Aula CVGA, Prof. Silveira, Estácio

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Prof. Rockfeller
Cálculo Vetorial
Chamamos de segmentos orientados um segmento de reta que possui sua origem em um ponto e 
sua extremidade em outro.
Segmentos orientados
Segmento de reta orientado:
A
B
Segmentos Opostos:
A
B
B
A
Segmento AB = BAAB
Mesma Direção
Sentidos Opostos
Mesmo Comprimento
Mesmo Sentido
Mesma Direção
Segmentos Equipolentes
A
B
AB
D
C
CD
Chama-se de vetor ao segmento de reta orientado que possui sua origem em um ponto e 
extremidade em outro
Vetores
B
A
Dois vetores AB e CD são iguais e somente se, os dois segmentos orientados que os representam 
forem equipolentes
Vetores iguais:
A
B
D
C
→→
= CDAB
→
CD
→
AB
→→
AB
Livro recomendado:
Vetores e geometria analítica - Paulo Winterle
Cálculo Vetorial + Geom. Analítica
quarta-feira, 8 de agosto de 2012
20:28
 Página 1 de Calc Vetorial 
Vetores Opostos
A
B
B
A→
v
→
− v
Soma de um ponto com um vetor:
Dado um ponto A e um vetor v existe um único ponto B que B - A = v. O ponto é chamado de soma do 
ponto A com o vetor v e se indica por A + v. Logo as propriedades a seguir são imediatas.
AvvA =+





−
→→
Se:
→→
+=+ vBvA Então A = B
A
B
→
v B = A = 
Adição de Vetores:
Consideremos os vetores 'u e 'v e um ponto qualquer A. Quando se toma o ponto A, e a ele se soma o 
vetor u, obtemos um segundo ponto, que aqui vamos chamar de B. Quando se soma ao ponto B o vetor 
v, encontramos um terceiro ponto, que chamaremos de C. Podemos dizer que existe um terceiro vetor 
w que ao ser somado ao ponto A encontramos o ponto C.
→
v
A
B
C
u
v
w
u + v = w
w
v
u
A
B C
Vetores na mesma direção e sentido:
j g
j g j + g = w
w
Vetores na mesma direção e sentido contrário:
s
t
s t
k
s + (-t) = k
Método Poligonal
→ →
→ →
→ → →
→
→
→
→ →
→
→ →
→ →
→
→ → →
→
→
→ →
→
→ → →
Terminologia
quarta-feira, 15 de agosto de 2012
21:01
 Página 2 de Calc Vetorial 
Regra do Paralelograma:
B
A
u v
w
u + v = w
→ →
→
→ → →
Adição de Vetores
quarta-feira, 15 de agosto de 2012
21:55
 Página 3 de Calc Vetorial 
a (3)
b (4)
c c2 = a2 + b2 = 32 + 42 = sq 5
60o
a
b
c
Z2 = a2 + b2 + 2 . a . b . cosθ
Ex:
a = 4cm, b = 3cm
Z2 = 42 + 32 + 2 . 4 . 3 . cos 60o
Z2 = 16 + 9 + 24 . (0,5) = 25 + 12
37=Z = 6,1 cm
Aula de reforço:
adyquizunda@hotmail.com
Medida algébrica de um segmento AB de abscissa Xa e Xb
Consideremos um segmento orientado AB contido no eixo (E), sendo Xa e Xb as abscissas respectivas dos 
extremos deste segmento. Quaisquer que sejam as posições dos três pontos sobre o eixo , podemos 
afirmar que:
0A + AB + B0 = 0
AB = -B0 - 0A
AB = 0B - 0A
como 0B = Xb e 0A = Xa
Conclui-se que: AB = Xb - Xa
E
0 A B
Xb
Xa K sím vetor
EXERCÍCIO:
Dados os pontos M(-5) e N(+2), determine a medida algébrica dos segmentos MN e NM, 
respectivamente.
-5 0 2
M N
N - M = 2 - (-5) = 7
M - N = -5 - (+2) = -5 -2 = -7
→ → →
→
→
→
→
→ → →
→
→
→
→
Regra do Paralelogramo
quarta-feira, 22 de agosto de 2012
20:55
 Página 4 de Calc Vetorial 
Professor Substituto:
profsilveira@live.com
Vetores:
Vetores livres, operações com vetores1.
ângulo entre vetores2.
Vetores no plano e no espaço3.
Produto de Vetores:
Produto escalar1.
Produto vetorial2.
Produto misto3.
Retas:
Forma das equações de retas no plano e no espaço1.
Ângulo entre retas2.
Retas coplanares3.
Planos:
Equação geral do plano
Determinação de um plano
Cônicas:
Parábola
Elipse circunferência
Hipérbole
A Geometria Analítica nos permite representar pontos da reta por números reais, pontos do plano por 
pares ordenados de números reais e pontos do espaço por termos de nos reais. Desse modo, curvas no 
plano e superfícies no espaço podem ser descritas por meio equações, o que torna possível tratar 
algebricamente muitos problemas geométricos e, reciprocamente, interpretar geometricamente 
diversas equações algébricas.
Teorema:
Seja λ > 0 um número real e A um ponto. Então para toda semirreta de origem em A, existe um único B 
nesta semirreta, tal que:
1) d(A,B) = λ
2) d(A,B) ≥ 0
3) d(A,B) = 0 ↔ A = B
4) d(A,B) = d(B,A)
5) d(A,B) ≤ d(A,C) + d(C,B)
6) d(A,B) = d(A,C) + d(C,B) ↔ A, B, C são colineares e C está entre A e B.
Dizemos que r é uma reta orientada quando sobre ela se escolheu um sentido do percurso chamado 
positivo. O sentido oposto sobre a reta é denominado negativo.
Sejam A e B pontos na reta r. Dizemos que o ponto B está a direita de A quando o sentido do percurso 
de A para B coincide com o sentido positivo.
r
r
B
Um eixo Є é uma reta orientada na qual se fixou uma origem O. Se a origem O do eixo coincidir com o 
0 (zero) do conjunto dos nos reais e a sua direita os valores coincidem com os valores positivos do 
números reais e ainda, se os valores a esquerda da origem coincidem com os valores reais negativos, 
então o eixo possui correspondência biunívoca com R, Є ↔ R 
Coordenadas do plano:
Designamos por R2, o conjunto formado pelos pares ordenados (x,y), onde x e y são números reais. O 
número x chama-se primeira coordenada e o número y chama-se segunda coordenada do par 
ordenado
A
Ementa
quarta-feira, 29 de agosto de 2012
20:57
 Página 5 de Calc Vetorial 
x
y
P(x,y)
O Ox
Oy
r
s
Conceitos
quarta-feira, 29 de agosto de 2012
21:37
 Página 6 de Calc Vetorial 
Distâncias entre dois pontos no plano.
Sejam um π um plano munido de um sistema de eixos ortogonais OxY, P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2) dois 
pontos no plano π e seja Q(x1, y2) como d(P1, Q) = |y2 - y1| e d(P2, Q) = |x2 - x1|, temos pelo teorema de 
pitágoras:
d(P1, P2)2 = d(P1,Q)2 + d(P2, Q)2
P1y1
y2
x2 x1
P2
Definição 1:
Dados um ponto A num plano π e um no r > 0, o círculo C de centro A e raio r > 0 é o conjunto dos 
pontos do plano π situados à distância r do ponto A, ou seja:
Oy
Ox
Q
C = { P Є π | d(P,A) = r }
Seja Oxy um sistema de eixos ortogonais no plano π e sejam a e b as coordenadas do centro A desse 
sistema de eixos. Então:
P Є C ↔ d(P,A) = r
d(P,A)2 = r2 =
(x - a)2 + (y - b)2 = r2
Py
b
a x
A
Oy
Ox
Q
r
Exemplo 1:
a) C = x2 - y2 -4x + 6y = 0
Completando os quadrados temos:
x2 - 4x + y2 + 6y = 0
x2 - 4x + 4 + y2 + 6y +9 = 0 + 9 + 4
(x - 2)2 + (y + 3)2 = 13
LOGO:
A(2, -3) e r = 
A = centro da circunferência
b) C = x2 + y2 +3x - 5y +1 = 0
x2 +3x + 2,25 + y2 - 5y +6,25 +1 = 0 +2,25 + 6,25
(x + 1,5)2 + (y - 2,5)2 = 2,25 + 6,25 - 1 = 7,5
A = (-1,5, +2,5), r = 
13
o
o
a
b
c a2 = b2 +c2
Qual o centro e o raio deste círculo?
5,7 *1
*1
*1
Inverte-se os sinais de a e b
Resposta do professor:
2
30
,
2
5
,
2
3
=




 −
= rA em fração
24
xx
=
Distâncias
quarta-feira, 5 de setembro de 2012
20:56
 Página 7 de Calc Vetorial 
Chamamos de segmentos orientados a um segmento de reta que possui sua origem em um ponto e sua 
extremidade em outro.
Tome-se por exemplo o segmento mostrado na figura abaixo:
A
B
Na figura, o segmento representado tem sua origem no ponto A e sua extremidade no ponto B.
Dizemos que um segmento é nulo quando sua origem coincide com sua extremidade. (A = B).
 Dado um segmento AB, diz-se que o segmento BA é o seu oposto.
A
B
A
B
Dados dois segmentos orientados AB e CD, dizemos que eles têm a mesma direção quando os 
segmentos AB e CD são paralelos ou coincidentes.
 Dizemos que eles possuem o mesmo sentido quando, além de terem a mesma direção, possuem a 
mesma orientação.
A
B C
D
 Dizemosque dois segmentos são equipolentes quando eles possuem o mesmo compriemento, 
direção e sentido.
A
B C
D
1.2 - Vetores.
 Chama-se de vetor ao segmento de reta orientado que possui sua origem em um ponto e extremidade em 
outro.
 Na figura o segmento AB é chamado de vetor AB e é representado por AB.
A
B
Dois vetores são iguais se e somente se, os dois segmentos 
orientados que os representam forem equipolentes.
→
→
AB
Segmentos Opostos
Segmentos Orientados
quarta-feira, 12 de setembro de 2012
21:01
 Página 8 de Calc Vetorial 
1.2.1 - Soma de um ponto com um vetor.
 Dado um ponto A e um vetor v, existe um único ponto B, tal que B -A = v. O ponto B é chamado de soma 
do produto A com o vetor v e se indica por A + v.
A + o = A○
(A - v) + v = A○
Se A + v = B + v, então A = B○
Se A + u = A + v, então u = v○
A + (B - A) = B○
 As propriedades abaixo são imediatas:
1.2.2 - Adição de vetores.
 Consideremos dois vetores u e v e um ponto A qualquer. Quando se toma o ponto A, e a ele se soma o 
vetor v, obtemos um segundo ponto que aqui chamaremos de B. Quando se soma ao ponto B o vetor v, 
encontramos um terceiro ponto que chamamos de C. Podemos dizer que existe um 3o vetor w que ao ser 
somado ao ponto A, achamos o ponto C.
→ →
→ →
→
→
→ →
A
B
C
u
v
w
u + v = w
→ → →
→
→
→
graficamente:
B
A
u v
w
u + v = w
→ →
→
→ → →
A
B C
D
u 
v
wu + v v + w
(u + v) + w
ou 
u + (v + w)
1.2.3 - Diferença de vetores.
 Consideremos dois vetores u e v. O vetor k = u + (-v) é chamado diferença entre vetores
A
B D
u v
k
Módulo de V
O comprimento de qualquer representante de v é chamado 
módulo de v e também pode ser chamado de norma.
Operações com Vetores
quarta-feira, 12 de setembro de 2012
21:29
 Página 9 de Calc Vetorial 
Produto de um no real por um vetor.
 Chamamos de um produto de um no real ≠ 0 pelo vetor v ≠ 0, ao vetor s tal que:
|s| = |A| . |v|
A direção de s é paralela a v
Se A>0, s tem mesmo sentido de V
Se A<0, s tem sentido oposto a v
Se A = 0 ou v = 0, então o resultado é um vetor nulo.
AV1
Produto
quarta-feira, 12 de setembro de 2012
22:04
 Página 10 de Calc Vetorial 
SL 513 - grupo de estudos
7/11 Av. Rio Branco 124 25o andar - 17 a 22h
Inscrição no SIA.
Equações Paramétricas da Reta.
Sejam (o, i, j, k) um sistema de coordenadas , P(x,y,z) e A(x1, y1, z1) um ponto genérico e um ponto dado, 
respectivamente, da reta r, e um vetor v = ai + bj + ck de mesma direção de r.
Da equação vetorial da reta: P = A + tv ou (x, y,z) = (x1, y1, z1) + t(a, b,c)
ou ainda: (x, y, z) = (x1+ta, y1+tb, z1+tc). Logo:
→
x = x1 + ta
y = y1 + tb
z = z1 + tc
Nota: a, b, c não são todos nulos.
Reta definida por Z pontos:
A reta definida pelos pontos A (x1, y1, z1) e B(x2, y2, z2) é a reta que passa pelo ponto A (ou B) e tem a 
mesma direção do vetor V = AB = (x2-x1, y2-y1, z2- z1)
Equações simétricas da reta:
Das equações paramétricas, supondo a, b, c ≠ 0 vem:
a
xx
t 1
−
=
b
yy
t 1
−
=
c
zz
t 1
−
=
Logo:
c
zz
b
yy
a
xx 111 −
=
−
=
−
Condição para que 3 pontos estejam em linha reta:
Dados A1 (x1, y1, z1), A2 (x2, y2, z2) e A3 (x3, y3, z3). Para que estes pontos estejam em linha reta é 
necessário que:
3121 AAmAA = para m Є R ou
13
12
13
12
13
12
zz
zz
yy
yy
xx
xx
−
−
=
−
−
=
−
−
→ →
→→→
→→ → →
origem
Ex: m = 26
12
A1 A3A2
Equações reduzidas da reta:
c
zz
b
yy
a
xx 111 −
=
−
=
−
Colocando todos os termos em função de x:
a
bx
a
bxyyxx
a
byy
b
yy
a
xx
1
111
11
)( −=−⇒−=−
−
=
−
nmxy
ny
a
bx
m
a
b
y
a
bx
a
bxy
+=
=+−
=
−−=
1
1
1
1
Analogamente: z = Px +q
Equações Paramétricas
quarta-feira, 31 de outubro de 2012
20:41
 Página 11 de Calc Vetorial 
Sejam as retas r1 que passam pelo ponto A1 (x1, y1, z1) e tem a direção do vetor V1 (a1, b1, c1)e r2 que 
passa pelo ponto A2 (x2, y2, z2) e tem a direção do vetor V2 (a2, b2, c2). Chama-se ângulo entre r1 e r2, o 
menor ângulo de um vetor diretor de r1 e de um vetor diretor de r2. Logo sendo θ esse ângulo, temos:
21
21
.
.
cos
VV
VV
=θ ou 2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
.
...
cos
cbacba
ccbbaa
++++
++
=θ
com 0 ≤ θ ≤ π/2
Calcular o ângulo entre as retas:





−−=
=
+=
=
tz
ty
tx
r
21
3
1 11
3
2
2
2
zyx
r =
−
=
−
+
=
Os vetores que definem as direções das retas r1 e r2 são:
( )
2
1
6.6
3
11)2(.)2(11
)1,1,2.(2,1,1
cos
)1,1,2(
)2,1,1(
222222
2
1
=
−
=
++−−++
−−
=
−=
−=
θ
V
V
Logo 





=
2
1
arcosθ
θ = 60o
Equação geral do plano:
Seja A(x1, y1, z1) um ponto pertencente a um plano π e n = ai + bj + ck, n ≠ (0,0,0) um vetor ortogonal ao 
plano. O plano π pode ser definido como o conjunto de todos os pontos P(x,y,z) do espaço tais que o 
vetor AP é ortogonal a n. O ponto P pertence a π se somente se n . AP = 0
π
A P
n
→
→ → → →
→ → → → →
a
b
c
θ
n escalar AP = zero
Ângulo de duas retas
quarta-feira, 14 de novembro de 2012
21:03
 Página 12 de Calc Vetorial 
→
n = (a,b,c)
AP = (x - x1, y - y1, z - z1)
(a,b,c).(x - x1, y - y1, z - z1)= 0
ax + by + cz -ax1 - by1 - cz1 = 0
Fazendo -ax1 - by1 - cz1 = d
ax + by + cz + d = 0 Equação Geral do Plano
Determinar a equação geral do plano π que passa pelo ponto A(2,-1,3). Sendo n = (3,2,-4) um vetor 
ortogonal a π.
3x + 2y -4z +d = 0
Logo:
3(2) + 2(-1)-4(3)+d = 0
6 - 2 - 12 + d = 0 → d = 8 3x + 2 y -4z +8 = 0
Exercício
quarta-feira, 14 de novembro de 2012
21:49
 Página 13 de Calc Vetorial 
Calcular o ângulo entre as retas:





−−=
=
+=
=
tz
ty
tx
r
21
3
1 11
3
2
2
2
zyx
r =
−
=
−
+
=
Os vetores que definem as direções das retas r1 e r2 são:
( )
2
1
6.6
3
11)2(.)2(11
)1,1,2.(2,1,1
cos
)1,1,2(
)2,1,1(
222222
2
1
=
−
=
++−−++
−−
=
−=
−=
θ
V
V
Logo 





=
2
1
arcosθ
θ = 60o
O Vetor foi determinado a partir da equação paramétrica da reta r1:1V
2V
→
( )2,1,11 −=V
Da equação vetorial da reta: P = A + tv ou (x, y,z) = (x1, y1, z1) + t(a, b,c)
ou ainda: (x, y, z) = (x1+ta, y1+tb, z1+tc). 
O Vetor foi determinado a partir da equação simétrica da reta r2:
a
xx
t 1
−
=
b
yy
t 1
−
=
c
zz
t 1
−
=
Logo:
c
zz
b
yy
a
xx 111 −
=
−
=
−
Das equações paramétricas, supondo a, b, c ≠ 0 vem:
Sendo:
2
21
−
+
=
− x
a
xx x1 = -2
a = -2 1
31 −
=
− y
b
yy y1 = 3
b = 1 1
1 z
c
zz
=
− z1 = 0
c = 1
Portanto: ( )1,1,22 −=V
- - - - - resolução - - - - -
x = x1 + ta → Se x = 3 + t .·. x1 = 3 / ta = t, logo a = 1
y = y1 + tb → Se y = t .·. y1 = 0 / tb = t, logo b = 1
z = z1 + tc → Se z = -1 - 2t .·. z1 = -1 / tc = -2t, logo c = -2
Portanto:
Nome: Jorge Leoncio A. Oliveira
Matrícula: 201202211461
Disciplina: CVGA
Curso: Eng. Controle e Automação
Campus: Estácio - P. XI
Resolução do Exercício
terça-feira, 20 de novembro de 2012
18:17
 Página 14 de Calc Vetorial 
1) Calcular o valor de a para que os vetores u(2, 2, -1) v(3, 4, 2) e w(a, 2, 3) sejam coplanares
Det |u v w| = 0
2) Determine o raio e o centro da circunferência x2 + y2 - x - y -1 =0
3) Determine a equação reduzida da circunferência de raio 3 e centro (3, 3)
4) Calcule o calor de kpara que o volume de tetraedro gerado pelos vetores:
A → B(0, -1, 1), A → C(-1, 0, 1) e A → D(k - 1, 1, 1) seja igual a 2/3. DetV .
6
1
=
5) Sejam os planos π1: 5x - y + z - 5 = 0 e π2: x + y + 2z - 7 =0. A interseção destes dois planos é uma reta 
r. Determine a equação paramétrica desta reta.
Resoluções:
1)
2) Completando os quadrados
1
088
018846424
2
43
22
32
243
122
32
243
122
=
=−
=−−+−+
−
⇒









 −
a
a
aa
aaa
3)
93)3()3(
)()(
222
222
==−+−
=−+−
yx
rbyax C = (a, b)
r = 3; r2 = 9
u
v
w
4)
0122 =−−+− yyxx
2
1
12
12
1
=
=
=
=
b
b
ab
a






=
==⇒=
2
1
,
2
1
2
6
4
6
4
62
C
rr
→ →
4
6
2
1
2
1
01
4
2
2
1
2
1
01
4
1
2
1
4
1
2
1
22
22
22
=





−+





−
=−−





−+





−
=−−





−+−





−
yx
yx
yx
5) Fazendo x = 0, temos o sistema:



=−+
=−+−
072
05
zy
zy Daí, y = -1 e z = 4
Ponto A (0, -1, 4)
Seja V ortogonal a n1 (5, -1, 1) e n2 (1, 1, 2) e normal aos planos
O vetor será encontrado efetuando o produto vetorial n1 x n2 = (-3, -9, 6)
A equação paramétrica da reta é:
(t, -1 + 3t, 4 - 2t)
14
.
6
1
3
2
−−=
=
k
DetDetV .6
1
=
k = 3 ou k = 5
Exercícios
quarta-feira, 21 de novembro de 2012
20:59
 Página 15 de Calc Vetorial