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CEFET – BA CURSOS DE ENGENHARIA 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 
TEMA: Séries de Potências
Professora: Edmary
Agradeço aos professores: Adelmo e Rachel 
	Até agora só trabalhamos com séries numéricas. Vamos trabalhar agora com séries cujos termos são funções, em especial, potências de x ou de x (a . O nosso objetivo é representar funções como uma série de potências de x em algum intervalo
Observação: Consideramos (x ( a)0 = 1 mesmo quando x = a por conveniência de notação.
Exemplos: 
1) 
 ( an = 1 e a = 0 )
2)
 ( an = 1 e a = 1 )
3) 
 ( 
 e a = 0 )
4) 
 ( an = n + 1 e a = 0 )
Numa série de potências, cada soma parcial sn da série corresponde a um polinômio de grau n., que indicaremos sn(x). No caso de uma série de potências de x temos:
s0(x) = a0
s1(x) = a0 + a1x
s2(x) = a0 + a1x + a2x2
.....
sn(x) = a0 + a1x + a2x2 + ...+ a n(1 x n(1 + anxn ( polinômio de grau n em x )
As somas parciais podem servir para aproximar funções como as trigonométricas, exponenciais e logarítmicas através de polinômios, numa vizinhança de 0 ( se for potências de x) ou de a ( se tomamos potências de a )
Por exemplo, a função exponencial pode ser escrita através da série
Mais precisamente, a série é convergente e converge para ex, para todo x . Isto pode ser visualizado graficamente. A seguir temos a representação gráfica das 4 primeiras somas parciais da série. 
Observemos que, numa vizinhança de 0 as somas parciais vão se aproximando cada vez mais de f(x).
Vamos investigar sob que condições podemos escrever uma função como uma série de potências de x e em que domínio ela converge
Dada uma série de potências 
 para cada valor atribuído a x obtemos uma série numérica correspondente que pode convergir ou divergir.
Exemplo: Dada a série de potências em x 
 (an = 1 ) temos que
Para 
 a série numérica correspondente é 
 que converge (série geométrica de razão ½). O mesmo acontece para qualquer valor de x tal que 
Para x = 1 e x = ( 1 as séries correspondentes divergem ( o termo geral não tende a zero!) 
Para x = 2 a série numérica correspondente é 
 que diverge (série geométrica de razão 2)
Esta série pode ser considerada uma série geométrica de razão x e portanto converge para 
 e diverge para 
Vemos assim que uma série de potências pode convergir para determinados valores de x e divergir para outros. 
Podemos então usar os critérios de convergência para séries numéricas para determinar a região de convergência da série. Usaremos em especial os critérios da razão e da raiz para analisarmos o intervalo de convergência da série, a menos dos extremos que são os casos em que os limites nesses testes dão 1 e que portanto requerem outros critérios para serem analisados.
Exemplo: Aplicando os testes de convergência vistos, verifique a região de convergência das seguintes séries:
1) 
 Dc = [ –1, 1 [ 
Solução: Aplicando o teste da razão: 
Pelo teste da razão concluímos que a série é convergente para valores de x tais que 
. No caso em que 
 analisamos separadamente. Assim, se x = 1 a série correspondente é a série harmônica 
 que diverge e quando x = ( 1 a série correspondente é a série alternada 
 que já vimos ser convergente pelo critério de Leibniz
2) 
 Dc = R 
Solução: Usando o critério da razão: 
<1. a série é portanto convergente para todo valor de x.
3) 
; Dc = { 1 }
Solução: Usando o critério da raiz: 
Temos assim que a série só converge para x = 1.
Os resultados observados nos exemplos anteriores podem ser generalizados e estão expressos no seguinte Teorema
Observação: Quando a série é absolutamente convergente ( x ( R dizemos que r = ( e quando a série converge apenas para x = a dizemos que r = 0
Representação de Funções por uma Série de Potências
Se uma série de potências 
 tem um intervalo de convergência ]a – r, a + r[, onde r é o raio de convergência, podemos usar a série de potências 
 para definir uma função cujo domínio é o intervalo de convergência da série ]a – r, a + r[ 
f: ]a – r, a + r[ ( R
f(x) = 
ou seja, para cada valor de x pertencente ao intervalo ]a – r, a + r[ associamos o valor que corresponde à soma da série 
f(x) = 
 = a0 + a1(x –a) + a2(x –a)2 + a3(x –a)3 +...
Exemplos: 
A série geométrica 
 tem região de convergência ]–1, 1[. Assim, neste intervalo ela define a função f(x) = 
A série 
 é uma série geométrica de razão r = x – a. No intervalo 
 ela define a função 
A partir da série geométrica, tanto como potência de x quanto como potência de ( x – a) podemos obter novas séries que definem outras funções.
Reciprocamente, dada uma função f: D ( R podemos pensar em que situações existe uma série de potências que converge para f(x) e para que valores de x a série é convergente.
Exemplos:
1) A partir da série geométrica 
 se x ( ]–1, 1[ dê a representação em série de potências de x das seguintes funções, indicando a região de convergência de cada uma delas.
A) 
Solução: Substituindo x por –x na série 
, obtemos 
 para x ( ]–1, 1[.
B) 
Solução: Substituindo x por –x2 na série 
, obtemos 
 para x ( ]–1, 1 [. Multiplicando por x obtemos 
 para x ( ]–1, 1[.
C) 
 
Solução: 
Observe que o resultado acima está valendo para 
, ou seja, 
D) 
Solução: 
O resultado acima está valendo para 
 que é a região de convergência da série.
2) A partir da série geométrica 
( 
) encontre uma série de potências em ( x – a ) para as seguintes funções:
A) 
; a = 2 
Solução: 
 se 
B) 
; a = 1
Solução: 
 se 
Derivação e Integração de Séries de Potências
Consideremos a função f(x) representada por uma série de potências de x 
:
Será que podemos através da série de potências encontrar a derivada da função ? E a sua integral?
A resposta a essas questões é sim. 
Podemos simplesmente derivar a função termo a termo e a integral da função ( tanto a definida quanto a indefinida ) pode ser obtida integrando-se a série termo a termo
O teorema a seguir nos garante esse fato.
Observação: O raio de convergência das novas séries é o mesmo mas os extremos do intervalo de convergência podem ser alterados.
Podemos usar esse fato para encontrar o desenvolvimento em série de outras funções a partir de funções conhecidas.
Exemplos: 
1) 
 . Derivando termo a termo obtemos
2) 
Observemos que o índice do somatório se conserva se o 1o termo da série não é constante e muda se o 1o termo da série é constante.
3) 
. Integrando termo a termo obtemos
 e 
. Obtemos que 
. 
Encontramos o valor da constante de integração C = 0, substituindo x = 0 na igualdade acima
Temos assim que a função 
 = 
 no intervalo ] (1, 1[
Aplicando diferenciação e integração termo a termo podemos a partir de funções obtermos a sua representação em série de potências e a partir de série de potências obtermos a função que representa a sua soma dentro da sua região de convergência.
Exemplos:
1) A partir da série geométrica 
 encontre uma série que represente as seguintes funções:
a) f(x) = ln(1+x)
Temos que a derivada da função f(x) = ln ( 1 + x ) é 
 ( como vimos em exemplos anteriores ). Assim, integrando a função obtemos:
 no intervalo ] (1, 1 [
b) f(x) = arctgx 
A derivada de f(x) = arctgx é igual a 
( como vimos em exemplos anteriores )
Integrando a função obtemos 
 no intervalo [ (1, 1] ( Pode-se mostrar que a série correspondente é convergente para x = 1 e x = ( 1)
2) Aplicando diferenciação e integração termo a termo encontre a soma das seguintes séries ea região de convergência
a) 
Seja 
. A idéia principal do processo é, a partir de derivação ou integração, chegarmos à série geométrica da qual conhecemos a soma, para, usando o processo inverso, obtermos a soma da série pedida.
Neste exemplo, se derivarmos a série dada conhecemos a soma da série resultante. Vejamos:
 para x ( ] (1, 1 [. 
Integrando obtemos 
 ; para x ( ] (1, 1 [.
b) 
Neste caso integramos primeiro a série 
 obtendo 
. Assim, derivando a série:
=
; para x ( ] (1, 1 [.
Séries de Taylor e Maclaurin
Consideremos a função f(x) definida pela série de potências em ( x – a) ; 
 com raio de convergência r > 0. A função f(x) tem todas as derivadas em ]a –r, a+r [. Temos assim que
................................
Continuando com esse processo obtemos
Desta maneira a série de potências de f(x) pode ser escrita na forma 
, onde tomamos 
Esta série é chamada de série de Taylor da função f no ponto a. No caso particular em que a = 0, ou seja, 
 a série é chamada de série de Maclaurin
Observação:
As séries de Taylor e Maclaurin são importantes pois servem para aproximar funções por polinômios numa vizinhança do ponto a
O polinômio de grau n 
corresponde à n-ésima soma parcial da série de Taylor e é chamado de polinômio de Taylor
Podemos escrever 
. Pode-se mostrar que se Rn(x) for tal que 
 temos que Pn(x) é uma boa aproximação e f(x) no ponto a.
Dada uma série de Taylor representando uma função em um intervalo I, a série de Taylor é uma série de potências. Duas perguntas surgem então:
A série é convergente em I ?
A soma da série corresponde a f(x) para todo x em I ?
Para a maioria das funções elementares a resposta é afirmativa e exitem teoremas nos garantindo este fato para as funções com as quais trabalharemos.
Exemplo: Vamos encontrar a série de Maclaurin para as funções 
1) f(x) = ex; 2) f(x) = cosx; 3) f(x) = senx
Solução:
1) Vamos escrever 
. Para isso precisamos da expressão 
. Sendo f(x) = ex temos que 
 e portanto 
= 1. Logo, 
 como já tínhamos visto anteriormente.
Os polinômios de Taylor para essa função são
...................................................
2)
f(x) = cosx ( f(0) = 1
f´(x) = – senx ( f´(0) = 0
f´´(x) = –cosx ( f’´ (0) = –1
f´´´(x) = senx ( f’´´(0) = 0
f(4)(x) = cosx ( f(4)(0) = 1
……………………..
Temos assim que 
 ( 
Os polinômios de Taylor para cosx são
...................................................
3) Usando a série anterior e derivando temos 
Os polinômios de Taylor para senx são
Observações:
1. Não necessariamente a série de Taylor de uma função tem que ser obtida através da fórmula 
. Qualquer série de potências em ( x – a) de uma função deve ser a série de Taylor da função. Assim, as séries de potências obtidas para as funções, arctgx, ln(1+x), etc, são as séries de Taylor das respectivas funções.
2. 
 Isto significa que uma série de potências representando uma função é única.
Referências Bibliográficas
O Cálculo com Geometria Analítica vol II – Louis Leithold
Cálculo – Um Novo Horizonte vol II – Howard Anton
Cálculo – vol II – James Stewart
Uma série de potências em (x– a) é uma série da forma � EMBED Equation.3 ���
Quando a = 0 temos uma série de potências em x. � EMBED Equation.3 ���
�
Dada uma série de potências � EMBED Equation.3 ��� com raio de convergência r > 0, consideremos a função f(x) = � EMBED Equation.3 ���. Então
f(x) é contínua em ] a ( r, a + r [
Existe � EMBED Equation.3 ��� ( x ( ] a ( r, a + r [
Se x(] a ( r, a + r [, então 
 � EMBED Equation.3 ���; ( x ( ] a ( r, a + r [
Dada a série de potências � EMBED Equation.3 ��� apenas uma das seguintes condições é válida :
A série é absolutamente convergente ( x ( R
A série converge apenas para x = a
( r ( R tal que a série é absolutamente convergente para � EMBED Equation.3 ��� e divergente para � EMBED Equation.3 ���
O número r > 0 é chamado de raio de convergência da série
�
� EMBED Equation.3 ��� ( ( R
Chamaremos de região ou domínio de convergência ( Dc) de uma série de potências ao conjunto dos números reais para os quais a série dada converge
� EMBED Equation.3 ���( ( R
� EMBED Equation.3 ���
�
�
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