Aula CVGA, Prof. Silveira, Estácio
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Prof. Rockfeller

Cálculo Vetorial

Chamamos de segmentos orientados um segmento de reta que possui sua origem em um ponto e
sua extremidade em outro.

Segmentos orientados

Segmento de reta orientado:

A

B

Segmentos Opostos:

A

B

B

A

Segmento AB = BAAB
Mesma Direção
Sentidos Opostos

Mesmo Comprimento
Mesmo Sentido
Mesma Direção

Segmentos Equipolentes

A

B

AB

D

C
CD

Chama-se de vetor ao segmento de reta orientado que possui sua origem em um ponto e
extremidade em outro

Vetores

B

A

Dois vetores AB e CD são iguais e somente se, os dois segmentos orientados que os representam
forem equipolentes

Vetores iguais:

A

B

D

C

\u2192\u2192

= CDAB

\u2192

CD

\u2192

AB

\u2192\u2192

AB

Livro recomendado:
Vetores e geometria analítica - Paulo Winterle

Cálculo Vetorial + Geom. Analítica
quarta-feira, 8 de agosto de 2012
20:28

 Página 1 de Calc Vetorial

Vetores Opostos

A

B

B

A\u2192
v

\u2192

\u2212 v

Soma de um ponto com um vetor:
Dado um ponto A e um vetor v existe um único ponto B que B - A = v. O ponto é chamado de soma do
ponto A com o vetor v e se indica por A + v. Logo as propriedades a seguir são imediatas.

AvvA =+\uf8f7
\uf8f8

\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed

\uf8eb
\u2212

\u2192\u2192

Se:

\u2192\u2192

+=+ vBvA Então A = B

A

B

\u2192

v B = A =

Adição de Vetores:
Consideremos os vetores 'u e 'v e um ponto qualquer A. Quando se toma o ponto A, e a ele se soma o
vetor u, obtemos um segundo ponto, que aqui vamos chamar de B. Quando se soma ao ponto B o vetor
v, encontramos um terceiro ponto, que chamaremos de C. Podemos dizer que existe um terceiro vetor
w que ao ser somado ao ponto A encontramos o ponto C.

\u2192

v

A

B

C

u

v

w

u + v = w

w

v

u

A

B C

Vetores na mesma direção e sentido:

j g

j g j + g = w

w

Vetores na mesma direção e sentido contrário:

s

t

s t

k

s + (-t) = k

Método Poligonal

\u2192 \u2192

\u2192 \u2192

\u2192 \u2192 \u2192

\u2192

\u2192

\u2192

\u2192 \u2192

\u2192

\u2192 \u2192

\u2192 \u2192

\u2192

\u2192 \u2192 \u2192

\u2192

\u2192

\u2192 \u2192

\u2192

\u2192 \u2192 \u2192

Terminologia
quarta-feira, 15 de agosto de 2012
21:01

 Página 2 de Calc Vetorial

Regra do Paralelograma:

B

A

u v

w

u + v = w
\u2192 \u2192

\u2192

\u2192 \u2192 \u2192

Adição de Vetores
quarta-feira, 15 de agosto de 2012
21:55

 Página 3 de Calc Vetorial

a (3)

b (4)

c c2 = a2 + b2 = 32 + 42 = sq 5

60o

a

b

c

Z2 = a2 + b2 + 2 . a . b . cos\u3b8

Ex:
a = 4cm, b = 3cm
Z2 = 42 + 32 + 2 . 4 . 3 . cos 60o

Z2 = 16 + 9 + 24 . (0,5) = 25 + 12

37=Z = 6,1 cm

Aula de reforço:
adyquizunda@hotmail.com

Medida algébrica de um segmento AB de abscissa Xa e Xb

Consideremos um segmento orientado AB contido no eixo (E), sendo Xa e Xb as abscissas respectivas dos
extremos deste segmento. Quaisquer que sejam as posições dos três pontos sobre o eixo , podemos
afirmar que:

0A + AB + B0 = 0
AB = -B0 - 0A
AB = 0B - 0A

como 0B = Xb e 0A = Xa

Conclui-se que: AB = Xb - Xa

E
0 A B

Xb

Xa K sím vetor

EXERCÍCIO:

Dados os pontos M(-5) e N(+2), determine a medida algébrica dos segmentos MN e NM,
respectivamente.

-5 0 2

M N

N - M = 2 - (-5) = 7
M - N = -5 - (+2) = -5 -2 = -7

\u2192 \u2192 \u2192

\u2192

\u2192

\u2192

\u2192

\u2192 \u2192 \u2192

\u2192

\u2192

\u2192

\u2192

Regra do Paralelogramo
quarta-feira, 22 de agosto de 2012
20:55

 Página 4 de Calc Vetorial

Professor Substituto:
profsilveira@live.com

Vetores:
Vetores livres, operações com vetores1.
ângulo entre vetores2.
Vetores no plano e no espaço3.

Produto de Vetores:
Produto escalar1.
Produto vetorial2.
Produto misto3.

Retas:
Forma das equações de retas no plano e no espaço1.
Ângulo entre retas2.
Retas coplanares3.

Planos:
Equação geral do plano
Determinação de um plano
Cônicas:
Parábola
Elipse circunferência
Hipérbole

A Geometria Analítica nos permite representar pontos da reta por números reais, pontos do plano por
pares ordenados de números reais e pontos do espaço por termos de nos reais. Desse modo, curvas no
plano e superfícies no espaço podem ser descritas por meio equações, o que torna possível tratar
algebricamente muitos problemas geométricos e, reciprocamente, interpretar geometricamente
diversas equações algébricas.

Teorema:
Seja \u3bb > 0 um número real e A um ponto. Então para toda semirreta de origem em A, existe um único B
nesta semirreta, tal que:

1) d(A,B) = \u3bb
2) d(A,B) \u2265 0
3) d(A,B) = 0 \u2194 A = B
4) d(A,B) = d(B,A)
5) d(A,B) \u2264 d(A,C) + d(C,B)
6) d(A,B) = d(A,C) + d(C,B) \u2194 A, B, C são colineares e C está entre A e B.

Dizemos que r é uma reta orientada quando sobre ela se escolheu um sentido do percurso chamado
positivo. O sentido oposto sobre a reta é denominado negativo.

Sejam A e B pontos na reta r. Dizemos que o ponto B está a direita de A quando o sentido do percurso
de A para B coincide com o sentido positivo.

r

r

B

Um eixo \u404 é uma reta orientada na qual se fixou uma origem O. Se a origem O do eixo coincidir com o
0 (zero) do conjunto dos nos reais e a sua direita os valores coincidem com os valores positivos do
números reais e ainda, se os valores a esquerda da origem coincidem com os valores reais negativos,
então o eixo possui correspondência biunívoca com R, \u404 \u2194 R

Coordenadas do plano:
Designamos por R2, o conjunto formado pelos pares ordenados (x,y), onde x e y são números reais. O
número x chama-se primeira coordenada e o número y chama-se segunda coordenada do par
ordenado

A

Ementa
quarta-feira, 29 de agosto de 2012
20:57

 Página 5 de Calc Vetorial

x
y
P(x,y)

O Ox

Oy

r

s

Conceitos
quarta-feira, 29 de agosto de 2012
21:37

 Página 6 de Calc Vetorial

Distâncias entre dois pontos no plano.

Sejam um \u3c0 um plano munido de um sistema de eixos ortogonais OxY, P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2) dois
pontos no plano \u3c0 e seja Q(x1, y2) como d(P1, Q) = |y2 - y1| e d(P2, Q) = |x2 - x1|, temos pelo teorema de
pitágoras:
d(P1, P2)2 = d(P1,Q)2 + d(P2, Q)2

P1y1

y2

x2 x1

P2

Definição 1:
Dados um ponto A num plano \u3c0 e um no r > 0, o círculo C de centro A e raio r > 0 é o conjunto dos
pontos do plano \u3c0 situados à distância r do ponto A, ou seja:

Oy

Ox

Q

C = { P \u404 \u3c0 | d(P,A) = r }

Seja Oxy um sistema de eixos ortogonais no plano \u3c0 e sejam a e b as coordenadas do centro A desse
sistema de eixos. Então:

P \u404 C \u2194 d(P,A) = r
d(P,A)2 = r2 =
(x - a)2 + (y - b)2 = r2

Py

b

a x

A

Oy

Ox

Q
r

Exemplo 1:
a) C = x2 - y2 -4x + 6y = 0
Completando os quadrados temos:

x2 - 4x + y2 + 6y = 0
x2 - 4x + 4 + y2 + 6y +9 = 0 + 9 + 4
(x - 2)2 + (y + 3)2 = 13

LOGO:
A(2, -3) e r =
A = centro da circunferência

b) C = x2 + y2 +3x - 5y +1 = 0
x2 +3x + 2,25 + y2 - 5y +6,25 +1 = 0 +2,25 + 6,25
(x + 1,5)2 + (y - 2,5)2 = 2,25 + 6,25 - 1 = 7,5
A = (-1,5, +2,5), r =

13

o

o

a

b

c a2 = b2 +c2

Qual o centro e o raio deste círculo?

5,7 *1

*1

*1

Inverte-se os sinais de a e b

Resposta do professor:

2
30

,

2
5

,

2
3

=\uf8f7
\uf8f8

\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed

\uf8eb \u2212
= rA em fração

24
xx

=

Distâncias
quarta-feira, 5 de setembro de 2012
20:56

 Página 7 de Calc Vetorial

Chamamos de segmentos orientados a um segmento de reta que possui sua origem em um ponto e sua
extremidade em outro.
Tome-se por exemplo o segmento mostrado na figura abaixo:

A

B

Na figura, o segmento representado tem sua origem no ponto A e sua extremidade no ponto B.
Dizemos que um segmento é nulo quando sua origem coincide com sua extremidade. (A = B).
 Dado um segmento AB, diz-se que o segmento BA é o seu oposto.

A

B

A

B

Dados dois segmentos orientados AB e CD, dizemos que eles têm a mesma direção quando os
segmentos AB e CD são paralelos ou coincidentes.
 Dizemos que eles possuem o mesmo sentido quando, além de terem a mesma direção, possuem a
mesma orientação.

A

B C

D

 Dizemos