Aula2 Produtos

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Produto Escalar
Produto Escalar
Rafael Moreira de Souza
Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul
17 de março de 2017
Produto Escalar
De�nição
De�nição:
Dados dois vetores do plano−→u = (a, b), −→v = (x, y) ∈ R2 temos que:
−→u .−→v = (a, b).(x, y) = ax + by ∈ R,
é o produto escalar entre os vetores
−→u e −→v .
Vejamos a Atividade 1.
Produto Escalar
Propriedades
Dados três vetores
−→u , −→v e −→w e um escalar α ∈ R,
temos que:
1
−→u . −→u > 0 se −→u 6= −→0 ;
2
−→u . −→v = −→v . −→u ;
3
−→u . (−→v + −→w ) = −→u . −→v + −→u . −→w ;
4 α . (−→u . −→v ) = (α . −→u ) . −→v .
Provar.
Produto Escalar
Aplicações
Módulo de um vetor
Dado um vetor
−→u = (a, b) temos que produto
escalar de
−→u por −→u é dado por:
−→u .−→u = a2 + b2.
Segue que o módulo de
−→u pode ser calculado usando
o produto escalar da seguinte forma:
‖−→u ‖ =
√−→u .−→u .
Vejamos a Atividade 2.
Produto Escalar
Aplicações
Ângulos
Lembrando que o módulo é a grandeza escalar que
usamos para medir o tamanho de vetores (ou para
medir a distância entre pontos), podemos usar a lei
dos cossenos para calcular o cosseno do ângulo θ,
0 ≤ θ ≤ 180◦, entre dois vetores não nulos −→u e −→v .
Vejamos o Exemplo 1.
Produto Escalar
Aplicações
Ângulos
Seja θ, 0 ≤ θ ≤ 180◦, o ângulo entre os vetores não
nulos
−→u e −→v . Então:
• (‖−→u −−→v ‖)2︸ ︷︷ ︸
=(−→u−−→v ).(−→u−−→v )
= (‖−→u ‖)2+(‖−→v ‖)2−2‖−→u ‖‖−→v ‖cos(θ).
•(−→u −−→v ).(−→u −−→v ) = (‖−→u ‖)2 + (‖−→v ‖)2− 2−→u−→v .
⇒ cos(θ) =
−→u . −→v
‖−→u ‖ . ‖−→v ‖ .
Vejamos a Atividade 3.
Produto Escalar
Aplicações
Ângulos
Naturalmente:
dois vetores
−→u e −→v não nulos são
perpendiculares se o ângulo entre eles for de 90◦.
Denotaremos isso por:
−→u ⊥ −→v ;
dois vetores
−→u e −→v não nulos são paralelos se o
ângulo entre eles for de 0◦ ou de 180◦.
Denotaremos isso por:
−→u ‖ −→v .
Produto Escalar
Aplicações
Projeções
Dados dois vetores não nulos
−→u e −→v , ocorrerão
situações nas quais teremos que encontrar um vetor−→w tal que :
−→w seja paralelo ao vetor −→v ;
−→u −−→w seja perpendicular ao vetor −→v .
Quando for o caso teremos que
−→w é a projeção do
vetor
−→u sobre −→v .
Vejamos o Exemplo 2.
Produto Escalar
Aplicações
Projeções
Sendo
−→w paralelo a −→v temos que:
−→w = α−→v , α ∈ R;
Sendo
−→u −−→w perpendicular ao vetor −→v temos
que:
(−→u −−→w ).−→v = 0.
⇒
0 = (−→u − α−→v ).−→v
= −→u .−→v − α−→v .−→v
⇒ α =
−→u .−→v
‖−→v ‖2 .
Produto Escalar
Aplicações
Projeções
O vetor
−→w será chamado de projeção do vetor −→u
sobre o
−→v e será dado por:
−→w =
−→u .−→v
‖−→v ‖2
−→v .
Vejamos a Atividade 4.
Produto Escalar
Aplicações
Áreas
Por �m, vejamos a relação entre o produto escalar e
a área de paralelogramos.
Dados dois vetores não nulos
−→u e −→v , seja A a área
do paralelogramo gerado por eles e θ, 0 ≤ θ ≤ 180◦,
o ângulo entre eles.
Vejamos o Exemplo 3.
Produto Escalar
Aplicações
Áreas
Temos que ‖−→v ‖ é a medida da base e ‖−→u ‖.sen(θ) é
a altura desse paralelogramo. Assim:
A = ‖−→v ‖‖−→u ‖.sen(θ).
Vejamos a Atividade 5.