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Calor Específico Molar, 
Transformações Adiabáticas 
e Expansão Livre
BC0303 Aula 7
2N1
Maurício D. Coutinho Neto mauricio.neto@ufabc.edu.br
Revisando
• Deduzimos que a 
temperatura determina a 
energia cinética média (via a 
velocidade média).
• O modelo de gás ideal não 
considera a interação entre 
os átomos de um gás.
Kmed =
3kT
2
vrms =
√
3RT
M
=
√
3kT
m
Kmed =
3
2
kT
p =
nMv2med
3V
Usando pV = nRT
Da teoria cinética
Calor Específico Molar 
• Modelo
• Gás ideal.
• Monoatomico (He, 
Ne, Ar).
• Eint é a soma das 
energias cinéticas 
de cada átomo.
Eint = (nNa)
3
2
kT
Eint =
3
2
nRT
Sabemos que: nC =
dQ
dT
Q = nCv∆Tou
∆Eint = Q−W = nCv∆T −W
Usando a 1a Lei
Guarde esta expressão para depois!
Calor Específico Molar: Cv
∆Eint = nCv∆T −W
Considere duas expansões isotérmicas:
PV = nRT
PV = cte
P ∝ 1
V
W = 0
∆Eint = nCv∆T
Calor Específico Molar: Cv 
∆Eint = nCv∆T ou Cv =
∆Eint
n∆T
Portanto a variação da energia interna de uma gás ideal 
depende SOMENTE da variação da temperatura (note que 
esta afirmação vem da 1a lei e não do nosso modelo).
Eint =
3
2
nRTRetomando (agora do modelo):
∆Eint =
3
2
nR∆TUsando:
Cv =
3
2
RSubstituindo acima temos:
Modelo
Calor Específico Molar: Cv
∆Eint = nCv∆T
É importante entender a diferença 
entre as expressões derivadas a 
partir do modelo e a partir da 1a lei.
A primeira é geral e se aplica a 
qualquer processo que produz 
variação de temperatura. O modelo 
possui limitações. Quais são ?
Gás monoatômico.
Somente energia cinética.
Em quais sistemas estas 
suposições são validas ?
Cv =
3
2
R = 12, 5J/molK
Eint =
3
2
nRT
Eint = nCvT
Energia Interna
∆Eint = nCv∆T
Portanto a variação da energia interna de uma gás ideal 
depende SOMENTE da variação da temperatura.
Calor Específico Molar: Cv
Molécula Exemplo Cv (J/mol.K)
Monoatômica Ideal 3/2R = 12,5
Real He 12,5
Ar 12,6
Diatômico Ideal 5/2R = 20,8
Real N2 20,7
O2 20,8
Poliatômica Ideal 3R = 24,9
Real NH4 29,0
CO2 29,7
Calor Específico Molar: Cp
• E se tivermos um processo a pressão constante ? (W≠0)
dQ
dT
= nCp
∆Eint = Q−W = nCp∆T − nR∆T
W = p∆V = nR∆T
Como a energia interna de uma gás ideal depende 
somente da temperatura:
∆Eint = nCv∆T
= nCp∆T − nR∆T
Calor Específico Molar: Cp
Cv = Cp −R∆Eint = nCv∆T= nCp∆T − nR∆T
Graus de Liberdade
• Correções ao modelo
• As moléculas são capazes de armazenar energia interna em 
outras formas além da energia translacional!
• Cv =3/2R é o valor de Cv para um sistema com três graus de 
liberdade! Translação em x, y e z. Quais são os outros graus 
de liberdade possíveis ?
Graus de Liberdade
Molécula Exemplo Cv (J/mol.K)
Monoatômica Ideal 3/2R = 12,5
Real He 12,5
Ar 12,6
Diatômico Ideal 5/2R = 20,8
Real N2 20,7
O2 20,8
Poliatômica Ideal 3R = 24,9
Real NH4 29,0
CO2 29,7
Graus de Liberdade
Translação 3 Translação 3
Rotação 2 
Translação 3
Rotação 3 
Todo tipo de molécula possui um certo número f de 
graus de liberdade, que são maneiras independentes de 
guardar energia. 1
2
RT Por grau de liberdade!
Graus de Liberdade
Cv =
f
2
R Eint =
f
2
nRTDe um modo geral: ou
número de graus de liberdade = f
Molécula Exemplo Cv (J/mol.K)
Monoatômica Ideal 3/2R = 12,5
Real He 12,5
Ar 12,6
Diatômico Ideal 5/2R = 20,8
Real N2 20,7
O2 20,8
Poliatômica Ideal 3R = 24,9
Real NH4 29,0
CO2 29,7
Graus de Liberdade
Vibrações
Poderíamos melhorar ainda mais a 
concordância com os valores de Cv se 
incluíssemos graus de liberdade internos!
Entretanto o mundo microscópico é regido 
pela teoria quântica!
Esta teoria diz que certos graus de liberdade 
só se tornam disponíveis quando a 
temperatura é elevada, e depende da massa 
dos elementos constituintes do sistema. 
Quanto menor a massa, mais elevada deve 
ser a temperatura para ativar tais graus de 
liberdade.
Graus de Liberdade
Expansão Adiabática
Queremos demonstrar que: γ =
Cp
Cv
pV γ = cte
Expansão Adiabática
piV
γ
i = pfV
γ
f