EP7 2017 1 questoes

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
EP7 – Me´todos Determin´ısticos I – 2017-1
Neste EP vamos trabalhar o conteu´do estudado na Aula 8 do Caderno Dida´tico.
Exerc´ıcio 1 Coloque em ordem crescente os nu´meros reais:
a)
3
4
,
3
5
, −5
3
, −4
3
b) −1, −2, −5, −9
4
b)
2
8
,
2
4
,
3
4
, −4
4
Exerc´ıcio 2 Encontre, na forma de intervalos, os conjuntos resultantes das unio˜es/intersec¸o˜es abaixo:
a) (−5, 10) ∩ [6, 12) b) [10, 30) ∩ (15, 23] c) [−1, 5) ∩ (5, 10] d) [−3, 2) ∪ [1,∞)
Exerc´ıcio 3 Verifique se sa˜o falsas ou verdadeiras as proposic¸o˜es abaixo. Justifique sua resposta.
a) (−3, 4) ⊂ [−3, 4] b) [10, 30) ⊂ (10,∞)
c) [−1, 5) ∪ (5, 10] = [−1, 10] d) (−∞, 5) ∪ [3,∞) = R
Equac¸o˜es e Inequac¸o˜es
Nas pro´ximas questo˜es, vamos trabalhar com inequac¸o˜es, mas antes, vamos nos certificar que a
diferenc¸a entre inequac¸o˜es e equac¸o˜es esta´ bem clara.
Na Matema´tica, a palavra “equac¸a˜o” significa “o ato de igualar” (voceˆ pode encontrar outros ter-
mos com prefixo “equi” que tambe´m se relacionam a igualdades: equila´tero significa lados iguais,
equidistantes significa a iguais distaˆncias, procure outros exemplos).
Exemplos de equac¸o˜es:
x+ 2 = 5
x+ x2 = 10
Uma inequac¸a˜o e´ uma comparac¸a˜o de ordem entre os valores de duas expresso˜es matema´ticas. As-
sim, onde numa equac¸a˜o temos o sinal de igual “=”, estabelecendo a igualdade entre duas expresso˜es
matema´ticas, numa inequac¸a˜o temos um dos sinais >, <, ≥ ou ≤, estabelecendo uma desigualdade
entre duas expresso˜es matema´ticas.
Exemplos de inequac¸o˜es:
3
√
x6 + x4 − x ≥ 0
Me´todos Determin´ısticos I EP7 2
x2 + 3x < 7
Basicamente, o que se necessita fazer para resolver uma inequac¸a˜o do primeiro grau, como as do
exerc´ıcio a seguir, e´ separar as inco´gnitas dos valores nume´ricos. Usualmente, “passamos” todas as
incognitas para o lado esquerdo da equac¸a˜o e todos os valores nume´ricos para o lado direito. Pore´m,
isto na˜o e´ feito de uma forma qualquer, muito pelo contra´rio, e´ feito de uma forma muito bem
regulamentada. Ou seja, utilizando, quando necessa´rio, as Propriedades 2, 3 ou 4 apresentadas na
Aula 8 do Caderno Dida´tico.
Exemplo: Encontre o conjunto soluc¸a˜o da inequac¸a˜o 2x− 4
3
< 4x− 7.
Soluc¸a˜o:
2x− 4
3
< 4x− 7 Prop.2⇐⇒ 2x− 4
3
+
4
3
< 4x− 7 + 4
3
⇐⇒ 2x < 4x− 19
3
Prop.2⇐⇒ 2x− 4x < 4x− 19
3
− 4x⇐⇒ −2x < −19
3
Prop.4⇐⇒ −2x.
(
−1
2
)
> −19
3
.
(
−1
2
)
⇐⇒ x > 19
6
.
Resposta do exemplo: x ∈
(
19
6
,∞
)
.
Este exemplo foi feito de forma bem detalhada para que voceˆ pudesse entender como as propriedades
foram utilizadas. De um modo geral, isto na˜o e´ necessa´rio. As propriedades podem ficar impl´ıcitas
quando de sua utilizac¸a˜o, mas devem ser respeitadas!. Abaixo, refazemos a soluc¸a˜o de uma forma
simplificada.
Exemplo: Encontre o conjunto soluc¸a˜o da inequac¸a˜o 2x− 4
3
< 4x− 7.
Soluc¸a˜o Simplificada:
2x− 4
3
< 4x− 7 ⇐⇒ 2x− 4x < −7 + 4
3
⇔ −2x < −19
3
⇐⇒ x > 19
6
.
Exerc´ıcio 4 Encontre o conjunto soluc¸a˜o de cada uma das inequac¸o˜es a seguir. Escreva-os na forma
de intervalos.
a) x+ 10 > 7 b) −x < 34 + 3x c) 7x+ 12 ≤ 0 d) 4x+ 3 ≥ 5x+ 2
e) −0, 2 x ≥ 0, 6 f) x+ 1
3
≥ 4 g) 2− x
5
≤ 4x+ 1
3
h) −1
3
x+
1
7
≥ −x+ 5
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Me´todos Determin´ısticos I EP7 3
Exerc´ıcio 5 Determine, na forma de intervalo ou de uma unia˜o finita de intervalos, os nu´meros reais
que tornam verdadeira a desigualdade abaixo.
2
(
x+
1
2
)2
− 3x <
(
x− 1
2
)
(2x+ 3).
Exerc´ıcio 6 Determine, na forma de intervalo ou de uma unia˜o finita de intervalos, os nu´meros reais
que tornam verdadeira a desigualdade abaixo.
2(x− 1)2 + (x− 2)
(
2x− 1
2
)
> (2x− 1)(2x+ 1)
Exerc´ıcio 7 Numa situac¸a˜o idealizada de um estabelecimento comercial sabe-se que para a venda
de x unidades de um produto, o lucro L deste estabelecimento e´ medido por
L = 0, 2 x+ 4
0, 5
− 5.
Para que este estabelecimento tenha um lucro maior ou igual a 125 reais, qual deve ser a quantidade
m´ınima vendida do produto?
Exerc´ıcio 8 Numa produc¸a˜o caseira de uma quantidade q de bombons sabe-se que o custo C e´
igual ao dobro da quantidade a ser produzida somada a um custo fixo de R$ 16,00. A receita R
obtida pela comercializac¸a˜o deste produto e´ igual a 5 vezes a quantidade produzida. Sabendo que
o lucro L e´ dado pela diferenc¸a entre a receita e o custo, escreva a inequac¸a˜o que representa uma
produc¸a˜o com lucro superior a R$ 50,00. A seguir, resolva essa inequac¸a˜o. Determine a quantidade
m´ınima de bombons que devera´ ser produzida neste contexto.
Exerc´ıcio 9 Racionalize, desenvolva e decida se a desigualdade A < B e´ verdadeira ou falsa, con-
siderando que
A =
3
−√3−√(−2)2 − 9√3 e B = −
√
18√
2
Exerc´ıcio 10 Racionalize a e b e ordene, do menor para o maior, os treˆs nu´meros reais
a =
4
1−√5 , b =
4
1 +
√
5
e c = 1.
Os exerc´ıcios abaixo trazem discusso˜es muito importantes!
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Me´todos Determin´ısticos I EP7 4
Exerc´ıcio 11 Se a > b, podemos dizer que a desigualdade a ·c > b ·c e´ verdadeira para todo c ∈ R?
Exerc´ıcio 12 Se a > b, podemos dizer que a desigualdade a2 > b2 e´ verdadeira?
Exerc´ıcio 13 Se a > b > 0, podemos dizer que a desigualdade a2 > b2 e´ verdadeira?
Exerc´ıcio 14 E´ sempre verdade que a2 > a?
Exerc´ıcio 15 Se a2 < b2, podemos afirmar que a < b?
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