Aula CVGA, Prof. Silveira, Estácio
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Prof. Rockfeller
Cálculo Vetorial
Chamamos de segmentos orientados um segmento de reta que possui sua origem em um ponto e 
sua extremidade em outro.
Segmentos orientados
Segmento de reta orientado:
A
B
Segmentos Opostos:
A
B
B
A
Segmento AB = BAAB
Mesma Direção
Sentidos Opostos
Mesmo Comprimento
Mesmo Sentido
Mesma Direção
Segmentos Equipolentes
A
B
AB
D
C
CD
Chama-se de vetor ao segmento de reta orientado que possui sua origem em um ponto e 
extremidade em outro
Vetores
B
A
Dois vetores AB e CD são iguais e somente se, os dois segmentos orientados que os representam 
forem equipolentes
Vetores iguais:
A
B
D
C
\u2192\u2192
= CDAB
\u2192
CD
\u2192
AB
\u2192\u2192
AB
Livro recomendado:
Vetores e geometria analítica - Paulo Winterle
Cálculo Vetorial + Geom. Analítica
quarta-feira, 8 de agosto de 2012
20:28
 Página 1 de Calc Vetorial 
Vetores Opostos
A
B
B
A\u2192
v
\u2192
\u2212 v
Soma de um ponto com um vetor:
Dado um ponto A e um vetor v existe um único ponto B que B - A = v. O ponto é chamado de soma do 
ponto A com o vetor v e se indica por A + v. Logo as propriedades a seguir são imediatas.
AvvA =+\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212
\u2192\u2192
Se:
\u2192\u2192
+=+ vBvA Então A = B
A
B
\u2192
v B = A = 
Adição de Vetores:
Consideremos os vetores 'u e 'v e um ponto qualquer A. Quando se toma o ponto A, e a ele se soma o 
vetor u, obtemos um segundo ponto, que aqui vamos chamar de B. Quando se soma ao ponto B o vetor 
v, encontramos um terceiro ponto, que chamaremos de C. Podemos dizer que existe um terceiro vetor 
w que ao ser somado ao ponto A encontramos o ponto C.
\u2192
v
A
B
C
u
v
w
u + v = w
w
v
u
A
B C
Vetores na mesma direção e sentido:
j g
j g j + g = w
w
Vetores na mesma direção e sentido contrário:
s
t
s t
k
s + (-t) = k
Método Poligonal
\u2192 \u2192
\u2192 \u2192
\u2192 \u2192 \u2192
\u2192
\u2192
\u2192
\u2192 \u2192
\u2192
\u2192 \u2192
\u2192 \u2192
\u2192
\u2192 \u2192 \u2192
\u2192
\u2192
\u2192 \u2192
\u2192
\u2192 \u2192 \u2192
Terminologia
quarta-feira, 15 de agosto de 2012
21:01
 Página 2 de Calc Vetorial 
Regra do Paralelograma:
B
A
u v
w
u + v = w
\u2192 \u2192
\u2192
\u2192 \u2192 \u2192
Adição de Vetores
quarta-feira, 15 de agosto de 2012
21:55
 Página 3 de Calc Vetorial 
a (3)
b (4)
c c2 = a2 + b2 = 32 + 42 = sq 5
60o
a
b
c
Z2 = a2 + b2 + 2 . a . b . cos\u3b8
Ex:
a = 4cm, b = 3cm
Z2 = 42 + 32 + 2 . 4 . 3 . cos 60o
Z2 = 16 + 9 + 24 . (0,5) = 25 + 12
37=Z = 6,1 cm
Aula de reforço:
adyquizunda@hotmail.com
Medida algébrica de um segmento AB de abscissa Xa e Xb
Consideremos um segmento orientado AB contido no eixo (E), sendo Xa e Xb as abscissas respectivas dos 
extremos deste segmento. Quaisquer que sejam as posições dos três pontos sobre o eixo , podemos 
afirmar que:
0A + AB + B0 = 0
AB = -B0 - 0A
AB = 0B - 0A
como 0B = Xb e 0A = Xa
Conclui-se que: AB = Xb - Xa
E
0 A B
Xb
Xa K sím vetor
EXERCÍCIO:
Dados os pontos M(-5) e N(+2), determine a medida algébrica dos segmentos MN e NM, 
respectivamente.
-5 0 2
M N
N - M = 2 - (-5) = 7
M - N = -5 - (+2) = -5 -2 = -7
\u2192 \u2192 \u2192
\u2192
\u2192
\u2192
\u2192
\u2192 \u2192 \u2192
\u2192
\u2192
\u2192
\u2192
Regra do Paralelogramo
quarta-feira, 22 de agosto de 2012
20:55
 Página 4 de Calc Vetorial 
Professor Substituto:
profsilveira@live.com
Vetores:
Vetores livres, operações com vetores1.
ângulo entre vetores2.
Vetores no plano e no espaço3.
Produto de Vetores:
Produto escalar1.
Produto vetorial2.
Produto misto3.
Retas:
Forma das equações de retas no plano e no espaço1.
Ângulo entre retas2.
Retas coplanares3.
Planos:
Equação geral do plano
Determinação de um plano
Cônicas:
Parábola
Elipse circunferência
Hipérbole
A Geometria Analítica nos permite representar pontos da reta por números reais, pontos do plano por 
pares ordenados de números reais e pontos do espaço por termos de nos reais. Desse modo, curvas no 
plano e superfícies no espaço podem ser descritas por meio equações, o que torna possível tratar 
algebricamente muitos problemas geométricos e, reciprocamente, interpretar geometricamente 
diversas equações algébricas.
Teorema:
Seja \u3bb > 0 um número real e A um ponto. Então para toda semirreta de origem em A, existe um único B 
nesta semirreta, tal que:
1) d(A,B) = \u3bb
2) d(A,B) \u2265 0
3) d(A,B) = 0 \u2194 A = B
4) d(A,B) = d(B,A)
5) d(A,B) \u2264 d(A,C) + d(C,B)
6) d(A,B) = d(A,C) + d(C,B) \u2194 A, B, C são colineares e C está entre A e B.
Dizemos que r é uma reta orientada quando sobre ela se escolheu um sentido do percurso chamado 
positivo. O sentido oposto sobre a reta é denominado negativo.
Sejam A e B pontos na reta r. Dizemos que o ponto B está a direita de A quando o sentido do percurso 
de A para B coincide com o sentido positivo.
r
r
B
Um eixo \u404 é uma reta orientada na qual se fixou uma origem O. Se a origem O do eixo coincidir com o 
0 (zero) do conjunto dos nos reais e a sua direita os valores coincidem com os valores positivos do 
números reais e ainda, se os valores a esquerda da origem coincidem com os valores reais negativos, 
então o eixo possui correspondência biunívoca com R, \u404 \u2194 R 
Coordenadas do plano:
Designamos por R2, o conjunto formado pelos pares ordenados (x,y), onde x e y são números reais. O 
número x chama-se primeira coordenada e o número y chama-se segunda coordenada do par 
ordenado
A
Ementa
quarta-feira, 29 de agosto de 2012
20:57
 Página 5 de Calc Vetorial 
x
y
P(x,y)
O Ox
Oy
r
s
Conceitos
quarta-feira, 29 de agosto de 2012
21:37
 Página 6 de Calc Vetorial 
Distâncias entre dois pontos no plano.
Sejam um \u3c0 um plano munido de um sistema de eixos ortogonais OxY, P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2) dois 
pontos no plano \u3c0 e seja Q(x1, y2) como d(P1, Q) = |y2 - y1| e d(P2, Q) = |x2 - x1|, temos pelo teorema de 
pitágoras:
d(P1, P2)2 = d(P1,Q)2 + d(P2, Q)2
P1y1
y2
x2 x1
P2
Definição 1:
Dados um ponto A num plano \u3c0 e um no r > 0, o círculo C de centro A e raio r > 0 é o conjunto dos 
pontos do plano \u3c0 situados à distância r do ponto A, ou seja:
Oy
Ox
Q
C = { P \u404 \u3c0 | d(P,A) = r }
Seja Oxy um sistema de eixos ortogonais no plano \u3c0 e sejam a e b as coordenadas do centro A desse 
sistema de eixos. Então:
P \u404 C \u2194 d(P,A) = r
d(P,A)2 = r2 =
(x - a)2 + (y - b)2 = r2
Py
b
a x
A
Oy
Ox
Q
r
Exemplo 1:
a) C = x2 - y2 -4x + 6y = 0
Completando os quadrados temos:
x2 - 4x + y2 + 6y = 0
x2 - 4x + 4 + y2 + 6y +9 = 0 + 9 + 4
(x - 2)2 + (y + 3)2 = 13
LOGO:
A(2, -3) e r = 
A = centro da circunferência
b) C = x2 + y2 +3x - 5y +1 = 0
x2 +3x + 2,25 + y2 - 5y +6,25 +1 = 0 +2,25 + 6,25
(x + 1,5)2 + (y - 2,5)2 = 2,25 + 6,25 - 1 = 7,5
A = (-1,5, +2,5), r = 
13
o
o
a
b
c a2 = b2 +c2
Qual o centro e o raio deste círculo?
5,7 *1
*1
*1
Inverte-se os sinais de a e b
Resposta do professor:
2
30
,
2
5
,
2
3
=\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb \u2212
= rA em fração
24
xx
=
Distâncias
quarta-feira, 5 de setembro de 2012
20:56
 Página 7 de Calc Vetorial 
Chamamos de segmentos orientados a um segmento de reta que possui sua origem em um ponto e sua 
extremidade em outro.
Tome-se por exemplo o segmento mostrado na figura abaixo:
A
B
Na figura, o segmento representado tem sua origem no ponto A e sua extremidade no ponto B.
Dizemos que um segmento é nulo quando sua origem coincide com sua extremidade. (A = B).
 Dado um segmento AB, diz-se que o segmento BA é o seu oposto.
A
B
A
B
Dados dois segmentos orientados AB e CD, dizemos que eles têm a mesma direção quando os 
segmentos AB e CD são paralelos ou coincidentes.
 Dizemos que eles possuem o mesmo sentido quando, além de terem a mesma direção, possuem a 
mesma orientação.
A
B C
D
 Dizemos