ATIVIDADE DE ESTUDO 2 RESP ‐ ENG PROD ‐ CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II ‐ 2017A2

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13/03/2017 Unicesumar ­ Ensino a Distância
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Protocolo de Finalização Nº 000002319444
O aluno LEANDRO BARBOSA com RA 1629788‐5 
finalizou  a  aĕvidade ATIVIDADE  DE  ESTUDO  2  ‐  ENG  PROD  ‐  CÁLCULO  DIFERENCIAL  E  INTEGRAL  II  ‐
2017A2 
em 13/03/17 19:54:30
ATIVIDADE DE ESTUDO 2 ‐ ENG PROD ‐ CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II ‐ 2017A2
Período: 06/03/2017 22:30 a 13/03/2017 23:59 (Horário de Brasília)
Data Final: 20/03/2017 23:59 valendo 50% da nota.
Status: ABERTO
Valor: 0.50
1º QUESTÃO
Em  funções  reais  de  duas  variáveis  reais,  algo  interessante  ocorre:  as  derivadas  de  segunda  ordem
cruzadas, ou seja,  fxy e fyx,  são  iguais, quando a  função é dita  ser exata. Em relação a  esse  conteúdo,
assinale a opção correta.
RESPOSTA: f (x,y) = xy é exata
2º QUESTÃO
Os  gradientes  são  importantes,  pois,  uma  vez  definido  o  gradiente,  tem­se  como  indicar  os  pontos  que
possivelmente serão máximos e mínimos da função, e isso é muito importante em aplicações reais, como
na melhoria da produtividade de uma fábrica. Uma vez conhecidas as condições do processo e também
as suas restrições, a aplicação de qual dos seguintes conceitos seria mais viável para determinação
dos pontos máximos e mínimos?
RESPOSTA: Mulĕplicadores de Lagrange.
3º QUESTÃO
Uma  das  aplicações  do  cálculo  na  trajetória  de  um  Engenheiro  é  a  identificação  de  pontos máximos  e
mínimos de funções, por meio dos conceitos de derivadas e pontos críticos. O Engenheiro Civil, por meio
desse conceito, pode, por exemplo, averiguar as forças máximas existentes em um determinado ponto de
uma obra. O Engenheiro de Produção pode identificar as condições que a função lucro pode gerar valores
máximos ou mínimos. Uma vez definidos os possíveis pontos de máximos e mínimos de uma função, é
possível verificar em qual das duas categorias esses pontos encaixam­se. Uma das formas de fazer isso é
utilizar a matriz Hessiana e, nesse método, é necessário conhecer:
RESPOSTA: As derivadas segundas, apenas.
4º QUESTÃO
Em uma empresa, ao considerar todos os fatores que podem afetar a produtividade e o lucro desta, tem­se
uma extensa lista de variáveis da qual o processo depende. Como pode­se pensar, quanto maior o número
de variáveis e maior a ordem de derivação das derivadas parciais em uma função de várias variáveis, maior
o  número  de  derivadas. Em  uma  função  de  três  variáveis,  quantas  derivadas  parciais  de  terceira
ordem existem?
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RESPOSTA: 27.
5º QUESTÃO
Gradientes são importantes, pois podem indicar os pontos que possivelmente serão máximos e mínimos da
função, e isso é muito importante em aplicações reais. O gradiente da função f (x,y,z) = x + y² + z³ é:
RESPOSTA: (1, 2y, 3z²)
Atenção! Questão anulada.
6º QUESTÃO
Uma importante forma de analisar as derivadas de uma função com várias variáveis corresponde à análise
vetorial destas, ou seja, a união do conceito de derivada com o conceito de vetor. Nesse sentido, surge a
ideia de gradiente, que corresponde ao vetor cujas coordenadas são as derivadas primeiras da  função. A
alternativa que representa, corretamente, o gradiente de f(x,y) = ln(x+y) é:
7º QUESTÃO
Uma das aplicações mais comuns e úteis das derivadas parciais em funções de várias variáveis é o cálculo
de  máximos  e  mínimos.  Esses  tipos  de  análise  são  comuns  em  casos  de  otimização  de  condições  de
operação  em  empresas  e  indústrias,  uma  vez  que  as  condições  de  operação  são  limitadas  e  devem  ser
elaborados planos para melhorar o rendimento. Uma das formas de se calcular máximos e mínimos, é feito
em  relação  às  derivadas  de  primeira  ordem,  por meio  da  determinação  dos  pontos  críticos. Assinale  a
alternativa que contém os pré­requisitos para a identificação de pontos críticos.
RESPOSTA: As derivadas primeiras são zero ou pelo menos uma derivada primeira não existe.
8º QUESTÃO
O  limite  é,  assim como derivadas e  integrais, um dos procedimentos mais  corriqueiros no  trabalho com
funções,  inclusive as de várias variáveis. Por meio dele, pode­se avaliar  funções como  rentabilidade em
casos  extremos,  a  fim  de  obter  os maiores  e menores  valores. Nos  cálculos  que  envolvem  apenas  uma
variável,  ele  é  mais  simples,  pois  aproxima­se  de  um  valor  por  valores  menores  e  maiores  (limite  a
esquerda e limite a direita); mas, nos cálculos que envolvem mais de uma variável, esse limite é calculado
por caminhos. Nesse contexto, assinale a alternativa que representa o resultado do domínio de uma
função de mais de uma variável.
RESPOSTA: Limite de f(x,y) = x²/y² quando (x,y) tende a (0,0) não existe. (Use os caminhos y = x e y = 2x)
9º QUESTÃO
13/03/2017 Unicesumar ­ Ensino a Distância
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Em  funções  reais  de  variáveis  reais,  por  exemplo,  em  uma  indústria  cuja  produção  depende  de  tempo,
matéria  prima  e  quantidade  de  equipamentos,  pode­se  calcular  as  derivadas  de  ordem  superior,  que
consistem em derivadas das derivadas primeiras. No Cálculo I, por se trabalhar com apenas uma variável,
as derivadas superiores são em apenas uma variável; quando se trata de mais variáveis, há a possibilidade
das derivadas serem em relação a variáveis cruzadas. A função f (x,y,z) = 2xz + 3xy² – xyz tem derivadas
segundas fxx, fxy e fxz:
RESPOSTA: 0, 6y ‐ z, 2 ‐ y.
10º QUESTÃO
A Continuidade é  a propriedade de  funções que garante que derivadas  e  integrais  existam e possam ser
calculadas  para  as mesmas.  Por  exemplo,  a  função  produtividade  como  função  do  tempo  é  descontínua
para números menores que zero, pois fisicamente não existem tempos negativos. Para que uma função seja
contínua, é necessário atender alguns quesitos. Assinale as premissas que são suficientes e necessárias
para que uma função seja contínua:
 
I ­ O valor da função f (x,y), calculado em x0 e y0 (dois valores reais), é um valor real.
II ­ O valor do limite da função f (x,y), quando (x,y) tende a (x0,y0), é um valor real.
III ­ O valor do limite da função f (x,y), quando (x,y) tende a (x0,y0), é um valor real e é  igual ao valor
calculado da função no mesmo ponto.
IV ­ (x,y) faz parte do domínio.
 
Estão corretas:
RESPOSTA: II e IV, apenas.