Cálculo III Lista 1

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PUCPR – Escola Politécnica 
Cálculo III – Lista 1. Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem 
Referências: SIMMONS, Georges F., KRANTZ, Steven G., Equações Diferenciais: teoria, técnica e 
prática. ZILL & CULLEN, Equações Diferenciais, Vol. 1. 
 
1. Use o método de separação de variáveis para resolver cada uma destas equações 
diferenciais ordinárias. 
a. 𝑥5𝑦′ + 𝑦5 = 0 
1
𝑦4
+
1
𝑥4
= 𝑐 
b. 𝑦′ = 4𝑥𝑦 𝑦 = 𝑐𝑒2𝑥
2
 
c. 𝑦′ + 𝑦 tg 𝑥 = 0 𝑦 = 𝑐. cos 𝑥 
d. (1 + 𝑥2)𝑑𝑦 + (1 + 𝑦2)𝑑𝑥 = 0 𝑦 =
𝑐−𝑥
1+𝑐𝑥
 
e. 𝑦 ln 𝑦 𝑑𝑥 − 𝑥𝑑𝑦 = 0 𝑦 = 𝑒𝑐𝑥 
f. 𝑦′ sen 𝑦 = 𝑥2 𝑦 = arc cos (𝑐 −
𝑥3
3
) 
2. Para cada uma das seguintes equações diferenciais ordinárias, encontre a solução 
que satisfaça a condição inicial indicada. 
a. 𝑦′𝑦 = 𝑥 + 1 𝑦 = 3 quando 𝑥 = 1 
b. 𝑥2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦 𝑦 = 1 quando 𝑥 = 0 
c. 
𝑦′
1+𝑥2
=
𝑥
𝑦
 𝑦 = 3 quando 𝑥 = 1 
d. 𝑦2𝑦′ = 𝑥 + 2 𝑦 = 4 quando 𝑥 = 0 
e. 𝑦′ = 𝑥2𝑦2 𝑦 = 2 quando 𝑥 = −1 
f. 𝑦′(1 + 𝑦) = 1 − 𝑥2 𝑦 = −2 quando 𝑥 = −1 
 
3. Para a equação diferencial 
𝑦′′
𝑦′
= 𝑥2 faça a substituição 𝑦′ = 𝑝 para reduzir a 
ordem. A seguir, resolva a nova equação por separação de variáveis. Então, 
substitua e encontre a solução 𝑦 da equação original. 
Resp.:𝑦 = ∫ 𝑐𝑒𝑥
3 3⁄ 𝑑𝑥, onde essa integral não é uma função elementar. 
4. Use o método do Exercício 3 para resolver a equação 𝑦′′. 𝑦′ = 𝑥(1 + 𝑥)sujeita à 
condição inicial 𝑦(0) = 1, 𝑦′(0) = 2. 
5. Verifique se cada uma das equações a seguir é homogênea e resolva-a. 
a. (𝑥2−2𝑦2)𝑑𝑥 + 𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0 
b. 𝑥2𝑦′ − 3𝑥𝑦 − 2𝑦2 = 0 
c. (𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥 − (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑦 = 0 
d. 𝑥𝑦′ = 2𝑥 − 6𝑦 
e. 𝑥2𝑦′ = 𝑦2 + 2𝑥𝑦 
f. (𝑥3 + 𝑦3)𝑑𝑥 − 𝑥𝑦2𝑑𝑦 = 0 
 
6. Para cada uma das seguintes equações diferenciais ordinárias, encontre a solução 
que satisfaça a condição inicial indicada. 
a. 𝑥𝑦2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦3 − 𝑥3, 𝑦(1) = 2 
b. (𝑥2 + 2𝑦2)𝑑𝑥 = 𝑥𝑦𝑑𝑦, 𝑦(−1) = 1 
2 
 
c. 2𝑥2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3𝑥𝑦 + 𝑦2, 𝑦(1) = −2 
d. 𝑥𝑦𝑑𝑥 − 𝑥2𝑑𝑦 = 𝑦√𝑥2 + 𝑦2𝑑𝑦, 𝑦(0) = 1 
e. (𝑥 + 𝑦𝑒𝑦 𝑥⁄ )𝑑𝑥 − 𝑥𝑒𝑦 𝑥⁄ 𝑑𝑦 = 0, 𝑦(1) = 0 
f. (𝑦2 + 3𝑥𝑦)𝑑𝑥 = (4𝑥2 + 𝑥𝑦)𝑑𝑦, 𝑦(1) = 1 
 
7. Determine quais das seguintes equações a seguir são exatas. Resolva aquelas que 
são exatas. 
a. (𝑥 +
2
𝑦
) 𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑥 = 0 
b. (sen 𝑥 tg 𝑦 + 1)𝑑𝑥 + cos 𝑥 sec2 𝑦 𝑑𝑦 = 0 
c. (𝑦 − 𝑥3)𝑑𝑥 + (𝑥 + 𝑦3)𝑑𝑦 = 0 
d. (2𝑦2 − 4𝑥 + 5)𝑑𝑥 = (4 − 2𝑦 + 4𝑥𝑦)𝑑𝑦 
e. (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑥(𝑥 − 2𝑦)𝑑𝑦 = 0 
f. (𝑦3 − 𝑦2 sen 𝑥 − 𝑥)𝑑𝑥 + (3𝑥𝑦2 + 2𝑦 cos 𝑥)𝑑𝑦 = 0 
8. Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada. 
a. (𝑒𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥 + (2 + 𝑥 + 𝑦𝑒𝑦)𝑑𝑦 = 0, 𝑦(0) = 1 
b. (4𝑦 + 2𝑥 − 5)𝑑𝑥 + (6𝑦 + 4𝑥 − 1)𝑑𝑦 = 0, 𝑦(−1) = 2 
c. (
3𝑦2−𝑥2
𝑦5
)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+
𝑥
2𝑦4
= 0, 𝑦(1) = 1 
9. Encontre o valor de 𝑘 para que a equação diferencial seja exata. Para o valor 
encontrado, resolva a equação. 
a. (𝑦3 + 𝑘𝑥𝑦4 − 2𝑥)𝑑𝑥 + (3𝑥𝑦2 + 20𝑥2𝑦3)𝑑𝑦 = 0 
b. (6𝑥𝑦3 + cos 𝑦)𝑑𝑥 + (𝑘𝑥2𝑦2 − 𝑥 sen 𝑦)𝑑𝑦 = 0 
10. Encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo 
no qual a solução geral é definida. 
a. 𝑦′ + 3𝑥2𝑦 = 𝑥2 
b. 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦 + 𝑒𝑥 
c. 𝑥2𝑦′ + 𝑥𝑦 = 1 
d. cos 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑦 sen 𝑥 = 1 
e. (𝑥 + 4𝑦2)𝑑𝑦 + 2𝑦𝑑𝑥 = 0 
f. 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 4𝑦 = 𝑥3 − 𝑥 
11. Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada. 
a. 𝑦′ + (tg 𝑥)𝑦 = cos2𝑥, 𝑦(0) = −1 
b. 
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= 𝑘(𝑇 − 50), onde 𝑘 é uma constante, 𝑇(0) = 200 
c. 𝑥𝑦′ + 𝑦 = 𝑒𝑥, 𝑦(1) = 2 
d. 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦
𝑦−𝑥
 , 𝑦(5) = 2