Aula sobre Cônicas

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CÔNICAS 
 Profª Michelle Andrade Klaiber 
UTFPR - Apucarana 
 
SECÇÕES CÔNICAS 
A parábola, a elipse e a hipérbole são chamadas 
genericamente secções cônicas, pois são obtidas 
cortando-se um cone circular reto (variando a posição 
do plano de corte). A figura abaixo nos mostra estas 
situações: 
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ELIPSE 
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Denominamos elipse ao lugar geométrico dos pontos de um plano 
cuja soma das distâncias a dois pontos fixos desse plano é 
constante. 
 
Os principais elementos da elipse são: 
 
Centro : O 
Focos: F1 e F2 
Eixo menor: B1, B2 
Eixo maior: A1, A2 
Medida do eixo menor: 2b 
Medida do eixo maior: 2a 
Distância focal: 2c 
Do triângulo OF2B2 decorre que: a²=b²+c² 
Excentricidade: e=c/a 
ELIPSE 
Temos dois casos a considerar para a equação de uma elipse: 
 
1º caso: O eixo maior da elipse coincide com o eixo das abscissas. 
Seja a elipse de centro na origem do sistema cartesiano O(0,0), os 
focos F1=(-c,0) e F2=(c,0) e seja P(x,y) um ponto genérico, conforme a 
figura: 
A1=(-a,0), A2=(a,0), B1=(0,-b), B2=(0,b) 
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ELIPSE 
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ELIPSE 
2º caso: O eixo maior coincide com o eixo das ordenadas. 
De modo análogo ao 1º caso, demonstra-se que a equação reduzida 
dessa elipse é: 
ELIPSE 
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ELIPSE 
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Exemplo 1: Obter a equação da elipse de eixo maior 2a = 10 e focos 
F1=(-3,0) e F2=(3,0). 
 
Exemplo 2: Dada a equação da elipse 9x² + 25x² = 225, determine: 
a) a equação reduzida; 
b) a medida do eixo maior e do eixo menor; 
c) a distância focal; 
d) os focos; 
e) a excentricidade; 
f) o esboço gráfico. 
 
Exemplo 3: Dada a elipse 20x² + 25(y-2)² = 225 
a) a equação reduzida; 
b) o centro; 
c) a medida do eixo maior e do eixo menor; 
d) a distância focal; 
e) os focos; 
f) a excentricidade; 
g) o esboço gráfico. 
HIPÉRBOLE 
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Denominamos hipérbole ao lugar geométrico dos pontos de um plano 
para os quais a diferença das distância a dois pontos dados, F1 e F2, do 
plano é um valor absoluto igual a uma constante 2a menor que a 
distância F1F2 
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HIPÉRBOLE 
Os principais elementos da hipérbole são: 
 
• Focos: os pontos F1 e F2 
• Centro: o ponto O(0,0) 
• Eixo real: o segmento A1A2 
• Eixo imaginário: o segmento B1B2 
• Medida do eixo real: 2a 
• Medida do eixo imaginário: 2b 
• Distância focal: d(F1,F2) = 2c 
• Vértices da hipérbole: A1 e A2 
 
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HIPÉRBOLE 
Temos dois casos a considerar: 
 
1º caso: O eixo real está contido no eixo das abscissas. Vamos obter a 
equação da hipérbole de centro na origem do sistema cartesiano, 
O(0,0), e os focos situados no eixo das abscissas. 
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HIPÉRBOLE 
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HIPÉRBOLE 
2º caso: O eixo real está contido no eixo das ordenadas. Neste caso, 
a equação da hipérbole de centro O(0,0), e os focos situados no eixo 
y, ou seja, F1=(0,c) e F2=(0,-c) e vértices no eixo das ordenadas: 
A1=(0,a) e A2=(0,-a) será: 
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HIPÉRBOLE 
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HIPÉRBOLE 
Considere duas hipérboles, como na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 3: focos no eixo x Figura 4: Focos no eixo y 
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HIPÉRBOLE 
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HIPÉRBOLE 
Exemplo 1: Dada a equação da hipérbole 15x² - 20y² = 60, 
determine: 
a) a equação reduzida; 
b) a distância focal; 
c) a medida do eixo real e do eixo imaginário; 
d) a equação das assíntotas; 
e) os focos; 
f) a excentricidade; 
g) o esboço gráfico. 
 
Exemplo 2: Obter a equação da hipérbole de focos F1(-4,0) e F2(4,0) 
e eixo real 2a=4. 
 
Exemplo 3: Obter a equação reduzida da hipérbole resultante de 
uma translação de eixos, obter os elementos e esboçar o gráfico 
da equação: 
7x² - 9y² + 28x + 54y – 116 = 0 
PARÁBOLA 
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Denominamos parábola ao lugar geométrico dos pontos de um 
plano que são equidistantes de uma reta dada e de um ponto dado 
F, não pertencente a diretriz, no plano 
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PARÁBOLA 
Os principais elementos da parábola são: 
 
• Foco: ponto F chama-se foco. 
• Diretriz: a reta d chama-se diretriz da parábola. 
• Vértice: o ponto V da parábola, tal que d(F, V) = d(V, d) = p/2, é o 
vértice. 
• Eixo da parábola ou eixo de simetria é a reta VF. 
• Parâmetro: a distância entre F e a reta D, que vamos representar 
por p, chama-se parâmetro da parábola. 
PARÁBOLA: EIXO DE SIMETRIA X 
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Temos dois casos a considerar: 
 
1º caso: Concavidade voltada para a “direita”. 
Seja a parábola de vértice V(0,0), foco F=(p/2 ,0), diretriz de equação: 
x = -p/2 ou x + p/2 = 0 
E P(x,y) um ponto qualquer da parábola, conforme mostra a figura: 
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PARÁBOLA: EIXO DE SIMETRIA X 
2º caso: Concavidade voltada para a “esquerda”. 
Seja a parábola de vértice V(0,0), foco F=(-p/2 ,0), diretriz de equação: 
x = p/2 ou x - p/2 = 0 
e P(x,y) um ponto qualquer da parábola, conforme mostra a figura, 
obteremos a equação reduzida da parábola: 
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PARÁBOLA: EIXO DE SIMETRIA Y 
Temos dois casos a considerar: 
 
1º caso: Concavidade voltada para a “cima”. 
Seja a parábola de vértice V(0,0), foco F=(0, p/2), diretriz de equação: 
y = -p/2 ou y + p/2 = 0 
e P(x,y) um ponto qualquer da parábola, conforme mostra a figura: 
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PARÁBOLA: EIXO DE SIMETRIA Y 
2º caso: Concavidade voltada para a “baixo”. 
Seja a parábola de vértice V(0,0), foco F=(0, -p/2), diretriz de equação: 
y = p/2 ou y - p/2 = 0 
e P(x,y) um ponto qualquer da parábola, conforme mostra a figura, 
obteremos a equação reduzida da parábola: 
PARÁBOLA 
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Exemplo 1: Obter a equação da parábola de foco F(2,3) e diretriz d: 
y-1=0. 
 
Exemplo 2: Dada a parábola de equação: x² - 4y=0, determine: 
a) O parâmetro p; 
b) O foco; 
c) A equação da diretriz. 
 
Exemplo 3: Seja a parábola (y-1)² = 8(x-2), determine: 
a) O parâmetro p; 
b) O vértice; 
c) O foco; 
d) A equação da diretriz; 
e) O esboço do gráfico. 
CÔNICAS COM CENTRO 
C=(X0,Y0) 
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Quando a cônica não estiver centrada na origem, basta fazermos 
uma translação em (x0,y0), obtendo as respectivas equações: 
 
 
Elipse: 
 
 
 
Hipérbole: 
 
 
 
Parábola: