Relatório 4 - Projeto de Controlador PID para Turbinas Eólicas

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E APLICADAS 
 
 
 
Quarta Prática de Controle I: 
Projeto de Controlador PID para Turbinas Eólicas 
 
 
 
 
Integrantes: Matrícula: 
 Douglas do Amaral Monteiro 11.2.8041 
 José Luiz Oliveira Rocha 13.1.8340 
Professor: 
 Márcio Braga 
 
João Monlevade, 19 de Março de 2017 
1. INTRODUÇÃO 
A preocupação com a geração de energia limpa tem se tornado uma crescente 
demanda da sociedade moderna visto a grande conscientização ocorrida com relação ao 
meio ambiente nas últimas décadas. Umas das formas mais conhecidas, entretanto, nem 
tão popular é a geração de energia eólica. Isto se deve a questões muito mais físicas e 
geográficas do que à aplicação tecnológica propriamente dita. 
No século passado, os primeiros geradores de energia eólica trabalhavam sob 
velocidade constante, não importando a velocidade do vento, desperdiçando assim grande 
parte da energia disponível. Com o avanço dos controladores foi possível gerar energia 
de acordo com a velocidade do vento e assim aproveitar de forma satisfatória os recursos 
disponíveis. 
Neste trabalho será explorado a aplicação dos controladores PID no monitoramento 
da velocidade das hélices eólicas das turbinas geradoras. Uma vez que a capacidade de 
geração de energia não está somente associada à velocidade do vento, mas sim também 
com os equipamentos disponíveis que receber tão energia, há a necessidade de se garantir 
que a velocidade do vendo não atinja valores extremos de forma tal que ponha o gerador 
em sobrecarga. Ao atingir a velocidade nominal de geração, quer-se que essa velocidade 
seja mantida e, caso seja superior, seja a turbina seja desligada. 
 
2. DESENVOLVIMENTO 
Tem-se, neste roteiro, a tarefa de controlar turbinas eólicas de geração de energia 
limpa construídas em uma configuração de eixo vertical ou em uma configuração de eixo 
horizontal. 
Variável a Ser Controlada 
A velocidade do rotor, denotada por 𝜔(𝑠). 
Especificações de Projeto 
EP1 - Margem de ganho M:G: 6 dB. 
EP2 - Margem de fase 30. 
EP3 - Tempo de subida Tr1 < 4 segundos. 
EP4 - Tempo de pico TP < 10 segundos. 
 
Um modelo simplificado da turbina, juntamente com o controlador PID introduzido 
na malha, é apresentado a seguir: 
 
A função de transferência de malha aberta será: 
𝐿(𝑠) = 
𝑠2 + (
𝐾𝑃
𝐾𝐷) 𝑠 + (
𝐾𝐼
𝐾𝐷)
𝑠(𝜏𝑠 + 1)(𝑠2 + 2𝝇𝑔𝑊𝑛𝑔𝑠 + 𝑤𝑛𝑔2 )
 
 
a. Justifique porque a escolha do controlador PID garante a exigência de erro 
nulo para uma entrada do tipo degrau. 
R- Um vez que o tipo da malha de processo é do tipo zero ao se adicionar um 
controlador de Tipo 1 a malha final será do tipo 1, o que garantirá um erro nulo em 
regime, dado que o tipo da entrada é o mesmo da malha do sistema. 
 
b. Utilizando EP2, determine o fator de amortecimento desejado para as raízes 
dominantes. 
R- Sabemos de EP2 que Margem de fase 30º≤M.F.≤60º, então 
MF= 30º 
𝝇 =
30
100
= 0,30 
 
M.F= 60º 
𝝇 =
60
100
= 0,60 
Figura 1 - Diagrama de Blocos 
 
c. Empregando EP3, termine a frequência natural das raízes dominantes. Para 
isso, utilize a fórmula de projeto. 
R - 
𝑇𝑟1 =
2,16𝛿 + 0.6
𝜔𝑛
 
𝜔𝑛 =
2,16𝛿 + 0.6
𝑇𝑟1
 
Então para 𝛿 = 0,3 
 
𝜔𝑛 =
2,16(0.3) + 0.6
4
= 0,312 
 
Então para 𝛿 = 0,6 
 
𝜔𝑛 =
2,16(0.6) + 0.6
4
= 0.474 
 
Então a frequência natural será: 
 
0.312 ≤ 𝑤𝑛 ≤ 0.474 
 
d. Escolha 𝜹 e 𝝎𝒏, de modo que EP4 seja atendido. 
R- 
𝑇𝑝 =
𝜋
𝝎𝒏√1 − 𝝇2
 
 
Para 𝜹 = 0.3 e 𝝎𝒏 = 0.312, tem-se 
 
𝑇𝑝 =
𝜋
0.312√1 − 0.32
= 10,55 𝑠 
 
Figura 2 - Região de Alocação do Polos Dominantes 
Já não é possível usar esses valores. 
 
Para 𝜹 = 𝟎. 𝟑𝟓 e 𝝎𝒏 = 𝟎. 𝟒, temos: 
 
𝑇𝑝 =
𝜋
0.4√1 − 0.352
= 𝟖, 𝟑𝟖 𝒔 
 
Está dentro da especificação EP4. 
 
e. Posicione os zeros do controlador PID no semiplano esquerdo na região de 
desempenho definida por 𝜹 e 𝝎𝒏. Faça isso, especificando as razões KP/KD e 
KI/KD. 
R- Tem-se que os valores de 𝛿 e 𝝎𝒏 que atendem as especificações do projeto 
e imaginamos que a região das raízes, fica formada a esquerda de uma assíntota que 
forma uma ângulo 𝜃 = cos−1 𝛿 com o eixo real e a esquerda de 𝛿𝝎𝒏., como pode 
ser visto na imagem abaixo. Neste caso: 
𝜃 = cos−1 0,35 = 69,5126º 
𝛿𝝎𝒏 = 0,35 𝑥 0,4 = 0,14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As raízes têm o seguinte formato: 
 
𝜏1, 𝜏2 = − 𝝇𝑤𝑛 ± 𝑗𝑤𝑛 √1 − 𝝇2 
 
Desta maneira as raízes serão: 
 
𝜏1, 𝜏2 = − 0,35.0,4 ± 𝑗0,4√1 − 0,352 
𝜏1, 𝜏2 = −0.14 ± 𝑗0,3747 
 
Vamos multiplicar esses valores por 10 para o ganho não ser muito grande. E 
a minha raiz ainda continua na região desejada. Se analisarmos o controlador PID, 
vemos que ele tem zeros do tipo: 
 
𝑠2 + (
𝐾𝑃
𝐾𝐷
) 𝑠 + (
𝐾𝐼
𝐾𝐷
) 
 
Então, considerando as raízes temos que: 
 
(𝑠 + 𝜏1)(𝑠 + 𝜏2) = 𝑠
2 + 𝑠(𝜏1 + 𝜏2) + 𝜏1𝜏2 
 
Então, temos que: 
 
(
𝐾𝑃
𝐾𝐷
) = (𝜏1 + 𝜏2) = (− 1,4 + 𝑗0,3747) + (− 1,4 − 𝑗3.747) 
(
𝐾𝐼
𝐾𝐷
) = 𝜏1𝜏2 = (− 1,4 + 𝑗0,3747 )(− 1,4 − 𝑗3.747) 
(
𝐾𝑃
𝐾𝐷
) = 2,8 
(
𝐾𝐼
𝐾𝐷
) = 16 
 
 
Figura 3 - Diagrama de Bode com Margens de Fase e de Ganho. 
f. Plote o diagrama de Bode do sistema compensado, utilizando os valores 
obtidos no item (e) e supondo que o ganho KD, que aparece isoladamente em 
(3), seja 1. Para isso utilize o comando margin(num,den) ou 
bode(num,den). 
R – Dado que 𝐾 = −7000, 𝜏 = 5 𝑠 , 𝜍𝑔 = 0.005 e 𝜔𝑁𝑔 = 20 rad/s 
tem-se a função de transferência 𝐻(𝑠) e os gráficos abaixo. 
 
𝐿(𝑠) = 𝐾𝜔𝑁𝑔
2𝐾𝐷
𝑠2 + (𝐾
𝑃
/𝐾𝐷)𝑠 + (𝐾𝐼/𝐾𝐷)
𝑠(𝜏𝑠 + 1)(𝑠2 + 2𝜍
𝑔
𝜔𝑁𝑔𝑠 + 𝜔𝑁𝑔
2 )
 
 
𝐿(𝑠) = (−7000)(400)(1)
𝑠2 + (2.8)𝑠 + (16)
𝑠(5𝑠 + 1)(𝑠2 + 2(0.005)(20)𝑠 + 202 )
 
 
𝐿(𝑠) = −280000
𝑠2 + 2.8𝑠 + 16
𝑠(5𝑠 + 1)(𝑠2 + 0.2𝑠 + 400 )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4 – Intervalo para Margem de Fase e Margem de Ganho requeridos. 
g. Em seguida, encontre o ganho KD de modo que as especificações EP1 e EP2 
sejam atendidas o mais próximo possível. 
 
 R - Para encontrar o valor KD que fara com que o sistema esteja dentro 
das especificações EP1 e EP2 deve-se “descer” o gráfico do ganho mostrado no 
Bode plot. Para isso é necessário diminuir o ganho da função de transferência 𝐿(𝑠) 
para que ela corte o eixo da frequência em um ponto anterior ao obtido. Isso é feito 
subtraindo-se M dB do diagrama de magnitude ou dividindo-se a função de 
transferência por 10𝑀/20 𝑑𝐵. Qual a frequência que tem o ganho de margem 
desejado? 
Analisando o gráfico magnitude juntamente com o de fase, a região que 
satisfará o ganho de fase será aquela compreendida entre 0.122 rad/s e 3.04 rad/s, 
uma vez que é nesta região que se tem a fase desejada do sistema. Basta somente 
adicionar um ganho negativo para que o gráfico de fase se desloque em 180° para 
baixo e o ganho de fase seja o mesmo da fase visto no gráfico. 
Portanto, poderia ser suficiente subtrair do gráfico de magnitude um ganho 
entre 64.5 e 118 𝑑𝐵 para se obter o ganho de fase dentro do estipulado, entretanto, 
deve-se tomar o cuidado para que, ao subtrair o ganho, todo o gráfico de magnitude 
se encontre totalmente abaixo do eixo de frequências, o que não ocorre para os casso 
próximos a 64.5 𝑑𝐵. Logo, analisando-se novamente a figura, o ganho a ser 
subtraídodeve estar compreendido entre 118 e 103 𝑑𝐵. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5 - Margem de Fase e de Ganho para K = 1.258 𝝁. 
Figura 6 - Margem de Fase e de Ganho para K = 3.16 𝝁 
 
Em outras palavras a magnitude ganho da função de transferência deve estar 
compreendida entre 1.01 𝑥 10−6 e 7.07 𝑥 10−6, com este último valor excedendo 
em 0.1° a margem de fase. Seguem abaixo algumas figuras para ganho nessa faixa 
de valores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h. Com o sistema operando em malha fechada, aplique uma entrada do tipo 
degrau em (d). Apresente a figura gerada e verifique se as especificações de 
projeto foram atendidas. 
Caso contrário, readeque os parâmetros do controlador, de modo que as 
especificações sejam satisfeitas. 
 
Aplicando a entrada ao degrau para a função abaixo o resultado é o mostrado 
na Figura 8. 
KD = 3.16𝑥10−6 
 
𝐿(𝑠) = (−7000)(400)(3.16𝑥10−6)
𝑠2 + (5)𝑠 + (20)
𝑠(5𝑠 + 1)(𝑠2 + 2(0.005)(20)𝑠 + 202 )
 
 
𝐿(𝑠) = 8.85
𝑠2 + (5)𝑠 + (20)
𝑠(5𝑠 + 1)(𝑠2 + 2(0.005)(20)𝑠 + 202 )
 
 
 
 
Figura 7 - Margem de Fase e de Ganho para K = 7.07 𝝁. 
 
Figura 8 – Resposta ao Degrau para K = 3.16 𝝁. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RiseTime: 5.5514 Overshoot: 25.5012 
SettlingTime: 31.5033 Undershoot: 0 
SettlingMin: 0.9344 Peak: 1.2550 
SettlingMax: 1.2550 PeakTime: 12.6310 
 
Para esse ganho, o tempo de pico fica ligeiramente fora das especificações de 
projeto, portanto, outro ganho deve ser tentado. Como o ganho é inversamente 
proporcional a esses dois parâmetros, tenta-se um ganho menor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9 – Resposta ao Degrau para K = 7.07 𝝁. 
 
Fazendo-se 𝐾 = 7.07 𝜇, tem-se o resultado mostrado na Figura 9. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RiseTime: 3.3623 Overshoot: 38.7851 
SettlingTime: 34.4426 Undershoot: 0 
SettlingMin: 0.8458 Peak: 1.3879 
SettlingMax: 1.3879 PeakTime: 8.5759 
 
Portanto, para este ganho, as condições EP3 e EP4 foram satisfeitas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i. Com o sistema operando em malha fechada, compute os valores finais de 𝝎𝒏 e 
𝝇. Eles são diferentes dos valores computados no item (d)? Se sim, justifique o 
motivo da discrepância. 
 
R - Dado que o tempo de pico é definido pela equação abaixo, pode-se 
calcular 𝛿 através dos novos polos da equação. Portanto, 
 
𝑇𝑝 =
𝜋
𝝎𝒏√1 − 𝝇2
 
Utilizando o comando [Wn,zeta,P] = damp(sys, chega-se aos seguintes 
valores 
 
 
Wn = zeta = P = 
 
0.3963 0.2845 -0.1128 + 0.3800i 
0.3963 0.2845 -0.1128 - 0.3800i 
20.0950 0.0043 -0.0872 +20.0948i 
20.0950 0.0043 -0.0872 -20.0948i 
 
Com pode ser observado, houve uma pequena alteração no fator de 
amortecimento previamente especificado e na frequência natural de operação do 
sistema. Isso se deve à introdução do controlador no sistema, o que altera 
ligeiramente a ordem e, portanto, as características do mesmo. 
 
 
j. Novamente, com o sistema operando em malha fechada, aplique uma entrada 
do tipo degrau na entrada de perturbação TP (s). Apresente a figura obtida e 
discuta o resultado. 
 
A figura obtida está representada abaixo. Com uma entrada em perturbação 
tipo degrau unitário o sistema apresentou um tempo de acomodação igual a 47 
segundos para o sinal. No mundo real, isso poderia demonstrar de forma 
simplificada a resposta do sistema para um distúrbio do tipo impulsivo, que possui 
a presença de um degrau. Como as especificações foram todas atendidas, o tempo 
Figura 10 - Resposta à Perturbação como Degrau. 
de acomodação do sistema não é motivo para alarde, apesar de ele poder representar 
algum tipo de perda (não preocupante) na velocidade do motor da turbina. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. CONCLUSÃO 
 Nesta prática é possível observar o quanto os controlares PID são úteis e o porquê 
de sua enorme popularidade nas aplicações de controle. Devido aos seus três parâmetros 
eles podem oferecer diferentes formas de interferir no controle do processo, como por 
exemplo no erro do sistema. Introduzindo um controlador PID em um sistema do Tipo 0 
é possível obter erro nulo para entradas do tipo degrau, que no mundo real podem modelar 
distúrbios impulsivos. 
 Ficou evidente também que o conhecimento das técnicas é fundamental para o 
projetista, mas o poder de análise e decisão é inquestionavelmente importante, uma vez 
que as especificações geralmente interferem umas nas outras e isso refletirá no sistema a 
ser construído, o que obviamente, traduzirá sua eficiência. 
 
 
4. REFERÊNCIAS 
 
[1] Nise, N. S. (1984). Engenharia de Sistemas de Controle, 5ª Edição, 
LTC. 
[2] Dorf, R. C. e Bishop, R. H. (2009). Sistemas de Controle Modernos, 
11ª edição, LTC. 
[3] Ogata, K. (2010). Engenharia de Controle Moderno, 5ª Edição, 
Pearson Prentice Hall. 
[4] Seborg, D. E., Edgar, T. F. e Mellichamp, D. A. (1989). Process 
Dynamics and Control, John Wiley & Sons.