Revisão AP2 ME II

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Métodos Estatísticos II − 2o. Semestre de 2011
Revisão para a AP2
Profa. Ana Maria Farias (UFF)
Nas duas últimas provas presenciais (AP2 e AP3) serão dadas questões sobre Inferência Estatística,
envolvendo construção de intervalos de confiança e testes de hipóteses. As seguintes fórmulas são apre-
sentadas nas provas:
_____________________________________________________
Resultados importantes e fórmulas
Distribuições Amostrais
X ∼ N
¡
μ;σ2
¢
=⇒
⎧
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
X − μ
σ√
n
∼ N(0; 1) (1)
X − μ
S√
n
∼ t(n− 1) (2)
X ∼ Bernoulli(p) =⇒ X = bP ≈ N µp; p(1− p)
n
¶
(amostra grande) (3)
S2 =
1
n− 1
nP
i=1
¡
Xi −X
¢2
=
1
n− 1
∙
nP
i=1
X2i − nX
2
¸
=
1
n− 1
"
nP
i=1
X2i −
(
P
Xi)
2
n
#
Regiões críticas
Teste de hipótese
Bilateral Unilateral à direita Unilateral à esquerda
X < μ0 − zα/2
σ√
n
ou X > μ0 + zα/2
σ√
n
X > μ0 + zα
σ√
n X < μ0 − zα
σ√
n
X < μ0 − tn−1;α/2
S√
n
ou X > μ0 + tn−1;α/2
S√
n
X > μ0 + tn−1;α
S√
n
X < μ0 − tn−1;α
S√
nbP < p0 − zα/2qp0(1−p0)n ou bP > p0 + zα/2qp0(1−p0)n bP > p0 + zαqp0(1−p0)n bP < p0 − zαqp0(1−p0)n
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Nos resultados (1) e (2), o parâmetro de interesse é a média populacional. O resultado (1) deve ser usado
para populações normais com variância conhecida, enquanto o resultado (2) se aplica a populações normais
com variância desconhecida. No resultado (3), o parâmetro de interesse é a proporção populacional. Como
ele é consequência do Teorema Limite Central, é necessário que a amostra seja grande (n > 30). Vamos
ver agora como usar esses resultados na resolução de questões.
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1 Questões sobre intervalos de confiança
1.1 Forma geral
Vamos denotar por bθ o estimador do parâmetro de interesse. No nosso caso, bθ pode ser a média amostral
X ou a proporção amostral bP. A forma geral do intervalo de confiança éhbθ − �;bθ + �i
onde o erro amostral � é definido como
� = k ·EP (bθ)
1.2 Erro padrão
O erro padrão do estimador, EP (bθ), é obtido diretamente das fórmulas dadas - ele é o desvio padrão da
distribuição amostral:
EP (X) =
σ√
n
caso (1) - população normal com variância conhecida
EP (X) =
S√
n
caso (2) - população normal com variância desconhecida
EP ( bP ) = rp(1− p)
n
caso (3) - estimação da proporção populacional
No caso (3), é necessário substituir p por algum valor. Se não for dada qualquer informação, use a
proporção amostral encontrada, ou então, p = 0, 5 que dá o maior intervalo de confiança possível.
1.3 Abscissa da distribuição amostral
Com relação à constante k, para intervalos de confiança com nível de confiança 1− α, ela é a abscissa da
distribuição amostral que deixa área α/2 acima dela (veja a Figura.1). Nos casos (1) e (3), a distribuição
amostral é normal; assim, você deve usar a tabela da normal. No caso (2), a distribuição amostral é a t
de Student com n− 1 graus de liberdade.
Figura 1: Abscissa para construção de intervalos de confiança com 1− α de confiança
Se o nível de confiança é de 80% e o tamanho da amostra é n = 18, por exemplo, nos casos (1) e
(3) você deve procurar na tabela da normal o valor k tal que tab(k) = 0, 40. No caso (2), você tem que
olhar a tabela da t de Student na linha correspondente a 17 graus de liberdade (n − 1 = 17) e a coluna
correspondete a 10%. Lembre-se: o nível de confiança é a área central da distribuição. Em cada cauda
fica α/2. Note que se 1− α = 0, 80, então α = 0, 2.
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2 Questões sobre teste de hipóteses
2.1 Definição das hipóteses nula e alternativa
Na solução de problemas envolvendo testes de hipóteses, é fundamental que você defina corretamente
as hipóteses nula e alternativa. É a hipótese alternativa que determina a região crítica do teste. Como
visto no livro texto, para determinar H0 e H1, você tem que “traduzir”as afirmações do problema para
desigualdades. A desigualdade que não envolve o sinal de = será a hipótese alternativa e a hipótese nula
é sempre do tipo θ = θ0.
2.1.1 Exemplos
1. O tempo médio é, no máximo, 15 minutos. Traduzindo
afirmativa dada: μ ≤ 15
complementar: μ > 15
H0 : μ = 15
H1 : μ > 15
2. Há, em média, pelo menos 15 clientes.
afirmativa dada: μ ≥ 15
complementar: μ < 15
H0 : μ = 15
H1 : μ < 15
3. O tempo médio tem que ser menor que 15 minutos.
afirmativa dada: μ < 15
complementar: μ ≥ 15
H0 : μ = 15
H1 : μ < 15
4. O faturamento médio tem que ser maior que 15 unidades monetárias.
afirmativa dada: μ > 15
complementar: μ ≤ 15
H0 : μ = 15
H1 : μ > 15
5. O comprimento médio tem que ser 15 cm.
afirmativa dada: μ = 15
complementar: μ 6= 15
H0 : μ = 15
H1 : μ 6= 15
3
6. A proporção de clientes tem que ser pelo menos 60%.
afirmativa dada: p ≥ 0, 60
complementar: p < 0, 60
H0 : p = 0, 60
H1 : p < 0, 60
7. A proporção de defeituosos tem que ser no máximo 5%.
afirmativa dada: p ≤ 0, 05
complementar: p > 0, 05
H0 : p = 0, 05
H1 : p > 0, 05
8. A proporção de votos favoráveis tem que ser maior que 75%.
afirmativa dada: p > 0, 75
complementar: p ≤ 0, 75
H0 : p = 0, 75
H1 : p > 0, 75
2.2 Estatística de teste
2.2.1 Teste sobre a média de uma população normal
Há dois casos possíveis: variância populacional conhecida e variância populacional desconhecida. Se a
hipótese nula é H0 : μ = μ0, as estatísticas de teste são
Z0 =
X − μ0
σ√
n
=
√
n
X − μ0
σ
para o caso de se conhecer σ e
T0 =
X − μ0
S√
n
=
√
n
X − μ0
S
no caso de não se conhecer σ.
2.2.2 Teste sobre uma proporção (amostras grandes)
Se a hipótese nula é H0 : p = p0, a estatística de teste é
Z0 =
bP − p0r
p0(1− p0)
n
=
√
n
bP − p0p
p0(1− p0)
4
Figura 2: Cálculo da abscissa para definição da região crítica
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2.3 Definição da região crítica
A região crítica é construída comparando-se o valor da estatística de teste sob H0 com a abscissa da
distribuição amostral correspondente. Se o valor observado da estatística de teste cai na região crítica,
rejeita-se a hipótese nula.
Na Figura 2 ilustra-se a abscissa que deve ser procurada na tabela da distribuição amostral (normal
ou t−Student) para as três possibildiades de hipótese alternativa.
Quando a estatística de teste segue a distribuição normal, para o teste unilateral à direita, temos que
encontrar, na tabela da normal padrão, a abscissa k tal que tab(k) = 0, 5− α. Essa mesma abscissa, com
sinal negativo, é a solução para o teste unilatera à esquerda. E no caso da teste bilateral, temos que
encontrar a abscissa k da normal padrão tal que.tab(k) = 0, 5− α/2.
Quando a estatística de teste segue a distribuição t−Student, o procedimento é absolutamente análogo,
só que em vez de usarmos a tabela da normal padrão, temos que usar agora a tabela da t de Student com
n− 1 graus de liberdade.
2.4 Cálculo do valor P e do erro tipo II
Vamos agora nos concentrar no caso de teste de hipótese para a média de uma população normal com
variância conhecida. Nesse caso, a estatística de teste é dada na equação (1).
O valor P é a probabilidade de se obter um valor da estatística tão ou mais extremo do que o valor
observado. “Tão ou mais extremo” é sempre no sentido de se rejeitar a hipótese nula. Suponhamos
que o valor observado da estatística de teste seja z0 = 1, 92 para um teste unilateral à direita. Então,
P = Pr(Z > 1, 92). Esse mesmo valor de z0 num teste bilateral resulta em P = 2× Pr(Z > 1, 92).
Para calcular o erro tipo II, temos que expressar a região crítica em termos de X (e não em termos da
estatística padronizada). A região crítica Z0 > k pode ser escrita em termos de X da seguinte forma:
Z0 > k ⇔
X − μ0
σ√
n
> k ⇔ X > μ0 + k ×
σ√
n
É com essa expressão equivalente que trabalhamos para calcular erros do tipo II.
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