teste3 B2 117FUNDMEC LUIZPAULO

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GABARITO DO 3o TESTE DE FUNDAMENTOS DE MECAˆNICA - TURMA B2 - 26/06/2017
1– Quatro part´ıculas, cada uma de massa m, esta˜o situadas inicialmente em repouso nos ve´rtices de um
quadrado de lado a, como mostra a figura.
1.1– Ache a expressa˜o para a energia potential gravitacional
desse sistema, em relac¸a˜o a`quela em que as part´ıculas
estariam infinitamente afastadas umas das outras, em
termos de m, a e G.
1.2– Se estas part´ıculas forem soltas do repouso e comec¸arem
a se aproximar do centro de massa do conjunto (o cen-
tro do quadrado), calcule a velocidade linear de cada
part´ıcula quando o quadrado formado por elas tiver o
lado igual a um terc¸o do valor inicial (a/3), em termos
de m, a e G.
a
a
a
a
m m
mm
a/3
a/3
a/3 a/3
m
mm
m
inicialmente paradas
v
v
v
v
co
m
 v
el
oc
id
ad
e 
v
ca
da
 u
m
a 
co
m
2
34
1
Soluc¸a˜o
A forc¸a gravitacional e´ conservativa possui uma energia potencial associada. Cada par de part´ıculas de
massas m1 e m2 separadas por uma distaˆncia r possui, em relac¸a˜o a` situac¸a˜o onde esta˜o infinitamente
afastadas a energia potencial gravitacional
Epot = −
Gm1m2
r
(1)
1.1– Enumerei artificialmente as part´ıculas nos ve´rtices do quadrado de 1 a 4, em sua posic¸a˜o inicial. Existem
6 pares de part´ıculas no quadrado, 4 separados pela distaˆncia a (os pares 12, 23, 34, e 41) e 2 separados da
distaˆncia
√
2a (os pares 13 e 24), e cada um possui uma energia potencial associada
Epot,tot,inicial=(Epot,12+Epot,23+Epot,34+Epot,41)+(Epot,13+Epot,24)=4
[
−Gmm
a
]
+2
[
−Gmm√
2a
]
Epot,tot,inicial = −
Gm2
a
(4 +
√
2) (2)
1.2– A forc¸a gravitacional sofrida pelas part´ıculas nesse caso e´ claramente varia´vel, pois depende da distaˆncia
entre elas, que comec¸a a diminuir assim que sa˜o soltas ficando sob a influeˆncia de sua atrac¸a˜o mu´tua. Usar
as Leis de Newton diretamente e´ um tanto trabalhoso. Pore´m, na˜o havendo outras forc¸as atuando, todas as
forc¸as atuando sa˜o conservativas e, portanto, a energia mecaˆnica, soma das energias cine´ticas e potenciais
do sistema, se conserva. Inicialmente as part´ıculas estavam paradas e com a energia potencial calculada na
Eq.(2)
Emec,inicial = Ecin,inicial + Epot,inicial = 0 + 0 + 0 + 0−
Gm2
a
(4 +
√
2) (3a)
Como a situac¸a˜o e´ sime´trica, as part´ıculas tera˜o todas a mesma velocidade, quando estiverem a` distaˆncia a
3
Emec,final = Ecin,final + Epot,final = 4
[
1
2
mv2
]
− Gm
2
a
3
(4 +
√
2) (3b)
Igualando as Eqs.(3a) e (3b), e resolvendo,
v =
√
Gm
a
(4 +
√
2) (4)
2- Um cometa esta´ em movimento em uma o´rbita el´ıptica muito alongada ao redor do Sol. Justificando
sua resposta, indique qual o ponto em sua o´rbita apresenta o menor valor
2.1– da velocidade linear (tangencial) do cometa,
2.2– da energia potencial do sistema cometa-Sol,
2.3– da energia cine´tica do cometa,
2.4– da energia mecaˆnica total do sistema cometa-Sol, e
2.5– do momento angular do cometa em relac¸a˜o ao Sol?
afelio
perielio
Sol
Soluc¸a˜o
2.1– Conforme argumentado na questa˜o anterior, sistemas de corpos sob a influeˆncia somente de forc¸as
gravitacionais sa˜o sistemas onde a energia mecaˆnica se conserva. A energia mecaˆnica e´ a soma das energias
cine´tica e potencial. A energia potencial gravitacional entre duas massas e´ dada pela Eq.(1) da questa˜o
anterior. Portanto, como a energia mecaˆnica se conserva, onde a energia potencial for ma´xima a energia
cine´tica (e portanto a velocidade) sera´ mı´nima. A energia potencial gravitacional e´ sempre negativa, mas
e´ menos negativa (mais pro´xima de zero) quando as massas estiverem mais afastadas. Dessa forma a
velocidade do cometa sera´ mı´nima onde a energia potencial e´ ma´xima, ou seja quando o cometa estiver
mais afastado do Sol, no afe´lio.
2.2– Conforme o racioc´ınio anterior, a energia potencial e´ mı´nima (mais negativa) quando o cometa
estiver mais pro´ximo do Sol, no perie´lio.
2.3– Ainda segundo o racioc´ınio anterior a energia cine´tica e´ mı´nima acontecera´ quando a velocidade
for mı´nima, no afe´lio.
2.4– Todo o racioc´ınio anterior se baseia no fato de a energia mecaˆnica ser constante ao longo de
toda a o´bita.
2.5– A forc¸a gravitacional que o cometa sofre do Sol sempre aponta para o pro´prio Sol. Com isso,
essa forc¸a na˜o consegue exercer qualquer torque em relac¸a˜o øSol. Pela segunda Lei de Newton, portanto,
a quantidade de movimento angular do cometa em relao ao Sol e´ constante ølongo de toda a o´rbita.
3– Uma esfera oca e uniforme de raio R
e massa M , momento de ine´rcia pelo
centro de massa ICM,esf =
2
3
MR2, esta´
inicialmente parada e recebe um golpe
como mostra a figura, saindo sem ro-
dar com a velocidade inicial de trans-
lac¸a˜o igual a V0. A esfera esta´ em
contato com uma superf´ıcie horizon-
tal com a qual possui um coeficiente
de atrito cine´tico µ. Eventualmente, a
µR
M
V0
ω = 00
P
NFa
esfera passa a rolar sem deslizar, apo´s um tempo t. Deˆ suas respostas em termos de M , R, µ, V0 e g,
3.1- Localize na figura quais as forc¸as (represente ponto de aplicac¸a˜o, direc¸a˜o e sentido) que atuam na
esfera, enquanto existir derrapagem entre ela e o solo.
3.2- Descreva com suas palavras como sera´ o movimento dessa esfera ao longo do tempo.
3.3- Escreva as equac¸o˜es para o movimento de translac¸a˜o do centro de massa (forc¸as) e de rotac¸a˜o em
torno do centro de massa (torques) da esfera e encontre suas acelerac¸o˜es linear e angular, em termos
de M , R, µ e g.
3.4- Eventualmente cessa a derragem e a esfera passa a rolar sobre a superf´ıcie. Calcule a velocidade
final de translac¸a˜o da esfera, v, em termos de V0, M , R, µ e g, no instante em que a esfera passa a
rolar sem derrapar sobre a superf´ıcie horizontal.
Soluc¸a˜o
3.1– Na figura foram trac¸adas em azul as forc¸as que atuam na esfera, enquanto ela desliza sobre a superf´ıcie
horizontal (peso, normal e forc¸a de atrito cine´tico).