02 Viga Conc&Distr

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Vigas isostáticas: introdução
Caso Geral:
� Considere a viga abaixo, com um apoio simples fixo e um apoio simples
móvel (viga biapoiada), submetida ao carregamento vertical indicado.
� Após obter as reações de apoio (VA e VB), os esforços internos na seção “S” 
podem ser determinados pelas expressões (ao lado):
Esforços internos em “S”:
Momento Fletor
Ms = Va.x - q.x.(x/2)
Cortante
Qs = Va – q.x
� Para o caso indicado: a derivada da função do 
momento fletor é igual à função do esforço 
cortante; e a derivada da função do esforço 
cortante é igual ao valor da carga aplicada.
Derivando em “x” (d/dx):
Momento Fletor
dMs/dx = Qs = Va - q.x
Cortante
dQs/dx = – q
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Vigas isostáticas: cargas concentradas
Viga biapoiada com carga concentrada:
� Considere a viga biapoiada abaixo, submetida a uma carga concentrada “P”:
DMF
Coef. Angular (DMf) = Tg α =
∆�
∆�
=
���⁄�
�
=
��
�
= VA
Coef. Angular (DMf) = Tg β =
∆�
∆�
=
���⁄�
�
=
��
�
= VB
α β
(Sussekind,1981)
DEC
Descontinuidade!
-P
S1
Reações de Apoio
DMf
DQ
DN
∑Fx= 0 .: HA = 0
∑MA= -P x a + VB x L => VB = +
��
�
∑MB= +P x b - VA x L => VA = +
��
�
MfA = MfB = 0 (Rotações livres)
MfS = VA x a =
��
�
x a =
���
�
Traciona Inferiores => Positivo.
QA = +VA = +
��
�
= QS,ant
QS,dep = +VA -P= -
��
�
= +VB = QB
∑Fx= 0 => Não há.
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Vigas isostáticas: cargas concentradas
Exercício 1:
Reações de Apoio
∑Fx= 0 .: HA = 0
∑MA= - 5 x 4 - 3 x 8 - 9 x 11 + VB x 13 .:
VB = 143/13 = 11 kN
∑Fy= 0 .: VA - 5 - 3 - 9 + VB => VA = 6 kN
HA
VA VB
A
B
C D E
MfA = MfB = 0
MfC = 6 x 4 = 24 kNm
MfD = 6 x 8 - 5 x 4 = 28 kNm
MfE,esq = 6 x 11 - 5 x 7 - 3 x 3 = 22 kNm ou
MfE,dir = 11 x 2 = 22 kNm (dir.)
DEC
QA = 6 kN = QC,ant
QC,dep = +6 - 5 = 1 kN = QD,ant
QD,dep = +6 -5 - 3 = -2 kN = QE,ant
QE,dep = +6 -5 - 3 - 9 = -11 kN = QB,ant
QB,dep = -11 + 11 = 0 (Hipotético)
Nomeie as seções 
principais e/ou 
seções de 
interesse!
Prova-se, com o cálculo do Q (antes/depois) em cada ponto, 
onde há cargas concentradas aplicadas, a descontinuidade
imposta pelas cargas no DQ! Contudo, para fins de 
dimensionamento, prevalece o maior valor do Q (+ e/ou -) 
no ponto, em especial nos extremos da viga, onde o 
“depois” têm caráter virtual, já que a viga “não continua”!
DMF
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Vigas isostáticas: cargas concentradas
Exercício 1:
DMF
DMF
MfA = MfB = 0
MfC = 6 x 4 = 24 kNm
MfD = 6 x 8 - 5 x 4 = 28 kNm
MfE = 6 x 11 - 5 x 7 - 3 x 3 = 22 kNm (esq.) ou
MfE = 11 x 2 = 22 kNm (dir.)
A B
C D E
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Vigas isostáticas: cargas concentradas
Exercício 1:
A B
C D
E
DEC
QA = 6 kN = QC,ant
QC,dep = + 6 - 5 = 1 kN = QD,ant
QD,dep = + 6 - 5 - 3 = -2 kN = QE,ant
QE,dep = + 6 - 5 - 3 - 9 = -11 kN = QB
DEC
-5 kN
Descontinuidades!
+6 kN
-3 kN
-9 kN
Implica em calcular os pontos imediatamente antes e após a
seção principal que estiver submetida à carga concentrada que
gera a descontinuidade num determinado D.E. Assim:
Descontinuidades
Carga Concentrada Ortogonal à Barra � Descont. � DQ
Carga Concentrada Paralela à Barra � Descont. � DN
Carga Concentrada de Momento � Descont. � DMf
-11 kN
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Vigas isostáticas: cargas concentradas
Exercício 2: DMF
MfA = MfB = 0
MfCant/dep = 20 x 4 = 80 kNm
OU
MfCant/dep = VA cosθ x 5 =
20cosθ x 5 = 80 kNm
DEC
QA = 20cosθ = 16 kN = QC,ant
QC,dep = +16 - 40cosθ = -16 kN
QB = -16 kN (esq.) ou
QB = -20cosθ = -16 kN (dir.)
A
B
HA
VA
VB
Reações de Apoio
∑Fx= 0 .: HA = 0
∑MA= - 40 x 4 + VB x 8 .: VB = 160/8 = 20 kN
∑Fy= 0 .: VA + VB - 40 = 0 => VA = 40 - 20 = 20 kN
C
3m
5m
cosθ = 8/10 = 0,8
senθ = 6/10 = 0,6
θ
DN
NA = -20senθ = -12 kN= NC,ant
NC,dep = -12 + 40senθ = +12 kN
NB = +12 kN (esq.) ou
NB = +20senθ = +12 kN (dir.)
V
A
se
n
θ
Eng., M.Sc., Prof., Felipe Ozório Monteiro da GamaVIGAS ISOSTÁTICAS: CARGAS CONCENTRADAS 12
Vigas isostáticas: cargas concentradas
Exercício 2:
DMF
DEC DN
DEC
QA = 20cosθ = 16 kN = QC,ant
QC,dep = +16 - 40cosθ = -16 kN
QB = -16 kN (esq.) ou
QB = -20cosθ = -16 kN (dir.)
DN
NA = -20senθ = -12 kN= NC,ant
NC,dep = -12 + 40senθ = +12 kN
NB = +12 kN (esq.) ou
NB = +20senθ = +12 kN (dir.)
DMF
MfA = MfB = 0
MfCesq/dir = 20 x 4 = 80 kNm
OU
MfCesq/dir = VA cosθ x 5 =
20cosθ x 5 = 80 kNm
A
B
C
Descontinuidades!
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∑Fx= 0 .: HA = 0
∑Fy= 0 .: VA = VB = +
	
�
(Carga centrada equiv. => metade p/ cada lado)
MfA = MfB = 0 (Rotações livres)
MfS = (
	
�
x
�
) - (q x
�
x
�
) =	
	
�
�
-
	
�
�
=
	
�
�
x
(
�
�
-
�
�
) = +
	
�
�
= Mmáx => Parábola 2º
QA = +VA = +
	
�
	
QB = +VB = -
	
�
∑Fx= 0 => Não há.
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Vigas isostáticas: cargas distribuídas
Viga biapoiada com carga uniformemente distribuída:
� Considere a viga biapoiada abaixo, submetida a uma carga distribuída “q”:
ql
S
DMF
-ql
(Sussekind,1981)
DEC
Sempre no ½ do carreg. distribuído, transversal ao eixo da barra, 
iniciado à partir da “corda” da parábola!
Reações de Apoio
DMf
DQ
DN
��
2�
�
4
�
4
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Vigas isostáticas: cargas distribuídas
Viga biapoiada com carga uniformemente distribuída:
Construção gráfica da parábola
1º) Plota-se o M1 = Mmáx = ql
2/8;
2º) Plota-se o M2 = 2 x Mmáx;
3º) Traça-se AM2 e BM2;
4º) Divide-se AM2 e BM2, em
partes iguais (simetricamente).
Maior o nº de partes, mais preciso.
5º) Ligam-se, alternadamente, os
pontos gerados, obtendo-se assim,
às tangentes externas à parábola a
ser construída.
(Sussekind,1981)
ql
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Vigas isostáticas: cargas distribuídas
Exercício 1:
Reações de Apoio
∑Fx= 0 .: HA = 0
∑MB= 0 .: -VA x 7 + (20 x 3) x 4,5 = 0.: VA = 270/7 = 38,6 kN
∑Fy= 0 .: VA - (20x3) + VB => VB = 60 - 38,6 = 21,4 kN
A
B
HB
VA VB
C D
R = 60kN = 20 x 3
1,5m 1,5m
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Vigas isostáticas: cargas distribuídas
Exercício 1:
A
B
38,6 21,4
C D
DMF
MfA = 0
MfC = 38,6 x 1 = 38,6 kNm
MfD = 38,6 x 4 - (20x3)x1,5 = 64,4 kNm
MfB = 0
R = 60kN = 20 x 3
1,5m 1,5m
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Vigas isostáticas: cargas distribuídas
Exercício 1:
DMF
A B
C D
DMF
MfA = 0
MfC = 38,6 x 1 = 38,6 kNm
MfD = 38,6 x 4 - (20x3)x1,5 = 64,4 kNm
MfB = 0
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Vigas isostáticas: cargas distribuídas
Exercício 1:
A
B
C D
DEC
QA = +38,6 kN
QC = +38,6 kN
QD = +38,6 - (20x3) = -21,4 kN
QB = -21,4 kN (esq.)
QB = - VB = -21,4 kN (dir.)
R = 60kN = 20 x 3
1,5m 1,5m
38,6 21,4
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Vigas isostáticas: cargas distribuídas
Exercício 1:
DEC
DEC
QA = +38,6 kN
QC = +38,6 kN
QD = +38,6 - (20x3) = -21,4 kN
QB = -21,4 kN (esq.)
QB = - VB = -21,4 kN (dir.)
A B
C D
Descontinuidades!
+38.6 kN
-60 kN
-21,4 kN
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Vigas isostáticas: cargas distribuídas
Exercício 1: Considerações adicionais no DMf: Momento ½ Vão.
DMF
MfA = 0
MfC = 38,6 kNm
MfD = 64,4 kNm
MfB = 0
DMF
Momentos: ½ Vão
1º) M1/2(Lq)=38,6x2,5-(20x1,5)x0,75=73,9kNm
(Cálculo normal domomento na seção de interesse)
2º) MParábola = ql
2/8 (1) = 20x32/8 = 22,5 kNm
3º) y = 73,9 - 22,5 = 51,4 kNm
y
(1)
Momento no meio do 
carregamento distribuído!
Mmáx é a informação relevante do 
vão para fins de dimensionamento!
A B
C D
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Vigas isostáticas: cargas distribuídas
DMF
MfA = 0
MfC = 38,6 kNm
MfD = 64,4 kNm
MfB = 0
DMF
Momento Máximo
Mf = Mmáx, onde Q=0 (Cortante nulo).
Mmáx = Mf, em L = xmáx, onde Q = 0 (DQ cruza eixo da
barra).
Mf(L = x): calcula-se normalmente como os demais!
Q = 0, em L = x, “x” encontra-se por:
(1) semelhança de triângulo das áreas dos DEC; ou
(2) igualando a função do cortante à zero.
Mmáx
xcarreg
Exercício 1: Considerações adicionais no DMf: Momento Máximo.
xmáx
A B
C D
x
0 1m 4m 7m
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Vigas isostáticas: cargas distribuídas
Exercício 1: Mmáx: Opção 1 p/ xmáx
DEC
T1
T2
Xmáx
T1 + T2 = T3 => Semelhantes: T3 e T1.
60 ----- 38,6
3 ----- x .: xcarreg = 38,6 . 3 / 60 = 1,93m ~ 1,9m
xmáx = 1 + 1,9 = 2,9m
Mmáx
Mfx=2,9 = 38,6 x 2,9 - (20x1,9)x1,9/2 = 75,8kNm
T3
38,6+21,4 = 60kN
3m
xcarreg
xmáx
S
Q=0
DEC
QA = +38,6 kN
QC = +38,6 kN
QD = +38,6 - (20x3) = -21,4 kN
QB = -21,4 kN (esq.)
QB = - VB = -21,4 kN (dir.)
A B
C D
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Vigas isostáticas: cargas distribuídas
DMF
Mmáx
xcarreg
Exercício 1: Mmáx: Opção 2 p/ xmáx
xmáx
Xmáx
Seção de interesse em: 1m ≤ x ≤ 4m.
Função: Mf(x) = VA . x - q . (x-1) . (x-1)/2 = 38,6x - 10(x-1)
2 = -10x2 + 58,6x -10
dMfx/dx = Q(x) = -20x + 58,6;
p/ Mmáx => Q = 0; Q = -20x + 58,6 = 0 .: xmáx = 2,93m
dQ/dx = -q = -20, verifica assertividade da função do Mfx.
xcarreg = 2,93 - 1 = 1,93m
Mmáx
Mfx=2,9 = 38,6 x 2,93 - (20x1,93)x1,93/2 = 75,85kNm
x
0 1m 4m 7m
A B
C D
Ou substituo 
xmáx em Mf(x)...
... e obtenho Mmáx.
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Vigas isostáticas: cargas distribuídas
Exercício 2:
Reações de Apoio
∑Fx= 0 .: HB = 0
∑MB= 0 .: -VA x 8 + (10 x 2) x 6 + (30 x 1) x 1,5 = 0.: VA = 165/8 = 20,6 kN
∑Fy= 0 .: VA - (10x2) - (30x1) + VB => VB = 50 - 20,6 = 29,4 kN
A
B
HB
VA VB
C D E F1m 1m
R = 20kN = 10 x 2 R = 30kN = 30 x 1
0,5m 0,5m
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Vigas isostáticas: cargas distribuídas
Exercício 2:
A
B
20,6 29,4
C D E F
DMF (“Entrando” pela esquerda)
MfA = MfB = 0
MfC = 20,6 x 1 = 20,6 kNm
MfD = 20,6 x 3 - (10 x 2) x 1 = 41,9 kNm
MfE = 20,6 x 6 - (10 x 2) x 4 = 43,6 kNm
MfF = 20,6x7 -(10x2)x5 -(30x1)x0,5 = 29,4 kNm
1m 1m
R = 20kN = 10 x 2 R = 30kN = 30 x 1
0,5m 0,5m
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Vigas isostáticas: cargas distribuídas
Exercício 2:
DMF (“Entrando” pela esquerda)
MfA = MfB = 0
MfC = 20,6 x 1 = 20,6 kNm
MfD = 20,6 x 3 - (10 x 2) x 1 = 41,9 kNm
MfE = 20,6 x 6 - (10 x 2) x 4 = 43,6 kNm
MfF = 20,6 x 7 - (10 x 2) x 5 - (30 x 1) x 0,5
= 29,4 kNm
DMF
A
B
C D E F1m 1m
R = 20kN = 10 x 2 R = 30kN = 30 x 1
0,5m 0,5m
Mmáx (direita)
Seção de interesse em: 1m ≤ x ≤ 2m.
Mfx = VB.x -q.(x-1).(x-1)/2 = 29,4x - 15(x-1)
2 =
29,4x -15(x2 - 2x + 1) = -15x2 +59,4x -15 = Mfx
dMfx/dx = Q = -30x +59,4;
p/ Mfmáx => Q = 0; Q = -30x +59,4 = 0 .: xmáx = 1,98m
Mfmáx = -15 . (1,98)
2 + 59,4 . (1,98) - 15 = 43,81 kNm
43,60
43,81
DQ indica a 
necessidade de 
cálculo do Mmáx.
Mmáx pode ser 
calculado 
determinando 
xmáx por 
semelhança de 
Δ!
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Vigas isostáticas: cargas distribuídas
Exercício 2:
A
B
20,6 29,4
C D E F
DEC “Entrando” pela esquerda
QA = +20,6 kN
QC = +20,6 kN
QD = +20,6 - (10 x 2) = +0,6 kN
QE = +0,6 kN
QF = +0,6 - (30x1) = -29,4 kN
QB = -29,4 kN
1m 1m
R = 20kN = 10 x 2 R = 30kN = 30 x 1
0,5m 0,5m
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Vigas isostáticas: cargas distribuídas
Exercício 2:
DEC
DEC “Entrando” pela esquerda
QA = +20,6 kN
QC = +20,6 kN
QD = +20,6 - (10 x 2) = +0,6 kN
QE = +0,6 kN
QF = +0,6 - (30x1) = -29,4 kN
QB = -29,4 kN
20,6
29,4
A BC D E F
1m 1m
R = 20kN = 10 x 2 R = 30kN = 30 x 1
0,5m 0,5m
xmáx
Mmáx pode ser 
calculado 
determinando 
xmáx por 
semelhança de 
Δ!
Bibliografia:
� SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural, vol 1, 6ª ed., Ed. Globo:
1981.
� SORIANO, H. L.; Estática das Estruturas, Ed. Ciência Moderna, 2010.