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Cálculo I, II, III e EDO Curso completo

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justifique-o com conceitos/ teoremas do
Ca´lculo.
Exerc´ıcio 9.7. Deˆ um exemplo de uma func¸a˜o f positiva em um ponto x, mas tal
que f(xn) = 0 em pontos xn que formam um sequeˆncia com limn→+∞ xn = x.
Exerc´ıcio 9.8. Encontre o domı´nio da func¸a˜o racional f(x) = 1
x2−1 . Descreva o que
acontece com o mo´dulo e o sinal de f quando x se aproxima pela esquerda e pela
direita dos pontos onde ela na˜o esta´ definida.
Exerc´ıcio 9.9. (resolvido)
i) Prove que
lim
x→+∞
√
5 · x2 + x
x+ 2
=
√
5
1,8
1,4
1
x
100806040
2,2
20
2
1,6
1,2
0,8
Figura: Gra´fico de y =
√
5·x2+x
x+2
, x ∈ [1, 100], √5 ≈ 2.23.
ii) Prove que
lim
x→−∞
√
5 · x2 + 2
x+ 2
= −
√
5
Exerc´ıcio 9.10. (resolvido) Um exemplo que na˜o parece estar ligado a quocientes,
mas que se calcula introduzindo quocientes:
lim
x→+∞
(
√
x2 + x− x ) = 1
2
.
9. EXERCI´CIOS 86
0,5
0,48
0,46
0,42
0,44
x
100806020 40
Figura: Gra´fico de y =
√
x2 + x− x, x ∈ [1, 100].
Exerc´ıcio 9.11. E´ um fato que o polinoˆmio
y = x5 − 2x4 + x3 + x2 + 1
so´ tem uma ra´ız Real. Na˜o e´ fa´cil acha´-la explicitamente. Mas com o Teorema do
Valor Intermedia´rio voceˆ pode concluir que a ra´ız Real e´ um ponto do intervalo [−1, 1].
Por queˆ ?
No Cap´ıtulo 18 daremos um me´todo para determinar essa ra´ız, que foi descoberto
por Newton (para variar ...)
Exerc´ıcio 9.12. (resolvido)
A equac¸a˜o x3 + 1 = 0 e, em geral, as as equac¸o˜es de grau ı´mpar
x2n+1 + 1 = 0, n ∈ N
tem obviamente como u´nica ra´ız Real o x = −1.
Na˜o e´ fa´cil resolver explicitamente a equac¸a˜o x3 + � · x+ 1 = 0, com � ≥ 0 fixado,
a menos que se conhec¸a a fo´rmula de Cardano; com ela se obte´m a ra´ız Real
x =
3
√
−1
2
+
√
1
4
+
�3
27
− 3
√
1
2
+
√
1
4
+
�3
27
.
Torna-se intrata´vel tentar resolver explicitamente o seguinte tipo de equac¸a˜o de
grau ı´mpar:
x2n+1 + �1 · x2n−1 + �2 · x2n−3 + . . .+ �n−1 · x3 + �n · x+ 1 = 0,
com
�i ≥ 0, i = 1, . . . n− 1 e �n > 0
fixados.
i) Prove que cada uma dessas equac¸o˜es teˆm um u´nica ra´ız Real.
ii) Prove que a ra´ız de cada uma delas esta´ em [−1, 0).
iii) Para cada nu´mero em [−1, 0) encontre alguma dessas equac¸o˜es que o tenha
como u´nica ra´ız.
CAP´ıTULO 7
Geometria Anal´ıtica Plana
1. Equac¸o˜es de retas, coeficientes angular e linear
A equac¸a˜o de uma reta vertical por dois pontos (x, y1) e (x, y2) e´
x− x = 0.
Mas a equac¸a˜o de uma reta na˜o-vertical por (x1, y1) e (x2, y2) e´ do tipo:
y = a1 · x+ a0, a1, a0 ∈ R.
Ou seja, sua equac¸a˜o e´ um tipo bem simples de polinoˆmio, cujo grau em x e´ ≤ 1.
Vamos usar uma notac¸a˜o mais habitual:
y = a · x+ b, a, b ∈ R.
Afirmac¸a˜o 1.1. Os coeficientes a, b da equac¸a˜o y = ax + b da reta passando pelos
dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) com x1 6= x2 sa˜o dados por:
a =
y
2
− y
1
x2 − x1
,
e
b = y
1
− a · x1 = y2 − a · x2.
Demonstrac¸a˜o. De
y
1
= a · x1 + b e y2 = a · x2 + b,
subtraindo-as, obtemos:
y
2
− y
1
= a · (x2 − x1),
de onde
a =
y
2
− y
1
x2 − x1
,
(onde e´ crucial que x2 6= x1). E da´ı sai que:
b = y
1
− (y2 − y1
x2 − x1
) · x1,
ou o que da´ no mesmo:
b = y
2
− (y2 − y1
x2 − x1
) · x2.
�
87
1. EQUAC¸O˜ES DE RETAS, COEFICIENTES ANGULAR E LINEAR 88
Note que esse nu´mero b e´ a altura em que a reta y = ax+ b intersecta o eixo dos
y, que e´ dado por x = 0: de fato,
y = a · 0 + b = b.
Definic¸a˜o 1.1. Dados dois pontos distintos do plano (x1, y1) e (x2, y2) com coor-
denadas x1 6= x2, definimos o coeficiente angular da reta ligando esses dois pontos
por:
y
2
− y
1
x2 − x1
=
y
1
− y
2
x1 − x2
.
Afirmac¸a˜o 1.2. O coeficiente angular e´ uma informac¸a˜o da reta, na˜o dependendo
dos pontos particulares que usamos para calcula´-lo.
Demonstrac¸a˜o.
De fato, se tomo qualquer ponto (x3, y3) da reta y = a · x + b determinada por
(x1, y1) e (x2, y2), como y3 = ax3 + b, enta˜o:
y
3
− y
1
x3 − x1
=
(a · x3 + b)− (ax1 + b)
x3 − x1
= a,
e ja´ vimos na Afirmac¸a˜o 1.1 que
a =
y
2
− y
1
x2 − x1
,
ou seja,
y
3
− y
1
x3 − x1
=
y
2
− y
1
x2 − x1
.
�
Como consequeˆncia temos a seguinte observac¸a˜o u´til para o Curso:
Afirmac¸a˜o 1.3. Dado um ponto (x1, y1) e um coeficiente angular pre´-estabelecido
valendo a, enta˜o a u´nica reta que passa por (x1, y1) e tem esse coeficiente angular e´
dada por
y = a · x+ (y
1
− a · x1).
Demonstrac¸a˜o. De fato, tomando um ponto (x, y) gene´rico dessa reta, enta˜o
pela Afirmac¸a˜o 1.2
y − y
1
x− x1
= a,
o que da´, isolando-se y:
y = a · x+ (y
1
− a · x1).
�
Exemplos:
1)- a diagonal y = x tem coeficente angular 1 e a anti-diagonal y = −x tem
coeficiente angular −1.
2)- A reta horizontal y = b tem coeficiente angular 0, pois y = b = 0 · x+ b.
CAPI´TULO 7. GEOMETRIA ANALI´TICA PLANA 89
Observac¸o˜es:
• Se x1 = x2 enta˜o a reta que liga (x1, y1) e (x2, y2) e´ vertical e na˜o tem um
coeficiente angular definido.
Temos a tentac¸a˜o de dizer que o coeficiente angular da reta vertical e´
+∞. Mas se comec¸amos com a anti-diagonal e a vamos levantando, os co-
eficientes angulares ficam cada vez mais negativos e ao atingir a posic¸a˜o
vertical ficariam −∞: essa ambiguidade entre +∞ e −∞ para o candidato
a coeficiente angular da reta vertical e´ que faz que seja melhor desistirmos
de atribuir um coeficiente angular a` reta vertical.
• Geometricamente o coeficiente angular a representa o quociente entre o
cateto oposto y
2
− y
1
e o cateto adjacente x2 − x1 do triaˆngulo retaˆngulo
formado pelos pontos (x1, y1), (x2, y1) e (x2, y2): logo a = tan(α) ( tangente
do aˆngulo (anti-hora´rio) α formado pela reta e o eixo horizontal). Vimos
na Sec¸a˜o 2.3 que se um aˆngulo que tende a +pi
2
sua tangente tende a +∞,
enquanto que, se o angulo tende a −pi
2
, sua tangente tende a −∞.
• Se fixamos a e variamos b em y = a · x+ b estamos descrevendo uma famı´lia
de retas paralelas com a mesma inclinac¸a˜o.
2. Ortogonalidade
Deve estar claro pelo que ja´ explicamos que duas retas y = ax+ b1 e y = ax+ b2,
com b2 6= b1, sa˜o de fato paralelas.
Agora gostaria de explicar que uma par de retas y = ax+ b1 e y = − 1a x+ b2, com
a 6= 0, sa˜o ortogonais.
Posso me restringir a considerar retas pela origem: y = ax e y = − 1
a
x, pois
estas sa˜o translac¸o˜es verticais das retas anteriores, e portanto teˆm entre elas o mesmo
aˆngulo que as anteriores. Posso supor tambe´m que a > 0 (caso a < 0 enta˜o − 1
a
> 0
e poderia trabalhar com este coeficiente angular).
Se escrevo a = B
A
, com A,B > 0, enta˜o − 1
a
= −A
B
.
Agora considero 3 triaˆngulos (ilustrados na Figura a seguir):
• ∆1 dados pelos pontos (0, 0), (A, 0) e (A,B) e
• ∆2 dado pelos pontos (0, 0), (−B, 0) e (−B,A).
• ∆3 dado pelos pontos (0, 0), (A,B) e (−B,A).
3. TEOREMA DE TALES NO CI´RCULO 90
x
y
( − B , A )
( − B , 0 ) ( A, 0 )( 0 , 0 )
( A , B )
∆ 1
∆ 2
∆ 3
Observe que ∆1 e ∆2 sa˜o triaˆngulos retaˆngulos e que a reta que conte´m a hipotenusa
de ∆1 e´ y = ax , enquanto que a reta que conte´m a hipotenusa de ∆2 e´ a reta y = − 1ax.
Enta˜o por Pita´goras as hipotenusas de ∆1 e de ∆2 valem o mesmo:
√
A2 +B2.
Por outro lado o comprimento do segmento de reta ligando (−B,A) a (A,B) vale,
por definic¸a˜o: √
(B −A)2 + (A− (−B))2 =
√
2A2 + 2B2.
Portanto o triaˆngulo ∆3 e´ iso´sceles, pois tem dois lados de mesmo tamanho λ :=√
A2 +B2. Esses lados formam um aˆngulo em (0, 0) que denoto por α. E o terceiro
lado de ∆3, oposto a α, mede
√
2A2 + 2B2 =
√
λ2 + λ2.
Lembro agora que e´ va´lida a rec´ıproca do Teorema de Pita´goras (coisa pouco lembrada
no Ensino Me´dio), ou seja, se um lado maior de um triaˆngulo e´ soma