrera´ todo o espac¸o entre rmin e rmax e a
o´rbita nunca fechara´.
As o´rbitas fechadas sa˜o raras, no entanto, no caso dos potenciais U(r) = −k/r
e U(r) = kr
2
2
todas as o´rbitas finitas, limitadas, sa˜o fechadas.
2.8 Determinac¸a˜o de U(r) conhecida a o´rbita r(θ)
Consideremos uma part´ıcula sujeita a um campo de forc¸as centrais que descreve
uma o´rbita definida pela func¸a˜o r(θ). A sua energia mecaˆnica e´ dada por
E =
1
2
mr˙2 +
L2
2mr2
+ U(r). (2.38)
Mas r depende do tempo t atrave´s de θ, logo
dr
dt
=
dr
dθ
dθ
dt
= θ˙
dr
dθ
=
L
mr2
dr
dθ
.
Substituindo em (2.38) obtemos
U(r) = E − L
2
2mr2
(
1 +
1
r2
(
dr
dθ
)2)
. (2.39)
Assim, conhecida a func¸a˜o r(θ), podemos calcular dr
dθ
e seguidamente U(r).
Exerc´ıcio: Uma part´ıcula descreve a o´rbita definida pela equac¸a˜o pr = 1 + ǫ cos θ,
sendo p e ǫ constantes. Determine U(r).
2.9 O´rbitas circulares esta´veis e insta´veis
Vimos que, se o potencial efectivo Uef =
L2
2mr2
+ U(r) apresentar um mı´nimo ou
um ma´ximo tal que
dUef
dr
|r=r0 = 0, a part´ıcula descreve uma o´rbita circular, e,
portanto, uma o´rbita fechada, quando esta´ a` distaˆncia r0 do centro de forc¸as. En-
contra´mos um mı´nimo para U(r) = −k/r e um ma´ximo no caso U(r) = −k/r3.
Qual a diferenc¸a entre estas duas situac¸o˜es? Comparando as figuras 2.8 a) e 2.8
34
Uef
Uef
r
r
a) b)
E
E
E
E
E
r r r
r r r
2
0
1
1
0
1 0 2
1 0 2
Figura 2.8: a) U(r) = k/r; b) U(r) = k/r3
b) conclu´ımos o seguinte: Se as part´ıculas teˆm energia E0 enta˜o elas descrevem
uma circunfereˆncia de raio r0. Se, no caso a), a energia e´ levemente diminu´ıda
o movimento deixa de ser poss´ıvel, se for aumentada um pouco a part´ıcula con-
tinua a descrever uma o´rbita limitada. Deixa, no entanto, de ser circular, sendo
limitada pelas circunfereˆncias r = r1 e r = r2. No caso b), se a energia e´ di-
minu´ıda um pouco a part´ıcula pode descrever uma o´rbita ilimitada com r ≥ r2
ou uma o´rbita limitada tal que 0 ≤ r ≤ r0. O movimento da part´ıcula tem
caracter´ısticas totalmente diferentes da situac¸a˜o E = E0. Poderiamos tambe´m
considerar o caso em que o E = E2 > E0. Neste caso a part´ıcula pode passar
por qualquer ponto do espac¸o. Temos, portanto, dois casos totalmente diferentes.
No caso a), se aumentarmos levemente a energia, obtemos uma o´rbita limitada
com caracter´ısticas semelhantes a` o´rbita circular r = r0, o potencial efectivo tem
um mı´nimo em r = r0. Dizemos que esta o´rbita circular e´ esta´vel. No caso b),
a o´rbita circular e´ insta´vel porque as caracter´ısticas da o´rbita da part´ıcula sa˜o
totalmente alteradas para E 6= E0, Uef tem um ma´ximo em r = r0.
Exerc´ıcio: Considere uma part´ıcula sujeita ao potencial U(r) = − arn com a > 0 e
n inteiro. Em que condic¸o˜es a part´ıcula tem a possibilidade de descrever uma o´rbita
circular esta´vel?
35
2.10 O problema de Kepler
Na natureza temos duas importantes forc¸as que derivam do potencial U(r) =
−k/r, a forc¸a grav´ıtica e a forc¸a ele´ctrica entre duas cargas de sinal oposto.
Uma part´ıcula sujeita a` energia potencial U = −k/r tem uma energia poten-
cial efectiva
Uef (r) =
L2
2mr2
− k
r
.
Ja´ fizemos o estudo qualitativo das o´rbitas que a part´ıcula pode descrever tendo
em conta a sua energia total, a partir da representac¸a˜o gra´fica de Uef (r) versus
r. Obtivemos a equac¸a˜o da o´rbita, eq. (2.21), na secc¸a˜o 2.4.
2.10.1 As o´rbitas no problema de Kepler
Vamos analisar a eq. (2.21)
1
r
= −ma
L2
+
A
L
cos(θ − θ0),
com
A =
√
m2a2
L2
+ 2mE,
e fazer o estudo quantitativo das o´rbitas poss´ıveis no problema de Kepler. Fa-
zendo a = −k, e introduzindo as quantidades
p =
L2
mk
(2.40)
e
ǫ =
√
1 +
2EL2
mk2
(2.41)
obtemos
p
r
= 1 + ǫ cos(θ − θ0). (2.42)
A equac¸a˜o (2.42) e´ a equac¸a˜o de uma co´nica. De (2.41) podemos determinar o
valor mı´nimo poss´ıvel de E,
1 +
2EL2
mk2
≥ 0 ou E ≥ −mk
2
2L2
, (2.43)
condic¸a˜o ja´ obtida qualitativamente na eq. (2.35)
E ≥ E(r0) = L
2
2mr20
− k
r0
= −k
2m
2L2
.
A equac¸a˜o (2.42) e´ a equac¸a˜o de uma hipe´rbole, para´bola, elipse ou circunfereˆncia
conforme ǫ seja, respectivamente, maior que 1, igual a 1, menor que 1 ou igual a
zero:
36
• ǫ > 1 o´rbita hiperbo´lica, E > 0, o´rbita ilimitada;
• ǫ = 1 o´rbita parabo´lica, E = 0, o´rbita ilimitada;
• ǫ < 1 o´rbita el´ıptica, −mk2
2L2
< E < 0, o´rbita limitada;
• ǫ = 0 o´rbita circular, E = −mk2
2L2
, o´rbita limitada.
Exerc´ıcio: Comparar com as concluso˜es qualitativas obtidas anteriormente.
Consideremos o caso E < 0, o´rbita el´ıptica. Sejam a e b, respectivamente,
o semi-eixo maior e o semi-eixo menor da elipse. Na figura 2.9 fazemos uma
representac¸a˜o desta o´rbita, indicando o significado dos paraˆmetros p e ǫ. Da
2b
2a
a
p
y
x
ε
Figura 2.9: O´rbita el´ıptica
equac¸a˜o da o´rbita
p
r
= 1 + ǫ cos(θ − θ0) (2.44)
conclu´ımos que para cos(θ− θ0) = −1 obtemos o afastamento ma´ximo do centro
de forc¸as,
rmax =
p
1− ǫ , (2.45)
e a distaˆncia mı´nima ao centro de forc¸as corresponde a cos(θ − θ0) = 1,
rmin =
p
1 + ǫ
. (2.46)
O eixo maior da elipse e´ dado por
2a = rmax + rmin =
2p
1− ǫ2 . (2.47)
37
De (2.40) e (2.41)
ǫ2 = 1 +
2EL2
mk2
= 1 +
2Ep
k
.
Substituindo em (2.47)
2a = − 2k
2E
,
ou, visto que E = −|E|,
a =
k
2|E| . (2.48)
O u´nico paraˆmetro geome´trico que determina a energia total da part´ıcula numa
o´rbita el´ıptica e´ o comprimento do semi-eixo maior. No caso de uma part´ıcula
no campo grav´ıtico a sua energia e´
E = −GmM
2a
, (2.49)
onde G e´ a constante de atracc¸a˜o universal, a o semi-eixo maior da o´rbita, m a
massa da part´ıcula e M a massa da Terra. A figura 2.10 mostra um grupo de
o´rbitas el´ıpticas com a mesma energia mas excentricidades diferentes. A teoria de
Figura 2.10: Conjunto de o´rbitas el´ıpticas com a mesma
energia mas excentricidades diferentes
Bohr relativa a` energia do electra˜o no a´tomo de hidroge´nio chega precisamente a`
mesma conclusa˜o: a energia do electra˜o depende apenas da grandeza do semi-eixo
maior da sua o´rbita.
Exerc´ıcio: Na teoria de Bohr qual a energia do electra˜o numa dada o´rbita?
As diferentes o´rbitas representadas na figura 2.10 correspondem a paraˆmetros
p = L
2
mk
diferentes,ou seja, a valores diferentes do momento angular da part´ıcula.
38
Na verdade, o semi-eixo menor depende de L e E,
b =
L√
2m|E| . (2.50)
Exerc´ıcio: Verificar que b = a
√
1− ǫ2 e obter a eq. (2.50).
2.10.2 A Terceira Lei de Kepler
A a´rea total da o´rbita el´ıptica de uma part´ıcula e´
S = πab. (2.51)
Sabemos, tambe´m, que a velocidade areolar da part´ıcula e´ constante, eq. (2.11)
dA
dt
=
L
2m
. (2.52)
Seja T o per´ıodo da o´rbita. De (2.52) e (2.51) obtemos
πab = T
dA
dt
=
L
2m
T,
ou
T =
2πabm
L
. (2.53)
Substituindo na u´ltima equac¸a˜o os valores de a e b em termos de E e L temos
T = πk
√
m
2E3
= 2π
√
m
k
a3/2 (2.54)
T 2 = 4
π2m
k
a3. (2.55)
Para uma part´ıcula no campo grav´ıtico k = GMm e
T 2 = 4
π2a3
GM
. (2.56)
A equac¸a˜o (2.56) e´ a expressa˜o matema´tica da terceira Lei de Kepler: o quadrado
do per´ıodo de revoluc¸a˜o e´ proporcional ao cubo do eixo maior da o´rbita.
Conclu´ımos, tambe´m, que todas as o´rbitas com o mesmo semi-eixo maior teˆm
o mesmo per´ıodo T , e, por isso, que part´ıculas com a mesma energia descrevem
o´rbitas com o mesmo per´ıodo.
A expressa˜o (2.56) e´ va´lida se considerarmos que M , a massa do corpo em
torno do qual a part´ıcula de massam se move, e´ muito grande, de tal modo queM
na˜o se move e o centro de forc¸as e´ precisamente o centro de M , i.e. se M >> m.
39
No entanto, se M e´ compara´vel a m, (2.56) deixa de ser va´lida, assim como todas
as outras equac¸o˜es obtidas ate´ aqui, as quais foram obtidas considerando o centro
de forc¸as fixo. Um exemplo de um sistema de dois corpos de massas semelhantes
e´ um sistema constitu´ıdo por duas estrelas na˜o muito distantes uma da outra e
com massas semelhantes. Ja´ foram observados va´rios destes sistemas bina´rios de
estrelas. Outro exemplo seria o sistema constitu´ıdo por part´ıculas carregadas de
massas semelhantes mas cargas de sinal oposto.
2.11 Sistemas bina´rios
Vamos considerar um sistema bina´rio. Sejam m1 e m2 a massa das part´ıculas que
constituem o sistema. Elas exercem entre si uma forc¸a que deriva do potencial
U(r) sendo r a distaˆncia entre as part´ıculas. No caso do campo grav´ıtico U(r) =
−Gm1m2
r
. A energia mecaˆnica do sistema e´
E =
m1v
2
1
2
+
m2v
2
2
2
+ U(r), (2.57)
sendo v1(2) a velocidade da part´ıcula 1(2). Sejam r1 e r2 os raios vectores que
definem a posic¸a˜o das part´ıculas 1 e 2 em relac¸a˜o a uma origem O, figura 2.11.
Ale´m disso, seja R o vector que define a posic¸a˜o do centro de massa do sistema,
e r o vector
r = r1 − r2. (2.58)
Por definic¸a˜o do centro de massa (CM)
R
r
r
r
1
2
1
2
Figura 2.11: Sistema de duas part´ıculas
R =
m1r1 +m2r2
m1 +m2
. (2.59)
40
Podemos exprimir a energia mecaˆnica do sistema, eq. (2.57), em termos das
varia´veis R e r em vez de r1 e r2. Invertendo as equac¸o˜es (1.75) temos
r1 = R+
m2
M
r, (2.60)
r2 = R− m1
M
r, M = m1 +m2. (2.61)
Derivamos (2.60) e (2.61) em ordem ao tempo,
v1 = VCM +
m2
M
v, (2.62)
v2 = VCM − m1
M
v, (2.63)
e substitu´ımos em (2.57)
E =
1
2
m1
(
VCM +
m2
M
v
)2
+
1
2
m2
(
VCM − m1
M
v
)2
+ U(r) (2.64)
ou
E =
1
2
MV2CM +
1
2
µv2 + U(r), (2.65)
onde
µ =
m1m2
M
(2.66)
e´ a massa reduzida do sistema. Podemos identificar
E − MV
2
CM
2
=
1
2
µv2 + U(r) (2.67)
com a energia de uma part´ıcula de massa µ sujeita a uma forc¸a central com
origem na part´ıcula 2.
O termo MV2CM/2 e´ a energia cine´tica de uma part´ıcula de massa M =
m1 + m2 e que se move livremente com a velocidade do centro de massa do
sistema. Este termo e´ constante. Na verdade, ja´ prova´mos anteriormente que, se
sobre um sistema na˜o actuarem forc¸as externas, a sua quantidade de movimento
total e´ constante, i.e.
m1v1 +m2v2 = C
te. (2.68)
Substituindo (2.62) e (2.63) nesta equac¸a˜o temos
m1VCM +
m1m2
M
v +m2VCM − m1m2
M
v = Cte (2.69)
ou
MVCM = C
te. (2.70)
Prova´mos que VCM e´ constante. Assim, voltando a` eq. (1.80), conclu´ımos que
E ′ = E − MV
2
CM
2
, (2.71)
41
e´ constante.
Desta discussa˜o resulta que o estudo do movimento de duas part´ıculas apenas
sujeitas a interacc¸o˜es mu´tuas pode ser reduzido ao estudo do problema de um
corpo de massa
µ =
m1m2
m1 +m2
, (2.72)
onde m1 e m2 sa˜o as massas das part´ıculas, e energia E
′,
E ′ = E − (m1 +m2)
2
V2CM , (2.73)
sendo E a energia total do sistema constitu´ıdo pelas duas part´ıculas em interacc¸a˜o
e VCM a velocidade do centro de massa do sistema. Se uma das part´ıculas tem
uma massa muito maior que a outra, por exemplo, se
m2 >> m1
enta˜o µ, a massa reduzida do sistema, e´ dada por
µ =
m1m2
m1 +m2
≈ m1m2
m2
= m1.
Assim, se considerarmos o sistema part´ıcula - Terra as equac¸o˜es obtidas nas
secc¸o˜es anteriores sa˜o va´lidas desde que seja substitu´ıda m, a massa da part´ıcula,
por µ, a massa reduzida.
A terceira lei de Kepler e´ expressa por
T 2
a3
=
4π2µ
k
, (2.74)
em vez de (2.55). Substituindo k por GMm temos
T 2
a3
=
4π2
G(M +m)
. (2.75)
Se M >> m, (2.75) reduz-se a (2.55).
2.12 Teorema do Virial
Se a energia potencial de um sistema de part´ıculas for uma func¸a˜o homoge´nea
das coordenadas e o movimento do sistema se realizar numa regia˜o limitada do
espac¸o, o Teorema do Virial permite-nos relacionar de um modo muito simples o
valor me´dio da energia cine´tica e da energia potencial desse sistema. O Teorema
do Virial e´ um teorema de natureza estat´ıstica porque relaciona me´dias temporais
de va´rias quantidades mecaˆnicas.
42
Consideremos a func¸a˜o:
G =
∑
i
ri · pi
onde a soma e´ feita sobre todas as part´ıculas do sistema. A derivada temporal
de G e´ dada por
dG
dt
=
∑
i
r˙i · pi +
∑
i
ri · p˙i
=
∑
i
miv
2
i +
∑
i
ri · Fi
= 2T +
∑
i
ri · Fi.
O valor me´dio de dG
dt
num intervalo de tempo τ e´, por definic¸a˜o,
1
τ
∫ τ
0
dG
dt
dt =
dG
dt
.
ou,
G(τ)−G(0)
τ
= 2T +
∑
i
ri · Fi. (2.76)
O primeiro membro anula-se se
1. G e´ uma func¸a˜o perio´dica de per´ıodo τ e
G(τ)−G(0) = 0
2. G e´ limitado no espac¸o e vi nunca se torna infinita. Escolhendo τ suficien-
temente grande e´ poss´ıvel anular o primeiro membro de (2.76),
lim
τ→∞
G(τ)−G(0)
τ
= 0.
Em ambos os casos temos que
2T = −
∑
i
ri · Fi
Esta equac¸a˜o exprime o Teorema do Virial. Consideremos o sistema de uma
part´ıcula sujeita a uma forc¸a central, F, que deriva de um potencial
F = −dV
dr
rˆ,
43
obtemos
2T = r
dV
dr
.
Seja V uma func¸a˜o homoge´nea de grau n. Pelo Teorema de Euler temos que
2T = nV .
Se a part´ıcula esta´ sujeita a uma forc¸a ela´stica, V = k
2
r2, i.e. n = 2,
T = V ,
as me´dias temporais de T e V sa˜o iguais. Se a interacc¸a˜o e´ grav´ıtica, n = −1, e
T = −V
2
,
ou,
E = T + V = −T .
Desta u´ltima equac¸a˜o conclu´ımos que, para a interacc¸a˜o grav´ıtica, o movimento
e´ limitado no espac¸o apenas se E < 0, visto que T e´ sempre uma quantidade
positiva.
2.13 Coliso˜es - Difusa˜o de part´ıculas
(Bibliografia: French cap. 13 - Rutherford Scattering (pg 604) ; Goldstein cap. 3
pg 105)
2.13.1 A secc¸a˜o eficaz diferencial
Um dos problemas frequentemente estudados em F´ısica Ato´mica e F´ısica Molecu-
lar e´ a difusa˜o de proto˜es, neutro˜es, electro˜es, nu´cleos (ou outras part´ıculas) por
outros nu´cleos, a´tomos, etc. Sendo um problema a n´ıvel ato´mico ou subato´mico, a
utilizac¸a˜o da Mecaˆnica Quaˆntica no estudo destes problemas torna- se necessa´ria.
Verifica-se, no entanto, que muitos dos resultados cla´ssicos se mante´m va´lidos a
um n´ıvel subato´mico e que os tratamentos cla´ssico e quaˆntico sa˜o equivalentes.Estes dois pontos justificam a resoluc¸a˜o deste problema a n´ıvel cla´ssico.
No estudo que se segue vamos partir da seguinte hipo´tese: o alvo, qualquer
que ele seja, esta´ fixo e na˜o se desloca no processo. Isto significa que estamos
a supor que as part´ıculas do alvo teˆm uma massa muito superior a` massa da
part´ıcula incidente e que podemos considerar que a part´ıcula e´ difundida, por
um centro de forc¸as fixo. Supomos, tambe´m, que a forc¸a difusora de part´ıculas e´
nula a uma distaˆncia infinitamente grande do centro.
44
Um feixe de part´ıculas de intensidade I e´ bombardeado contra um alvo A. A
intensidade I do feixe, uma caracter´ıstica do feixe, e´ igual ao nu´mero de part´ıculas
que atravessam por unidade de tempo a unidade de a´rea perpendicular ao feixe.
O alvo A tem um nu´mero caracter´ıstico de n part´ıculas por unidade de volume.
Cada uma destas part´ıculas e´ um poss´ıvel centro difusor. O nu´mero de part´ıculas
incidentes difundidas por um centro difusor e´ expresso em termos de uma quan-
tidade chamada secc¸a˜o eficaz, σ. A secc¸a˜o eficaz traduz a a´rea efectiva que cada
centro difusor representa, possibilitando a difusa˜o das part´ıculas incidentes, i.e.
σ =
nu´mero de part´ıculas difundidas por unidade de tempo
intensidade do feixe incidente
. (2.77)
Certas part´ıculas passam pelo alvo sem sentir o efeito de um centro difusor.
Outras part´ıculas sa˜o difundidas e a direcc¸a˜o do movimento da part´ıcula depois
de se afastar do alvo e´ diferente da direcc¸a˜o de incideˆncia. σ tem a dimensa˜o de
uma a´rea,
[σ] =
[T ]−1
[S]−1[T ]−1
= [S] = m2
no sistema SI. A unidade geralmente utilizada na especificac¸a˜o de secc¸o˜es eficazes
e´ o barn
1barn = 10−28 m2 = 100fm2, 1fm = 10−15m.
Queremos determinar o nu´mero de part´ıculas difundidas numa dada direcc¸a˜o.
E´ conveniente introduzir a noc¸a˜o de secc¸a˜o eficaz diferencial dσ
dΩ
. dσ
dΩ
dΩ representa
a fracc¸a˜o de part´ıculas difundidas num aˆngulo dΩ, na direcc¸a˜o de Ω, por unidade
de tempo,
dσ
dΩ
dΩ =
nu´mero de part´ıculas difundidas num aˆngulo dΩ por unidade de tempo
intensidade do feixe incidente
.
No caso particular da difusa˜o de uma part´ıcula por um campo de forc¸as centrais,
a part´ıcula aproxima-se do centro de forc¸as e comec¸a a sentir mais intensamente a
acc¸a˜o da forc¸a (supomos que f(r) = 0 quando r →∞) sendo atra´ıda ou repelida
pelo centro de forc¸as. A part´ıcula e´, portanto, desviada da sua trajecto´ria. Existe
uma simetria em torno do eixo que passa pelo centro de forc¸as e e´ paralelo a`
direcc¸a˜o do feixe incidente. Por exemplo, seja F = k
r2
rˆ, k > 0: a figura 2.12
representa a trajecto´ria de uma part´ıcula sob o efeito desta forc¸a. O paraˆmetro
de impacto, b, e´ a distaˆncia da part´ıcula ao eixo paralelo ao feixe incidente e que
passa por O; Θ e´ o aˆngulo entre a direcc¸a˜o incidente e a direcc¸a˜o da part´ıcula
difundida. Este aˆngulo apenas depende do paraˆmetro de impacto b da part´ıcula e
da sua velocidade inicial, na˜o depende do aˆngulo azimutal φ em torno do eixo. O
aˆngulo 3 so´lido indicado a tracejado na figura 2.13, e representado separadamente
3O aˆngulo so´lido elementar dΩ e´ definido por
dΩ = sin θdθdφ,
45
r Θ
Θ
O
b
db
d
0
v 0
Figura 2.12: A trajecto´ria de uma part´ıcula sob o efeito do
potencial U(r) = k/r
s
Figura 2.13: Trajecto´ria de uma part´ıcula sob o efeito do
potencial U(r) = k/r
na figura 2.14, e´ dado por
dΩ = 2π sinΘdΘ. (2.78)
Na verdade, neste caso, temos
dS = R sinΘ2π ×RdΘ,
dΩ =
dS
R2
= 2π sinΘdΘ.
A velocidade inicial da part´ıcula, v0, e o paraˆmetro do impacto esta˜o directa-
mente relacionados com as constantes do movimento, energia total E e o momento∫
todo espac¸o
dΩ = 4π.
No plano temos que θ = s
R
, onde s e´ um arco de circunfereˆncia que conte´m θ e R e´ o raio do
arco s. No espac¸o Ω = S
R2
onde S e´ a superf´ıcie da calote esfe´rica que conte´m Ω e R e´ o raio
da calote esfe´rica.
46
Θ
Θd
Rsin Θ
R
Figura 2.14: Aˆngulo so´lido dΩ
angular em relac¸a˜o a O, L. Na verdade, quando a part´ıcula esta´ num ponto P0
suficientemente afastada do centro de forc¸as tal que U(r0) = 0
E =
1
2
mv20, (2.79)
a direcc¸a˜o de L e´ perpendicular ao plano definido por v0 e O e a sua grandeza e´
L = mr0 sinφv0 = mbv0, (2.80)
sendo φ o aˆngulo que o vector r0 faz com v0. De (2.79) e (2.80) obtemos
L = b
√
2mE. (2.81)
Conhecida a energia E e o momento angular L (ou paraˆmetro de impacto) pode-
mos calcular o aˆngulo de difusa˜o Θ. Vamos supor, no que se segue, que a forc¸a
e´ tal que na˜o ha´ dois conjuntos diferentes de valores de E e b que da˜o origem ao
mesmo aˆngulo de difusa˜o Θ. Se esta condic¸a˜o se verificar, o nu´mero de part´ıculas
do feixe incidente com paraˆmetro de impacto entre b e b+db tera´ de ser igual ao
nu´mero de part´ıculas difundido num aˆngulo dΩ compreendido entre Θ e Θ+dΘ.
Seja dS a a´rea atravessada pelas part´ıculas incidentes com paraˆmetro de impacto
entre b e b+ db,
dS = 2πbdb. (2.82)
O nu´mero de part´ıculas que atravessam essa a´rea por unidade de tempo e´
dNinc = I|dS| = 2πIb|db|, (2.83)
onde I e´ a intensidade do feixe. De (2.77) sabemos que o nu´mero de part´ıculas
difundido por unidade de tempo num aˆngulo dΩ e´
dNdif = I
dσ
dΩ
|dΩ|, (2.84)
47
ou, substituindo (2.78) nesta equac¸a˜o,
dNdif = I
dσ
dΩ
2π sinΘ|dΘ|. (2.85)
Igualando dNdif e dNinc obtemos
2πb|db|I = I dσ
dΩ
2π sinΘ|dΘ|,
dσ
dΩ
=
b
sinΘ
∣∣∣∣ dbdΘ
∣∣∣∣ . (2.86)
Nas u´ltimas equac¸o˜es introduzimos os mo´dulos porque so´ estamos interessados na
grandeza de dΘ e db e na˜o no sinal relativo. Na verdade, no caso da forc¸a de Cou-
lomb, quando b aumenta Θ diminui e dΘ e db teˆm sinais contra´rios. Conhecendo
a func¸a˜o b(θ) ficamos a conhecer a secc¸a˜o eficaz diferencial dσ
dΩ
.
Consideremos uma forc¸a repulsiva. Na figura 2.15 rm e´ a distaˆncia de apro-
Θ
O
Ψ
r
m
Figura 2.15: Trajecto´ria de uma part´ıcula sob o efeito do
potencial U(r) = k/r
ximac¸a˜o ma´xima. Ψ e´ o aˆngulo entre a direcc¸a˜o de incideˆncia e o raio vector do
ponto de aproximac¸a˜o ma´xima. A o´rbita da part´ıcula e´ sime´trica relativamente
ao eixo Orm, o que implica que
2Ψ + Θ = π,
Θ = π − 2Ψ. (2.87)
O aˆngulo Ψ pode ser determinado a partir da equac¸a˜o da o´rbita (2.19),
θ − θ0 =
∫ r
r0
Ldr
r2
√
2m(E − U(r)− L2
2mr2
)
.
48
Seja r0 =∞ e r = rm e, consequentemente, Ψ = θ(rm)−θ(r0). De (2.19) obtemos
Ψ =
∫ rm
∞
Ldr
r2
√
2m
(
E − U(r)− L2
2mr2
) . (2.88)
Substituindo nesta u´ltima equac¸a˜o L por b
√
2mE, obtemos de (2.87)
Θ = π − 2
∫ rm
∞
bdr
r2
√
1− U(r)
E
− b2
r2
. (2.89)
Conhecendo o potencial U(r) podemos determinar Θ(b) e, substituindo Θ(b) em
(2.86), a secc¸a˜o eficaz diferencial dσ
dΩ
. A distaˆncia de aproximac¸a˜o ma´xima e´
obtida da equac¸a˜o r˙ = 0, i.e. a velocidade radial neste ponto e´ nula pois v
e´ perpendicular ao raio vector. Substituindo r˙ = 0 na energia mecaˆnica da
part´ıcula temos
E =
L2
2mr2a
+ U(ra), (2.90)
sendo a soluc¸a˜o da equac¸a˜o, ra, igual a rmin ou rmax, respectivamente, a`s distaˆncias
de aproximac¸a˜o ma´xima e afastamento ma´ximo.
2.13.2 Secc¸a˜o eficaz de Rutherford
Como exemplo pra´tico vamos calcular a secc¸a˜o eficaz diferencial de uma part´ıcula
carregada de carga Ze no campo de forc¸as criado por uma outra part´ıcula de carga
Z ′e. A forc¸a que a part´ıcula incidente sente e´
F =
1
4πε0
ZZ ′e2
r2
rˆ, (2.91)
i.e. esta´ sujeita ao potencial repulsivo
U(r) =
ZZ ′e2
4πε0r
. (2.92)
Da integrac¸a˜o de (2.19) com U(r) = k
r
obtivemos
p
r
= −1 + ǫ cos(θ − θ0), (2.93)
com
p =
L2
mk
=
2b2E
k
(2.94)
e
ǫ =
√
1 +
2Ep
k
=
√
1 +
(
2Eb
k
)2
. (2.95)