Notas de Aula - IME

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SEÇÃO DE ENSINO DE ENGENHARIA DE FORTIFICAÇÃO E CONSTRUÇÃO
Pós-graduação em Engenharia de Transportes
El ti id d li d à I f t t d T tElasticidade aplicada à Infraestrutura de Transportes
MAJ MONIZ DE ARAGÃO
DEFORMAÇÕES:
• Campo de deslocamentos; Componentes de deformação; 
Relações deformação-deslocamento; Deformação linear 
específica numa direção qualquer; Deformações Principaisespecífica numa direção qualquer; Deformações Principais.
Referências bibliográficas:
• Introdução à Teoria da Elasticidade, Villaça, S. F., Taborda Garcia, 
L. F., COPPE/UFRJ, 4ª Ed., 2000.
• Theory of Elasticity, Timoshenko, S. P., Goodier, J.N., McGraw-Hill 
Classic Textbook Reissue Series, 3rd Ed., 1970.
Deformações:
Campo de deslocamentosCampo de deslocamentos
Solicitações externas atuando em um corpo deformável:Solicitações externas atuando em um corpo deformável:
Mudança de forma e 
dimensõesdimensões
Configuração inicial indeformada  Configuração final deformada
Deformações:
Campo de deslocamentosCampo de deslocamentos
Um ponto A do corpo que na configuração inicial tem as coordenadasUm ponto A do corpo, que na configuração inicial tem as coordenadas 
x, y, z, sofre um deslocamento u, e passa para a posição A*.
 wvu ,,u
 
 zyxvv ,,
 zyxuu ,,
 zyxww ,,  zyxww ,,
As coordenadas A* são então dadas por x+u, y+v, z+w, e o 
CAMPO DE DESLOCAMENTOS determinado pelas funções u, v, w.
Deformações:
Campo de deslocamentosCampo de deslocamentos
Observações:Observações:
• Tendo em vista a continuidade do sólido no processo de deformação, 
as funções escalares u, v, w devem ser contínuas e unívocas.
• O campo de deslocamentos pode ser decomposto em duas parcelas:
• Movimento de corpo rígido (translação do ponto)
• Deslocamento com mudança de forma e dimensões do 
corpo (alongamentos, encurtamentos)
O movimento do corpo rígido pode ser sempre eliminado mediante a• O movimento do corpo rígido pode ser sempre eliminado mediante a 
introdução adequada de vínculos.
Ex: Deslocamento com 
mudança de dimensões
Movimento de 
Corpo rígidomudança de dimensões Corpo rígido
F
Componentes de DeformaçãoComponentes de Deformação
D f ã ( t i )• Deformação (strain)
• Deformação linear específica
Alongamento relativo
s
• Alongamento relativo
Deformação no ponto A e na direção s:
Relação entre o alongamento sofrido pelo 
segmento elementar e o seu comprimento inicial, 
ao passar da configuração inicial para aao passar da configuração inicial para a 
deformada.
 ss dsds ds
dsds
AB
ABBA   1*
***
Componentes de DeformaçãoComponentes de Deformação
D f ã l ( h i t i )• Deformação angular (shearing strain)
• Distorção
st
Distorção no ponto A associada às direções s, t :
 BACst
*** ˆ
2
 
2
Redução do ângulo originariamente reto entre AB e BC.
Componentes de DeformaçãoComponentes de Deformação
O estado de deformação em um ponto A fica completamenteO estado de deformação em um ponto A fica completamente 
determinado se forem conhecidas as componentes de deformação 
(linear e angular) em três direções ortogonais.
Referindo-se ao sistema cartesiano global xyz, tem-se as seguintes 
componentes de deformação:
 , , , , , yzxzxyzyx 
De forma análoga ao estado de tensões, conhecidas essas componentes é 
possível calcular a deformação linear numa direção qualquer, ou a 
d f ã l i d d di õ t i ideformação angular associada a um par de direções ortogonais quaisquer
no ponto A.
Componentes de DeformaçãoComponentes de Deformação
Adeformação em todo o corpo fica determinada conhecendo-se o 
campo de deformações, ou seja, as componentes de deformação 
como funções de posição:como funções de posição:
   zyx    zyx 
 
 





zyx
z,y,x
z,y,x
yy
xx   
 





zyx
z,y,x
z,y,x
xzxz
xyxy
   z,y,xzz    z,y,xyzyz
Relações Deformação – Deslocamento
( d d t i )(coordenadas cartesianas)
Sejam (A*) (B*) (C*) as projeções de A* B* C* no plano xy Logo:Sejam (A ), (B ), (C ) as projeções de A , B , C no plano xy. Logo:
O deslocamento (de primeira 
ordem) na direção x do ponto B
é igual a:
du dx
x
u 
devido ao aumento de
dx
x
u


da função u com o aumento 
da coordenada x
Relações Deformação - Deslocamentoç ç
Sejam (A*) (B*) (C*) as projeções de A* B* C* no plano xy Logo:Sejam (A ), (B ), (C ) as projeções de A , B , C no plano xy. Logo:
    cosBAudxuudx **    cosBAudxxudx
    cosCAvdyvvdy **    cosCAvdyyvdy
   *** BAˆC    BAC
2
dx
x
v
sen 

   ** BAsen 
dy
y
u


  ** CA ysen 
Relações Deformação - Deslocamentoç ç
 Hipótese de pequenas mudanças de configuração; Hipótese de pequenas mudanças de configuração;
 Componentes de deformação consideradas muito pequenas em presença da 
unidade;
        y**** x
****
dyCACA
dxBABA


1
1    y
    ****** BAˆCBAˆC      xy****** BACBAC  22
1
1


cos ;sen
cos ;sen
Relações Deformação - Deslocamentoç ç
 Reescrevendo se as equações tem se: Reescrevendo-se as equações, tem-se:
    
x
u1dxuBAudx
x
uudx xx 

  cos**  
xx 
    
y
v1dyvCAvdy
y
vvdy yy 

  cos**
yy 
    xyxy*** BAˆC  2 vu 2
vdxx
vdx
x
v
sen 




xyxy 
     xdxBAsen x**  1
dyudyu 



 Com as projeções nos outros dois 
planos cartesianos, são obtidas 
as demais expressões das 
     yudy
y
y
CA
y
ysen
y** 


1
relações deformação-
deslocamento.
Relações Deformação – Deslocamento LinearesRelações Deformação Deslocamento Lineares
Na notação cartesiana: ,,,, 321 zyxxxx Na notação cartesiana:
,,,,
,,,,
321
321
wvuuuu
zyxxxx
 


...,,...,, xyxx1211  
 u    1vu1







v
x
u
y
x




 

 







xzxz
xyxy
1wu1
2
1
x
v
y
u
2
1









z
w
y
z
y
 










 
yzyz
xzxz
2
1
y
w
z
v
2
1
2xz2


 z    2yz2
 x é o alongamento relativo da projeção em x de um segmento elementar 
originalmente na direção x.
 x é o alongamento relativo de um segmento elementar na direção x.
Relações Deformação – Deslocamento LinearesRelações Deformação Deslocamento Lineares
Na notação cartesiana:Na notação cartesiana:
,,,, 321
wvuuuu
zyxxxx






v
x
u
x
...,,...,,
,,,,
 xyxx1211
321 wvuuuu
 







w
y
v
y


  zz
 x é o alongamento relativo da projeção em x de um segmento elementar 
originalmente na direção x.
 x é o alongamento relativo de um segmento elementar na direção x.
Deformações angularesç g

 vuyxxy 



 



y
w
z
v
xy
zyyz
yxxy




 



x
w
z
u
yz
zxxz 
Deformações angularesç g

 




 yxxyyxxy x
v
y
u 
2
1
2
1
2
1É conveniente imaginar uma rotação
de corpo rígido do elemento em torno

 





 
 zxxzzxxz x
w
z
u
xy

2
1
2
1
2
1
222p g
do eixo transversal de forma a se
obter uma deformação angular igual
sofridapor cada uma das faces








 zyyzzyyz y
w
z
v 
2
1
2
1
2
1transversais, com magnitude igual à
metade de distorção total no plano.
Tensor
Assim, modificando-se as relações para deformações angulares para xy ,yz e xz , obtém-se o tensor (de deformações), que é uma entidade
matemática que obedece a certas leis de transformação:matemática que obedece a certas leis de transformação:
 xzxyxx 




yzyyyx
xzxyxx
 
 zzzyzx 
Notar que os termos da diagonal principal representam as deformações
lineares enquanto os termos situados fora da diagonal, cujos valores são
simétricos em relação à diagonal, são as deformações transversais
(angulares).
Convenção de sinais nas deformaçõesç ç
Deformação linear positiva: 
extensão do comprimento unitário
Deformação angular positiva:
redução do ângulo originariamente retoredução do ângulo originariamente reto
Deformação linear numa direção qualquerç ç q q
Na figura abaixo um segmento elementar PQ de comprimento ds e direção s éNa figura abaixo, um segmento elementar PQ de comprimento ds e direção s é 
representado na sua configuração inicial.
co-senos diretores:co senos diretores:
 

  xs
ds
dx ,cos
 

  ysds
dym
ds
,cos

 

  zsds
dzn ,cos
Deformação linear numa direção qualquerç ç q q
Após a deformação o segmento passa para a posição P*Q* de comprimento ds*Após a deformação o segmento passa para a posição P Q de comprimento ds .
As projeções dos deslocamentos up e uq sobre a direção s são dadas por:
    wnvmuuu PPs  
    ddus     ds
ds
uu sPsQs 


Deformação linear numa direção qualquerç ç q q
Considerando se a hipótese de pequenas mudanças de configuração:Considerando-se a hipótese de pequenas mudanças de configuração:
dsudsduuds s 

*
ds
du
ds
dsuds
ds
uds
ds
dsds s
ss
s 

*

Desenvolvendo a derivada 
direcional da função u nadirecional da função u na 
direção s....
Deformação linear numa direção qualquerç ç q q
Desenvolvendo a derivada direcional da função u na direção s....

 ssss udzdudydudxdudu
ç ç
 ss udsdzdsdydsdxds
      n
dz
wnvmudm
dy
wnvmud
dx
wnvmud 

 

 

  
mn
dy
dw
dz
dvn
dz
du
dx
dwm
dy
du
dx
dvn
dz
dwm
dy
dv
dx
du 

 

 

   222
mnnmnm    222 mnnmnm yzxzxyzyxs   
Deformação linear numa direção qualquerç ç q q
s
 xzxyxx
T  










n
m
n
m yzyyyxs

 M
 nn zzzyzx 
222 mnnmnm yzxzxyzyxs    222
Deformação linear numa direção qualquerç ç q q
mnnmnm yzxzxy
2
z
2
y
2
xs   
A expressão acima nos dá a deformação linear em torno de um ponto em
uma direção qualquer (definida pelos seus co-senos diretores) em funçãoç q q ( p ) ç
das deformações lineares segundo os eixos coordenados e das
distorções nos planos coordenados.
Vê-se assim que as deformações segundo três eixos coordenados, 
ou seja, um tensor de deformações, é suficiente para definir o 
ESTADO DE DEFORMAÇÃO
em torno de um ponto qualquer (assim como nas tensões).
Deformação angular numa direção qualquerç g ç q q
Analogamente pode-se demonstrar que a distorção entre duas direçõesAnalogamente, pode se demonstrar que a distorção entre duas direções 
s e t pode ser colocada como:
 tstsxytsztsytsxst mmnn2mm22     
   tstsyztstsxz
tstsxytsztsytsxst
mnnmnn  

 
Deformações Principaisç p
Pode-se mostrar pela análise das expressões anteriores de deformação linear ePode se mostrar pela análise das expressões anteriores de deformação linear e 
distorção segundo direções arbitrárias, ou pelas propriedades dos Tensores, que 
o Tensor deformação segundo três novas coordenadas x’, y’, z’ pode ser 
colocado como:

















xzxyxxxzxyxxzxyxxxzxyxxx ''''''''''''








colocado como:
















zzzyzx
yzyyyx
zzzyzx
yzyyyx
zzyzxz
zyyyxy
zzyzxz
zyyyxy
'''
'''
'''
'''
''''''
''''''








onde
)'cos()'cos()'cos(
),'cos(),'cos(),'cos('''131211












 zyyyxy
zxyxxxzxyxxx




R
onde:
 
),'cos(),'cos(),'cos(
),cos(),cos(),cos(
'''
'''
333231
232221












zzyzxz
zyyyxy
zzyzxz
zyyyxy



R
tRεR ε 'Lei de Transformação do Tensor de 2ª ordem:
Deformações Principaisç p
Tal como na análise de tensões pode se considerar por hipótese que num pontoTal como na análise de tensões, pode-se considerar por hipótese que num ponto 
de um sólido em estado de deformação existem três direções ortogonais 
(principais) em relação às quais a distorção é nula.
As deformações lineares em tais direções são as deformações principais:
 
Pelas propriedades dos tensores as três direções principais (ortogonais)
321  ,,  321  
Pelas propriedades dos tensores, as três direções principais (ortogonais) 
correspondem à representação do tensor deformação segundo uma matriz 
diagonal. 
Logo, as raízes da equação característica do tensor de deformações 
correspondem às deformações principais, e seus coeficientes são denominados p ç p p ,
de invariantes do estado de deformação.
Deformações Principaisç p
Seja a direção “e” ma direção principal onde há apenas ma deformação
 
Seja a direção “e” uma direção principal, onde há apenas uma deformação 
sem distorções:
 





















 mm yzyyyx
xzxyxx
ee



 
 nn zzzyzx 
 00   






























n
m
n
m
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
e
e
e 
 
00
00
00





   0 



n
mεexyz Iε
 zzzyzxe n
As deformações principais são os autovalores da matriz (tensor) de deformaçõesAs deformações principais são os autovalores da matriz (tensor) de deformações
Deformações Principaisç p
  0eij  Idet 0yzeyyx xzxyex 

 

ezzyzx 
0JJJ 3e2
2
e1
3
e   JJJ 3e2e1e 
321iizyx1J  
323121
zzy
yzy
zzx
xzx
yyx
xyx
2J 




 
yxyy
321
xzxyx
3J 

 321
zzyzx
yzyyx3J 


Deformações Principais: sólidos isotrópicosç p p
Tensões Principais, Deformações principais, Direções Principais
Deformações Principais: sólidos isotrópicosç p p
T õ P i i i D f õ i i i Di õ P i i iTensões Principais, Deformações principais, Direções Principais
Deformações Principais: sólidos isotrópicosç p p
Tensões Principais, Deformações principais, Direções Principais
Deformações Principais: sólidos isotrópicosç p p
T õ P i i i D f õ i i i Di õ P i i iTensões Principais, Deformações principais, Direções Principais
Rosetas de Deformaçõesç
 yxOBxy 2 
Compatibilidade de Deformaçõesp ç
é preciso garantir a integrabilidade das relações• é preciso garantira integrabilidade das relações 
deformações-deslocamentos;
bt ã d d d l t• obtenção de um campo de deslocamentos 
cinematicamente admissível, representado por funções 
contínuas e unívocas;contínuas e unívocas;
• preservação do meio sólido no processo (de forma a não 
surgirem trincas ou fissuras);surgirem trincas ou fissuras);
• uma maneira de se assegurar que as deformações sejam 
tí i é i i i d d l tcompatíveis é iniciar um campo de deslocamentos 
contínuo e unívoco e desenvolver as deformações a partir 
deste campo de conformidadedeste campo de conformidade.
Compatibilidade de Deformaçõesp ç
 u    1vu1







v
x
u
y
x






 






 xyxy
1wu1
2
1
x
v
y
u
2
1









z
w
y
z
y













 
yzyz
xzxz
2
1
y
w
z
v
2
1
2xz2


 z    2yz2
32 ux  0
222  xyyx22 yxy 
32 vy 
022  yxxy
yyx
0
222  xzzx 22 xyx
y

332 vuxy  0
0
222
22

 zxxz
yzzy
xzzx


22 xyyxyx
xy

 022  zyyz
yzy
Bibliografia ComplementarBibliografia Complementar
 Exemplos numéricos práticos:
 Shames, I. H., Introdução à Mecânica dos Sólidos, Prentice 
Hall 1983 (Cap 3 e 12)Hall, 1983 (Cap. 3 e 12)
 Propriedades dos Tensores:p
 Reddy, J.N., “Energy Principles and Variationl Methods in 
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(Capítulo 2 3)(Capítulo 2.3)
 Círculo de Mohr Círculo de Mohr
 Beer Johnston, Resistência dos Materiais
 Riley, Mecânica dos Materiais