Prática1 Fundamentos Análise temporais e frequenciais

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FUNDAMENTOS DE COMUNICAC¸O˜ES
CEA 582
PRA´TICA 1
Andre´ Lage Almeida Dias - 13.1.8282
andrelage@hotmail.com
Douglas do Amaral Monteiro - 11.2.8041
douglas.ammaral@yahoo.com.br
Ju´nia Aparecida de Souza - 12.2.8412
souzaaj@hotmail.com
Marcelo Oliveira Godinho - 11.2.8013
marcelo1.tur@gmail.com
Vanessa Cec´ılia da Silva - 11.1.8369
vanis mg@yahoo.com.br
26 de Marc¸o de 2017
Descric¸a˜o
Este documento apresenta um breve relato´rio das atividades exercidas em laborato´rio, na disciplina de
Fundamentos de Comunicac¸o˜es, em que os principais objetivos foram:
1. Entender basicamente o funcionamento da ferramentas de ana´lise temporais e frequenciais.
2. Compreender as aplicac¸o˜es dessas ferramentas nas a´reas tecnolo´gicas afins em que esta˜o inseridas.
3. Aplicar conceitos teo´ricos na pra´tica.
1
1 Parte I - Ana´lise de Sinais
Montado o circuito da figura 1, o sinal S0(t) foi obtido atrave´s do oscilosco´pio para S1(t) com
amplitude de 2V e frequeˆncia de 4 kHz e S2(t) com amplitude de 4V e frequeˆncia de 10kHz. O sinal
obtido pode ser visto na figura 2.
Figura 1 – Circuito para pra´tica 1.
Foi observado um valor ma´ximo de 3,64V e um valor pico a pico 7,8V.
Figura 2 – Sinal de sa´ıda para o circuito da figura 1.
Em seguida, foi utilizada a func¸a˜o FFT para obter a aproximac¸a˜o do sinal S0(ω). O espectro obtido pode
ser visto na figura 3.
Utilizando os cursores, foram anotados as amplitudes e frequeˆncias das duas raias observadas no osci-
losco´pio:
Raia 1 - 28 mV em 4 kHz
Raia 2 - 2,24V em 10 kHz
2
Figura 3 – Espectro de frequeˆncia para a sa´ıda do circuito 1 usando a
func¸a˜o FFT.
Para o procedimento seguinte, o circuito foi modificado retirando-se a a entrada S2(t) e retirando-se o
resistor R2 visto na figura 1. S1(t) foi alterado para enviar uma onda quadra´tica sime´trica de 10V de
amplitude e frequeˆncia de 2 kHz. O novo sinal S0(t) foi enta˜o medido. A figura 4 mostra o sinal capturado
no oscilosco´pio. Foi poss´ıvel observar o valor de amplitude ma´xima de 10,2V e um valor pico a pico de
20,7V no sinal de sa´ıda.
Figura 4 – Sinal de sa´ıda para o circuito modificado e entrada s1(t)
como onda quadrada.
Novamente utilizando a func¸a˜o FFT do oscilosco´pio, foi obtida a aproximac¸a˜o de S0(ω). O
resultado capturado no oscilosco´pio pode ser visto na figura 5.
Utilizando os cursores, foram anotados as amplitudes e frequeˆncias das cinco primeiras raias observadas
no oscilosco´pio:
Raia 1 - 8,8V em 2 kHz
Raia 2 - 3,0V em 6 kHz
Raia 3 - 1,7V em 10 kHz
Raia 4 - 1,2V em 14 kHz
Raia 5 - 1,0V em 18 kHz
Seguindo o roteiro pra´tico, o gerador do sinal S1(t) foi modificado para enviar uma onda triangular
3
Figura 5 – Aproximac¸a˜o do espectro de frequeˆncia para a sa´ıda do cir-
cuito modificado usando a func¸a˜o FFT.
sime´trica de 6V de amplitude e 5 KHz de frequeˆncia. O sinal S0(t) foi analisado seguindo os mesmos
passos dos procedimentos anteriores, como visto nas figuras 6 e 7.
Figura 6 – Sa´ıda para o circuito 1 modificado e entrada de onda trian-
gular.
Novamente utilizando os cursores, foram anotados as amplitudes e frequeˆncias das cinco primeiras raias
observadas no oscilosco´pio:
4
Figura 7 – Aproximac¸a˜o do espectro de frequeˆncia para a sa´ıda do cir-
cuito modificado usando a func¸a˜o FFT.
Raia 1 - 3,36 V em 5 kHz
Raia 2 - 380 mV em 15 kHz
Raia 3 - 140 mV em 25 kHz
Raia 4 - 80 mV em 35 kHz
Raia 5 - 40 mV em 45 kHz
5
1.1 QUESTO˜ES
1. Obtenha a expressa˜o matema´tica para o sinal So obtido no Item 2 da Parte Pra´tica.
Dado que se tem um seno de amplitude 2 com uma frequeˆncia de 4 kHz e um sinal senoidal
de amplitude 4 com uma frequeˆncia de 10 kHz, pode-se aplicar a teoria fasorial para resoluc¸a˜o desse
circuito. O diagrama equivalente e´ mostrado na imagem abaixo.
Figura 8 – Sinal de sa´ıda para o circuito da figura 1.
Para ω1 = 4k levando-se em considerac¸a˜o a fonte 1 apenas, tem-se o circuito da Figura 9.
Logo,
So1(
2
1k
+
1
10k
) =
2
1k
So1(
2
1
+
1
10
) = 2
So1 =
2
(2 + 110 )
So1 =
20
11
V
Agora, para a outra fonte tem-se
So1(
2
1k
+
1
10k
) =
4
1k
So1(
2
1
+
1
10
) = 4
So1 =
4
(2 + 110 )
So2 =
40
11
V
6
Portanto,
So = So1 + So2 =
20
11
cos(2pi4k t) +
40
11
cos(2pi10k t)
2. Usando o Matlab ou outro software matema´tico/cientifico qualquer obtenha o gra´fico
da func¸a˜o da Questa˜o 1.
Dada a expressa˜o matema´tica, o gra´fico se encontra representado na Figura 9.
So =
20
11
cos(2pi4k t) +
40
11
cos(2pi10k t)
Figura 9 – Sinal de sa´ıda para o circuito da figura 1.
3. Compare o gra´fico obtido com o medido no Item 3 da Parte Pra´tica.
Como houve oscilac¸a˜o dos valores e da forma de onda mostrada pelo oscilosco´pio durante a pra´tica,
na˜o foi poss´ıvel analisar com precisa˜o se a forma de onda encontrada analiticamente e´ igual a
capturada. No entanto, sendo que So tem duas componentes de duas frequeˆncias diferentes, pode
ser que o equipamento tenta tentado mostrar resultados como sendo de mesma frequeˆncia, causando
enta˜o a oscilac¸a˜o nos valores.
7
4. Usando a decomposic¸a˜o de sinais por meio da se´rie de Fourier, obtenha os coeficientes
da se´rie do sinal obtido no Item 2 da Parte Pra´tica e normalize esses coeficientes com
relac¸a˜o a` maior amplitude.
Usando a relac¸a˜o de Euler,
So = So1 + So2 =
20
11
cos(2pi4k t) +
40
11
cos(2pi10k t)
So =
20
22
(ej8000pit + e−j8000pit) +
40
22
(ej20000pit + e−j20000pit)
So =
10
11
ej8000pit +
10
11
e−j8000pit
20
11
ej20000pit +
20
11
e−j20000pit
Se usarmos ω0 = 4000pi, enta˜o
So =
10
11
ej2ω0t +
10
11
e−j2ω0t
20
11
ej5ω0t +
20
11
e−j5ω0t
Logo, os coeficientes da se´rie de Fourier sa˜o
a0 = 0;
a1 = a−1 = 10/11;
a5 = a−5 = 20/11.
Normalizando os valores dos coeficientes pela maior amplitude (4V), tem-se
a0 = 0;
a1 = a−1 = 0, 23;
a5 = a−5 = 0, 45.
Como utilizou-se nesse caso a func¸a˜o cosseno, o coeficiente a0 e´ igual a zero e existe simetria dos
demais coeficientes na˜o-nulos.
8
5. Normalize os valores medidos das raias no Item 4 da Parte Pra´tica, com relac¸a˜o a
maior amplitude.
Figura 10 – Espectro do sinal de sa´ıda So da Figura 9.
Figura 11 – Espectro do sinal de sa´ıda So da Figura 9.
9
6. Para os valores obtidos nos itens 4 e 5, compare os valores medidos com os calculados,
usando o erro percentual.
�1(Erro Raia 1) =
So1−calculado − So1−medido
So1−calculado
=
1.8− 0.28
1.8
= 0.84 ⇒ ou 84%
�2 =
3.6− 2.24
3.6
= 0.3105 ⇒ ou 31%
7. Repita as questo˜es 1 a 6 para a onda quadrada.
Considerando agora que S1 e´ uma onda quadrada de 10V de amplitude e frequeˆncia de 2 kHz e
perio´dica, pode-se definir S0 como
S0 =
S1 × 10k
11k
em que
S1 =
 10 : 0 < t < pi−10 : pi < t < 2pi
Definindo-se a onda no intervalo de meio per´ıodo T no entanto e dividindo-se a amplitude por 10,
a fim de facilitar as contas,
S1 =

−1 : −T2 < t < −T4
1 : −T4 < t <
T
4
−1 T4 < t < T2
Dessa forma, se ω0 e´ 2000pi, tem se que
a0 = 0;
ak =
2
T
∫ T
2
−T
2
S1(t)cos(kω0t)dt.
Quebrando o intervalo da integral em treˆs partes, como na definic¸a˜o de S1 faz-se
10
ak =
2
T
∫ −T
4
−T
2
(−1)cos(kω0t)dt+ 2
T
∫ T
4
−T
4
(1)cos(kω0t)dt+
2
T
∫ T
2
T
4
(−1)cos(kω0t)dt
Usando a igualdade
ω0 =
2pi
T
→ kω0 T
2pi
= kpi,
e utilizando uma calculadora para auxiliar nos resultados, e novamente multiplicando-se o resultado
por 10V, chega-se finalmente aos coeficientes da se´rie de Fourier da func¸a˜o desejada
ak = 10× 4
kpi
sen
kpi2
, k = 1, 2, 3, 4, ....
Observando os resultados, nota-se que ak vale zero para todo k par, -10 para k = 3,7,11,15,... e 10
para k = 1,5,9,13,... Utilizando o comando square do MatLab, foi poss´ıvel obter a forma de onda
abaixo.
So =
100
11
square(2pi2k t)
Ressalta-se que apesar da frequeˆncia da onda ser de 2 kHz, a onda quadrada e´ formada por uma
soma infinita de senoides que alcanc¸am altas frequeˆncias em sua composic¸a˜o, portanto, deve-se
tomar cuidado com a taxa de amostragem para a gerac¸a˜o do sinal.
So1(
1
1k
+
1
10k
) =
10
1k
So1(
1
1
+
1
10
) = 10
So1 =
10
(1 + 110 )
So2 =
100
11
V
11
Figura 12 – Onda Quadrada com .
Pode-se observar nas imagens das Figuras 12 e 13 que os sinais simulados e realizados no laborato´rios
sa˜o satisfatoriamente pro´ximos.
Figura 13 – Onda Quadrada com f = 2 kHz.
Obtendo os coeficientes da se´rie de Fourier atrave´s da func¸a˜o FFT do Matlab e plotando tem-se os
seguintes gra´ficos abaixo, em que o da Figura 15 apresenta o sinal ja´ normalizado.
12
Figura 14 – Onda Quadrada com f = 2 kHz. Simulac¸a˜o.
Figura 15 – Onda Quadrada com .
Utilizando o erro percentual relativo dos valores medidos e simulados tem-se as relac¸o˜es abaixo.
�1(Erro Raia 1) =
So1−calculado − So1−medido
So1−calculado
=
11.57− 8.8
11.57
= 0.23 ⇒ ou 23%
13
�2 =
3.8− 3
3.8
= 0.2105 ⇒ ou 21%
�3 =
2.31− 1.7
2.31
= 0.26 ⇒ ou 26%
�4 =
1.65− 1.2
11.57
= 0.27 ⇒ ou 27%
�5 ==
1.28− 1
11.57
= 0.21 ⇒ ou 21%
8. Repita as questo˜es 1 a 6 para a onda triangular.
Utilizando o comando sawtooth do MatLab, foi poss´ıvel obter a forma de onda abaixo. Vale ressaltar
que apesar da frequeˆncia da onda ser de 5 kHz, a onda triangular e´ formada por uma soma infinita
de senoides que podem alcanc¸ar altas frequeˆncias em sua composic¸a˜o, portanto, deve-se tomar
cuidado com a taxa de amostragem para a gerac¸a˜o do sinal.
So1(
1
1k
+
1
10k
) =
6
1k
So1(
1
1
+
1
10
) = 6
So1 =
6
(1 + 110 )
So2 =
60
11
V
Pode-se observar nas imagens das Figuras 16 e 17 que os sinais simulados e realizados no laborato´rios
sa˜o satisfatoriamente pro´ximos.
Obtendo os coeficientes da se´rie de Fourier atrave´s da func¸a˜o FFT do MatLab, e plotando o
resultado, tem-se o seguintes gra´ficos das Figuras 18 e 19, em que o da Figura 19 apresenta o sinal
ja´ normalizado.
14
Figura 16 – Onda Triangular simulada com frequeˆncia f = 5 kHz .
Figura 17 – Onda triangular obtida no laborato´rio.
Utilizando o erro percentual relativo dos valores medidos e simulados tem-se as relac¸o˜es abaixo.
�1(Erro Raia 1) =
So1−calculado − So1−medido
So1−calculado
=
4.42− 3.36
4.42
= 0.239 ⇒ ou 23.9%
�2 =
0.49− 0.38
0.49
= 0.22 ⇒ ou 22%
15
Figura 18 – Onda Triangular com f = 5 kHz.
Figura 19 – Onda Triangular com f = 5 kHz.
�3 =
0.177− 0.14
0.177
= 0.20 ⇒ ou 22%
�4 =
0.9− 0.8
0.9
= 0.11 ⇒ ou 11%
16
�5 ==
0.548− 0.40
0.548
= 0.27 ⇒ ou 27%
17
2 Parte II - Filtro Passa Baixas
Para a segunda parte da aula pra´tica, foi montado o circuito visto na figura 20. A frequeˆncia do sinal de
entrada foi alterada e os resultados da tensa˜o de sa´ıda foram tomados segundo a tabela 1.
Figura 20 – Circuito RC para pra´tica 2.
f(Hz) Vs(V) f(Hz) Vs(V) f(Hz) Vs(V) f(kHz) Vs(V) f(MHz) Vs(s)
100 1,03 1000 1,025 10000 0,945 100 0,275 1 0,029
200 1,03 2000 1,025 20000 0,805 200 0,17 2 0,017
300 1,03 3000 1,015 30000 0,66 300 0,125 3 -
400 1,03 4000 1,005 40000 0,56 400 0,07 4 -
500 1,03 5000 1,005 50000 0,47 500 0,055 5 -
600 1,03 6000 0,99 60000 0,415 600 0,046 6 -
700 1,03 7000 0,985 70000 0,37 700 0,040 7 -
800 1,03 8000 0,975 80000 0,335 800 0,035 8 -
900 1,03 9000 0,96 90000 0,30 900 0,032 9 -
Tabela 1 – Quadro para levantamento da amplitude da resposta em
frequeˆncia do filtro.
Em seguida, o canal 1 do oscilosco´pio foi ligado para medir a tensa˜o de entrada e o canal 2 para medir
a tensa˜o de sa´ıda. O equipamento foi enta˜o configurado no modo X-Y e a frequeˆncia do sinal de entrada
foi variada conforme a tabela 2. Anotou-se enta˜o os paraˆmetros de 2a e 2b da figura de Lissajous.
18
f(Hz) 2a 2b f(kHz) 2a 2b f(MHz) 2a 2b
100 1,90 0 10 1,91 0,69 1 1,82 1,82
200 1,94 0 20 1,86 1,11 2 1,74 1,74
300 1,97 0 30 1,85 1,28 - - -
400 1,98 0 40 1,82 1,37 - - -
500 1,99 0 50 1,78 1,70 - - -
600 1,98 0 60 1,74 1,71 - - -
700 1,98 0 70 1,79 1,78 - - -
800 1,98 0 80 1,79 1,79 - - -
900 1,99 0 90 1,81 1,81 - - -
1000 1,9 0 100 1,76 1,76 - - -
2000 1,92 0 200 1,79 1,79 - - -
3000 1,92 0 300 1,80 1,80 - - -
4000 1,94 0,30 400 1,82 1,82 - - -
5000 1,94 0,40 500 1,80 1,80 - - -
6000 1,80 0,66 600 1,82 1,82 - - -
7000 1,80 0,40 700 1,76 1,76 - - -
8000 1,92 0,50 800 1,74 1,74 - - -
9000 1,58 0,50 900 1,70 1,70 - - -
Tabela 2 – Quadro para levantamento da fase da resposta do filtro.
2.1 QUESTO˜ES
1. Com os valores calculados na questa˜o na tabela 1 construa o gra´fico do modulo do
ganho de tensa˜o do filtro em func¸a˜o da freˆquencia.
19
2. Com os valores calculados na questa˜o na tabela 2 calcule a fase da resposta em
frequeˆncia do filtro.
Dado que a fase pode ser calculada pela expressa˜o
φ =
2a
2b
O ca´lculo da fase e´ apresentado na tabela 3.
Tabela 3 – Orc¸amento de custo do projeto
FREQUEˆNCIA FASE rad FASE graus
100 0 0
200 0 0
300 0 0
400 0 0
500 0 0
600 0 0
700 0 0
800 0 0
900 0 0
1000 0 0
2000 0 0
3000 0 0
4000 0.155 8.89
5000 0.207 11.89
6000 0.375 21.51
7000 0.224 12.83
8000 0.263 15.09
9000 0.322 18.44
10000 0.369 21.17
20000 0.633 36.25
30000 0.764 43.78
40000 0.852 48.82
50000 1.26 72.75
60000 1.38 79.34
70000 1.46 83.94
80000 1.5707 90
90000 1.5708 90
100000 1.5708 90
200000 1.5708 90
300000 1.5708 90
400000 1.5708 90
500000 1.5708 90
600000 1.5708 90
700000 1.5708 90
800000 1.5708 90
900000 1.5708 90
20
3. Com os valores calculados na questa˜o 2, construa o gra´fico da fase do ganho de tensa˜o
do filtro em func¸a˜o da frequeˆncia
Figura 21 – Diagrama da fase do Filtro utilizando as medic¸o˜es da figura
de Lissajous.
4. Calcule a frequeˆncia de corte do filtro montado na parte pra´tica e indique-a nos gra´ficos
constru´ıdos nas questo˜es 1 e 3. Dado que a frequeˆncia de corte de um filtro passa baixas de
ordem 1 e´ calculada pela expressa˜o
f =
1
2piRC
Considerando o circuito da figura 20,
fc =
1
2piRC
=
1
2pi × 560× 10× 10−9 = 28, 4kHz
Observa-se pelo gra´fico da figura ?? que o valor da amplitude se aproxima muito do valor esperado,
que seria 0,707V.
21
5. A partir do gra´fico da amplitude da resposta em frequeˆncia do filtro, determine as
faixas de passagem, transic¸a˜o e atenuac¸a˜o.
Como esse filtro possui apenas um polo em sua func¸a˜o de transfereˆncia, sabe-se que sua atenuac¸a˜o
e´ de 20 dB/de´cada. Com aux´ılio dos valores no gra´fico poder-se-ia enta˜o estimar que a frequeˆncia
da borda de passagem em 284.2 kHz.No entanto, avaliando a figura ?? veˆ-se que ainda apo´s esse
frequeˆncia existe uma variac¸a˜o considera´vel no ganho. Assim, pela informac¸a˜o da mesma figura
estimou-se que a borda de passagem estaria na frequeˆncia de 400 kHz enquanto que a frequeˆncia
de corte e´ 28,4 kHz. Isso indica uma transic¸a˜o lenta entre a faixa de passagem e a faixa de bloqueio
do filtro.
6. Usando o MatLab ou outro software obtenha o gra´fico do mo´dulo do ganho de tensa˜o
do filtro em func¸a˜o da frequeˆncia.
Para obter-se o gra´fico do mo´dulo do ganho de tensa˜o do filtro em func¸a˜o da frequeˆncia de considera-
se o circuito para que se chegue a func¸a˜o de transfereˆncia usando a regra do divisor de tensa˜o
Vo =
Vi × 1sCR+ 1sC
V o
V i
=
1
RCs+ 1
=
1
0.00001s+ 1
No entanto nesse caso, para fins de comparac¸a˜o utilizou-se a func¸a˜o mencionada no roteiro pra´tico
para o ganho de tensa˜o
Av =
1√
1 + (2pifRC)2
Utilizando o software MatLab, obte´m-se o gra´fico desejado como visto na figura a seguir.
7. Compare o gra´fico obtido na questa˜o 6 com o constru´ıdo na questa˜o 1.
A comparac¸a˜o dos gra´ficos mostra grande similaridade, indicando que o experimento foi realizado
de forma correta e que a formula para o ganho se mostra va´lida.
8. Usando o MatLab ou outro software obtenha o gra´fico da fase do ganho de tensa˜o do
filtro em func¸a˜o da frequeˆncia.
Como ja´ deduzido na que questa˜o 6, a func¸a˜o de transfereˆncia do filtro foi utilizada no ambiente
do MatLab para obter-se o diagrama de Bode. Para fins de comparac¸a˜o no entanto optou-se por
22
mudar a escala de logar´ıtmica para linear e de radianos por segundo para Hz. O resultado pode ser
visto na figura 22.
Figura 22 – Diagrama de Bode com escala linear para a fase do Filtro.
23
9. Compare o gra´fico obtido na questa˜o 8 com o constru´ıdo na questa˜o 3.
Observando as figuras 22 e 21 pode-se notar grande similaridade salvo valores zerados, no in´ıcio das
medic¸o˜es. Muitos desses valores na˜o sa˜o de fato zero, no entanto, devido ao seu baix´ıssimo valor
de amplitude houve considera´vel dificuldade na sua mensurac¸a˜o no oscilosco´pio utilizado. Ainda
sim, e´ vis´ıvel a similaridade. Novamente considerando a teoria de filtros passivos, os resultados se
aparentam muito ao esperado dado que o atraso de fase na frequeˆncia de corte fc ficou pro´ximo a
−45o.
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