UNIDADE V - APLICAÇÕES DE CÁLCULO

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Cálculo Diferencial e 
Integral
Aplicações de Cálculo 
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Esp. Clovis Jose Serra Damiano
Revisão Textual:
Profa. Esp. Márcia Ota
5
•	Integral indefinida
•	Função de duas ou mais variáveis
•	Integrais Definidas
•	Domínio e imagem da função de várias variáveis
•	Notação
•	Teorema do Valor Médio (para Integrais)
•	Introdução ao estudo de Derivada Parcial
•	Representação Gráfica
A proposta desta Unidade é trabalhar o cálculo integral de uma forma aplicada, introduzir o 
conceito de função de duas ou mais variáveis e abordar a introdução de derivadas parciais. 
Além disso, vale destacar que os objetivos da unidade são: 
•	 resolução de problemas, utilizando as integrais indefinidas;
•	 resolução de problemas, utilizando as integrais definidas;
•	 cálculo de área entre curvas;
•	 teorema do Valor Médio para integrais;
•	 definição de função de duas ou mais variáveis;
•	 descrição algébrica de uma função de duas variáveis;
•	 noções de domínio e imagem de uma função de várias variáveis;
•	 introdução do estudo de derivadas parciais.
Nesta Unidade, trabalharemos algumas das aplicações das 
integrais. Em seguida, vamos definir funções com duas ou 
mais variáveis e, então, iniciar nossos estudos a respeito das 
derivadas parciais, que são utilizadas quando as funções a 
serem derivadas têm mais do que uma variável independente.
Desse modo, vamos interpretar problemas que dependam do 
cálculo integral como uma forma de solução.
Aplicações de Cálculo 
6
Unidade: Aplicações de Cálculo
Contextualização
O curso de Cálculo Diferencial e Integral, geralmente, é lecionado nas etapas iniciais 
dos cursos de Engenharia com a finalidade de dar suporte para a resolução de problemas. 
Basicamente, é dividido em três etapas: limites, derivadas e integrais. O objeto de estudo 
do cálculo são as funções. 
Normalmente, os alunos costumam ter muita dificuldade com essa disciplina. Por isso, 
com propósito de buscar novas dinâmicas, sugiro a você que assista ao vídeo, disponibilizado 
no link abaixo:
 9 https://www.youtube.com/watch?v=P5i-cu8zwYI&list=PL8884F539CF7C4DE3&in
dex=21
Trata-se de uma demonstração do Geogebra, que é um software de Matemática dinâmica, 
gratuito e de código aberto para todos níveis de ensino e disponível em vários idiomas. 
As ferramentas dinâmicas vão auxiliá-lo no entendimento daquilo que se estuda na disciplina 
de Cálculo.
7
Integral indefinida
Em muitos problemas, a derivada de uma função é conhecida e o objetivo é encontrar 
a própria função. Por exemplo, se a taxa de crescimento de uma determinada população é 
conhecida, pode-se desejar saber qual o tamanho da população em algum instante futuro; 
conhecendo a velocidade de um corpo em movimento, pode-se querer calcular a sua posição 
em um momento qualquer; conhecendo o índice de inflação, deseja-se estimar os preços, e 
assim por diante. O processo de obter uma função a partir de sua derivada é chamado de 
antiderivação ou integração indefinida, que aprendemos a calcular na unidade anterior. 
Exemplo 1:
Estima-se que daqui a t meses a população de certa cidade esteja aumentando a taxa de 
2
3 4 5t+ habitantes por mês. Se a população atual é 10.000 habitantes, qual será a população 
daqui a 8 meses? 
Resolução:
A taxa de crescimento (taxa de variação) da população é fornecida, e pede-se o tamanho da 
população daqui a 8 meses, que será algum número maior do que 10.000, que é o número de 
habitantes atual. A primitiva da função 
2
3 4 5t+ permitirá o cálculo do tamanho da população em 
função do tempo.
Passos para a resolução:
1. Achar a primitiva da taxa de crescimento.
2. Fixar um valor inicial para achar o valor de C.
3. Substituir na primitiva o valor de “t” por 8 meses para saber qual será o tamanho da 
população daqui a 8 meses.
Vamos chamar a taxa de variação da população de p(t):
( )
2
3 4 5p t t dt
 
= +  
( )
2 1
3
4 5 2 1
3
tP t t C
+
= + +
+
( )
5
3
4 5 5
3
tP t t C= + +
8
Unidade: Aplicações de Cálculo
( )
5
34 3P t t t C= + +
( )
5
334 .5
5
P t t t C= + +
Para determinar o valor de C, temo que fixar uma condição inicial, isto é, no instante (0) a 
população é de 10.000:
5
310.000 4.0 3.0 10.000C C= + + → =
( )
5
3 4 3 10.000P t t t= + +
Para saber qual o tamanho da população, daqui a 8 meses, basta substituir o valor de “t” por 8:
( ) ( )538 4.8 3. 8 10.000 10.128P = + + =
Exemplo 2:
Um corpo está se movendo de tal forma que sua velocidade após t minutos é 
2( ) 1 4 3 / .v t t t m min= + + Que distância o corpo percorreu entre os instantes 2 e 3?
Resolução:
O problema nos dá a função velocidade: v(t). A velocidade á a taxa de variação do espaço 
em função do tempo. Portanto, se acharmos a primitiva da velocidade, teremos uma função que 
nos dará a posição em função do tempo.
Passos para a resolução:
1. Achar a primitiva de v(t), que será a função “posição”.
2. Calcular a posição nos instantes 2 e 3.
3. Fazer a diferença entre os dois valores encontrados para saber qual foi a distância 
percorrida pelo objeto nesse intervalo de tempo.
A primitiva da velocidade dá a função espaço s(t).
A primitiva da função aceleração a(t) dá a função velocidade v(t).
9
( ) 21 4 3v t t t= + +
( ) 2(1 4 3 )s t t t dt= + +∫
( ) 2 32s t t t t C= + + +
( ) 2 34 3
2 3
t ts t t C= + + +
Não há como especificar uma condição inicial para se determinar o valor de C, mas isso não 
vai alterar o nosso resultado. Vamos achar a posição ocupada nos instantes 2 e 3:
s(2) = 2 + 2(2)2 +(2)3 + C → s(2) =18 + C
s(3) = 3 + 2(3)2 + (3)3 + C → s(3) = 48 + C
A distância percorrida será dada por:
Distância = s(3) - s(2)
Distância = 48 + C - (18+C)
Distância = 48 + C - 18 - C) = 30
Integrais Definidas
Área de Região Entre Curvas
Suponha que f e g sejam definidas e contínuas em [ ],a b e tais que ( ) ( ) [ ] , , f x g x x a b≥ ∀ ∈ . 
A área da região R limitada pelos gráficos de f e g e pelas retas x = a e x = b é dada por:
( ) ( )
b
a
A f x g x dx = − ∫
Há 3 possibilidades:
1º caso: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 0 0, , , f x e g x e f x g x x a b≥ ≥ ≥ ∀ ∈ ,neste caso:
( ) ( )
b b
a a
A f x dx g x dx= −∫ ∫
 
10
Unidade: Aplicações de Cálculo
a b
f
g
2º caso: f(x)	≥	0	e	g(x)	≤	0,	∀ x ϵ [a,b],neste caso:
( ) ( )
b b
a a
A f x g x dx
 
= + −  ∫ ∫
a b
f
g
3º caso: f(x) ≤	0	e	g(x) ≤	0,	e	f(x) ≥	g(x), ∀ x ϵ [a,b],neste caso:
( ) ( )
b b
a a
A g x dx f x dx
 
= − − −  ∫ ∫
a b
f
g
11
Exemplo 1:
Encontre a área limitada pelas curvas dadas por f(x)=-x2+4x e g(x)= x2, sabendo que as 
interseções ocorrem em 0 e 2.
15
10
5
0
-5
-10
-15
-20
-25
-4 - 2 0 2 4
0000
Resolução:
Temos duas funções que se interceptam. Os pontos em que elas se interceptam são os limites 
de integração que serão utilizados para o cálculo da área entre essas duas curvas. Esse problema 
se enquadra no 1º caso de área entre curvas. Observe que no intervalo [0,2] a função f(x) é 
sempre maior do que g(x).
( ) ( )
2
[ ]
o
f x g x dx−∫
2
2 2
0
( 4 )x x x dx− + −∫
( )2 2
0
2 4x x dx− +∫
( ) ( )3 2 3 222 4 2
3 2 3
x x xH x H x x= − + → = +
( ) ( )3 0A H H= −
12
Unidade: Aplicações de Cálculo
( ) ( ) ( )
3 3
222 2 2 02(2) 2 0
3 3
A x
  
− = + − +    
16 8 0
3
A  = − + −  
8
3
A =
Trocando Ideias
Quando vamos calcular uma integral definida, não precisamos nos preocupar com o valor 
da constante arbitrária.
Exemplo 2:
Em um estudo realizado em 2004 para o Ministério de Energia de um país hipotético, 
especialistas concluíram que se um projeto de Lei sobreo consumo de Energia fosse 
implementado em 2005, o consumo de energia daquele país pelos próximos 5 anos cresceria 
de acordo como modelo R(t) = 10e0,02t, em que t é medido em anos (t = 0 correspondendo ao 
ano de 2005) e R(t) em milhões de Kwh. Sem essas medidas, entretanto, a taxa de crescimento 
de consumo de energia seria dada por R1 (t) = 10e
0,05t milhões de Kwh por mês. Utilizando esses 
modelos determine quanto de energia teria sido economizada de 2005 a 2010 se o projeto de 
lei tivesse sido implementado.
Resolução:
O consumo de energia poder ser analisado sob duas perspectivas:
 » R(t) = 10e0,02t → consumo sob a vigência do projeto de lei.
 » R1 (t) = 10e
0,05t → consumo na ausência do projeto de lei.
O consumo está modelado em duas funções exponenciais, sendo que, em R1 (t), o consumo 
será sempre maior do que em R(t).
Podemos fazer a seguinte interpretação:
No período de 2005 (t=0) a 2010 (t=5) a área sob a curva de R(t) = 10e0,02t nos dará o 
consumo de energia naquele intervalo de tempo, o mesmo ocorrendo para R1 (t) = 10e
0,05t. A 
diferença entre as áreas dessas duas curvas representa a economia de energia caso o projeto e 
lei seja implementado.
13
Vamos visualizar essas informações na representação gráfica a seguir:
t
y
30
25
10
-4 -2 0 2 4
S
y = R (t)
y = R1 (t)
Para achar a área de S, faremos:
( ) ( ) ( )
5
1
0
S t R t R t dt = − ∫
R(t) = 10e0,02t → achar a primiva C(T) → C(5) - C(0)
( ) ( )0,02 0,0210 500
0,02
t tC t e C t e= → =
C(5) = 500e0,02.5 ≅ 552,59
C(0) = 500e0,02.0 = 500
C(5) - C(0) = 552,59 - 500,00 ≅ 52,59
O valor encontrado é a área abaixo da curva R(t) = 10e0,02t e representa o consumo de 
energia de 2005 a 2010, caso o projeto de lei seja implementado. Nosso próximo passo será 
calcular o consumo na ausência do projeto de lei, que é dado pela função:
R1 (t) = 10e
0,05 → achar a primiva C1 (T) → C(5) - C(0)
( ) ( )0,05 0,051 210 2000,05
t tC t e C t e= → =
C(5)= 200e0,02.5 ≅ 256,81
C(0)= 500e0,02.0 = 200
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Unidade: Aplicações de Cálculo
C(5) - C(0) = 256,81 - 200,00 ≅ 56,81
( ) ( ) ( ) ( )
5
1
0
56,81 52,59 4,22S t R t R t dt S t = − → = − ≅ ∫
O consumo de energia, caso o projeto de lei entre em vigor, será de aproximadamente 4,22 
milhões de Kwh, no período de 5 anos.
Teorema do Valor Médio (para Integrais)
Se f é uma função contínua em [a, b], então existe Z z ϵ (a,b),tal que:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1, , . 
b b
a a
f x dx f z b a ou seja existe z a b tal que f z f x dx
b a
= − ∈ =
−
∫ ∫
Portanto, o valor médio de f é dado por:
( )1
b
a
VM f x dx
b a
=
−
∫
Exemplo 1:
Sendo ( )f x x=
Determine o valor médio da função f(x) no intervalo [0, 4].
Resolução:
4
0
1 
4 0
x dx
−
∫
4 1
2
0
1
4
x dx∫
( ) ( ) ( )
1 31
2 2
32
1 3 31
2 2
x xF x F x F x x
+
= → = → =
+
15
( ) 32 164 4
3 3
F = =
( ) 20 0
3
F = =
Valor Médio = 
1 16 1 16 16 40 .
4 3 4 3 12 3
 
− = = =  
O valor médio da função f(x) no intervalo [0,4] é 
4
3
.
Exemplo 2:
As taxas de juros cobradas por uma financeira sobre empréstimos para a compra de carros 
usados, durante um período de 6 meses no ano de 2014, são aproximadas pela função 
( ) ( )3 21 7 3 12 0 6
12 8
r t t t t t= − + − + ≤ ≤ em que t é medido em meses e r(t) é a porcentagem anual. Qual 
foi a taxa média dos empréstimos concedidos pela financeira no período em questão? 
Resolução:
Vamos aplicar o Teorema do Valor Médio para integrais para resolver essa questão.
Passos para a solução:
1. Achar a primitiva de r(t).
2. Calcular R(6) – R(0).
3. Achar a taxa média usando a fórmula do teorema do valor médio.
Taxa Média = 
6
3 2
0
1 1 7 3 12
6 0 12 8
t t t dt − + − +  
−
∫
( ) 4 3 27 3 12
48 24 2
t t tR t t= − + − +
( ) ( ) ( ) ( )
3 24 7 6 3 666 12 6 54
48 24 2
R = − + − + =
( ) ( ) ( ) ( )
3 24 7 0 3 000 12 0 0
48 24 2
R = − + − + =
16
Unidade: Aplicações de Cálculo
R(6) - R(0) = 54
Taxa Média = 
1 54 9
6
× =
Resposta: A taxa média no período foi de 9%.
Função de duas ou mais variáveis
Quando se usa a modelagem matemática para explicar os fenômenos que ocorrem no mundo 
real, raramente, os resultados são determinados por uma única variável. Vamos, a título de 
exemplo, pensar na receita (R) de uma companhia de aviação obtida pela venda de passagens 
aéreas. Para evitar voos vazios, alguns bilhetes são vendidos pelo preço normal e outros pelo 
preço com desconto. Se x representar o preço das passagens sem desconto e de y o preço das 
passagens com desconto, dizemos que R e função de x e y, e escreve-se:
R = f(x,y)
Essa notação é semelhante à notação que se usa nas funções de uma variável, sendo que 
nesse caso:
 » R → Variável dependente
 » x e y → São as varáveis indepéndentes.
Uma função de várias variáveis pode ser representada:
1. Numericamente por uma tabela de valores.
2. Algebricamente por uma fórmula.
3. Graficamente por um diagrama de curvas de nível.
Função Descrita Numericamente
A tabela abaixo mostra a renda da companhia aérea em função das passagens vendidas 
(com ou sem desconto).
Tabela 1: Renda da venda de bilhetes em função de x e y.
R = f(x)
Número de bilhetes (x) vendidos sem desconto
100 200 300 400
Número de 
bilhetes (y) 
vendidos com 
o desconto
200 75.000 110.000 145.000 180.000
400 115.000 150.000 185.000 220.000
600 155.000 190.000 225.000 260.000
800 195.000 230.000 265.000 300.000
1000 235.000 270.000 305.000 340.000
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Olhando a tabela é possível se conseguir informações diversas, por exemplo: A receita dada 
pela venda de 800 passagens com desconto e 400 sem desconte é de R$ 300.000,00.
R(400,800) = 300.000
Observe a diferença em relação às funções de uma variável, em que uma linha e uma 
coluna eram suficientes para listar os valores da função. No caso que estamos analisando, são 
necessárias muitas colunas e linhas, pois a função tem um valor distinto para cada par de 
variáveis independentes.
Descrição Algébrica da função de duas variáveis
É possível representar a função descrita na Tabela 1 através de uma fórmula. Vamos analisar 
os padrões de regularidade da função e escrever a lei que a determina. Ao examinar as linhas, 
observa-se que a cada 100 bilhetes vendidos a preço normal (sem desconto) a receita aumenta 
em R$ 35.000,00, portanto cada bilhete foi vendido a R$ 350,00. Olhando, agora, a coluna das 
passagens vendidas com desconto, observa-se que a receita aumenta R$ 40.000,00 a cada 200 
bilhetes vendidos, portanto cada bilhete é vendido por R$ 200,00. Com esses dados, é possível 
escrever a função receita:
R(x,y) = 350x + 200y
Exemplo:
Uma locadora de veículos de passageiros cobra R$ 70,00 por dia de uso mais R$ 2,00 por 
quilômetro rodado.
a. Obtenha uma fórmula para o custo “C” do aluguel de um carro em função do número “d” 
de dias e “k” de quilômetros rodados.
b. Se C = f(d,k), calcule f(5,300) e interprete o resultado.
Resolução:
a. O custo será dado por R$70,00 vezes o número de dias do aluguel, mais R$ 2,00 vezes o 
número de quilômetros rodados.
C(d,k) = 70d + 2k
b. Basta substituir os dados na função e efetuar os cálculos:
C(5,300) = 70(5) + 2(300)
C(5,300) = 350+600 = 950
Interpretação: Se um carro for alugado por 5 dias e rodar 300 quilômetros, o custo da 
locação será de R$ 950,00.
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Unidade: Aplicações de Cálculo
Em Síntese
 Função com duas variáveis
D é um subconjunto (uma região) do espaço R2 (plano).
Chama-se função f de D a relação que associa a cada par (x, y) do domínio 
um único número real representado por f(x, y).
y
x
z
f(x,f)
(x,y) D
Como calcular o valor da função deduas variáveis?
É só substituir na função o valor de cada variável.
Exemplo 1:
f(x,y) = x2+2y
Qual é a imagem (o valor da função):
f(2,3) = 22 + 2(3) = 4 + 6 + 10
Definição
Seja A ⊂ Rn, e n = 2 ou n = 3. Uma função f definida no subconjunto A com valores em R, 
é uma regra que associa a cada número “u” que pertença ao subconjunto A um único número 
real f(u). Chama-se de “u” a variável independente da função, e sua notação é:
f: A ⊂ Rn → R
Se n = 2
A variável independente é denotada por: u = (x,y)
A função é denotada por: z = f(x,y)
Se n=3
A variável independente é denotada por: u = (x,y,z)
A função é denotada por: w = f(x,y,z)
Domínio e imagem da função de várias variáveis
O domínio dessas funções segue as mesmas regras do domínio de funções de uma variável 
real, ou seja, o domínio é a região pertencente ao plano, de forma que os valores calculados da 
função, para todo (x,y) que pertença ao domínio resulte em valores reais e finitos para f(x,y).
19
Exemplo 1:
Qual o domínio da função: f(x,y)= y x− ?
A condição de existência dessa função é que o valor que está dentro do radical seja maior ou 
igual a zero, pois não existe raiz quadrada de número negativo. 
D={(x,y) ℇ R2 | y - x	≥	0}
Definição
Seja f ∶ A ⊂ Rn → R uma função.
O conjunto de todas as variáveis independentes “u”, que pertençam ao plano Rn de tal forma 
que f(u) exista é chamado domínio de f.
O conjunto dos números “z” que pertençam a R, de tal forma que f(u) = z e “u” pertença 
ao domínio de f é chamado imagem de f.
Exemplo 1:
O volume (V) de um cilindro é função de sua altura (h) e do raio (r) de sua base. Temos então:
V(h,r)	=	hπr2
Note que tanto o volume como o raio devem ser maior do que zero para que o cilindro exista. 
Sabemos que o domínio são os valores que as variáveis independentes podem assumir. Para 
determinar o domínio de uma função depende-se do contexto em que o problema se insere. No 
caso do cilindro, podemos dizer que o domínio são todos os números reais positivos:
Dom(f)={(r,h) ∈ R2 |h > 0 ≠ r > 0}
Exemplo 2
Qual é o domínio da função f(x,y) = 
x
x y−
.
A função f não está definida para x = y, pois de denominador x - y	≠	0.
Dom(f) = {(x,y) ∈ R2 | x ≠ y}
O domínio da função é toda região do plano. Exceto a linha tracejada.
20
Unidade: Aplicações de Cálculo
Gráfico de funções de várias variáveis
Definição
Seja f: A ⊂ R2 → R uma função, o gráfico de f será o subconjunto de R(n+1):
G(f)={(x, f(x) ∈ R(n+1) | x ∈ Dom(f)}
Exemplo
Se n= 2 e x= (x,y), então o gráfico, em geral, é uma superfície em R3, ou seja, no espaço 
tridimensional.
Se n= 3 e x= (x,y,z), então G(f) é uma superfície em R4.
Para n= 2 a projeção do gráfico de f sobre o plano (x,y) é exatamente o domínio de f.
Gráficos de funções de duas variáveis
Nas funções com uma variável y= f(x), o gráfico de f é o conjunto de todos os pontos (x,y) 
em duas dimensões, tais que y= f(x). O gráfico de uma função “f” de duas variáveis, é o 
conjunto de todos os pontos (x,y,z), tais que z= f(x,y). Geralmente, o gráfico de uma função de 
duas variáveis é uma superfície em 3D (tridimensional). Veja, a seguir, o gráfico de uma função 
de duas variáveis, esboçado ponto a ponto.
Introdução ao estudo de Derivada Parcial
A derivada da função de uma variável mede a sua taxa de variação. Quando se trabalha com 
uma função de duas variáveis teremos duas taxas de variação: uma quando x varia (mantendo 
y constante) e outra quando y varia (mantendo x constante).
Estudaremos a influência de x e de y no valor da função f(x,y) separadamente. Esse 
procedimento será feito da seguinte forma: uma variável será mantida fixa e a outra variando.
21
Definição
Derivadas Parciais de f em relação a x e y.
Para todos os pontos em que o limite existe, define-se derivadas parciais no ponto (a,b) por:
fx (a,b) → Taxa de variação de f em relação a x no ponto (a,b)=
( ) ( )
0
, ,
lim
h
a h b f a b
f
h→
+ −
fy (a,b) → Taxa de variação de f em relação a y no ponto (a,b)=
( ) ( )
0
, ,
lim
h
a b h f a b
f
h→
+ −
Permitindo que a e b variem, teremos as funções derivadas parciais:
fx (x, y)
fy (x, y)
Vamos entender o que estamos estudando:
Nós aprendemos a calcular a derivada de uma função de uma variável, da seguinte forma:
f(x)= y= x2
Para calcular a derivada dessa função aprendemos a usar a regra do “tombo”.
f’ (x) = 2x
Uma outra notação para representar a derivada é:
2dy x
dx
=
Isto é. A derivada de y em relação a x é 2x.
Vimos, então, duas notações (f ’ (x) e 
dy
dx
) para indicar a derivada de uma função de uma variável.
Vamos analisar agora uma função com duas variáveis:
f(x,y) = x3 y + 4y2
A função f depende de x e de y. Vamos chamar a função f de “z”. A representação dessa 
função se dará no plano 3D (tridimensional). Temos, então, uma função z que depende das 
variáveis x e y.
22
Unidade: Aplicações de Cálculo
Para achar a derivada da função em relação a x, denota-se da seguinte maneira:
fx (x,y) → É a derivada da função z em relação a x. Para calcular o valor dessa derivada, é preciso:
1. Tratar a variável y como uma constante.
2. Derivar x usando as regras conhecidas.
Exemplo:
f(x,y) = x3y + 4y2
fx (x,y) = 3x2y + 0
Trocando Ideias
Quando a constante está associada a uma variável ela multiplica o valor a derivada. 
Exemplo: f(x)= x33 → f’(x)= 3x33 = 9x2. No exemplo, vimos que a constante “y” está associada à 
variável x, por isso ela não é zero. Na derivada de 4y2, todo esse número é uma constante. Portanto, 
sua derivada é zero.
Calculamos a derivada da função f em relação a x. Agora, calcularemos a derivada de f em 
relação a y e para isso agora a variável x funcionará como uma constante:
f(x,y)= x3y + 4y2 → fy (x,y)= x31 + 2.4y2-1
fy (x,y)= x
3 + 8y2
Notação
Quando aprendemos a derivar uma função com uma variável, usamos a notação f’(x) para 
derivada primeira. Podemos usar, também, para indicar a derivada de uma função de primeira 
ordem, a seguinte notação:
dy
dx
 → derivada da função y em relação a variável x.
Quando trabalhamos com uma função de duas ou mais variáveis, a notação utilizada é:
y
x
∂
∂ → o símbolo (que parece um 6 ao contrário) indica que a função que está sendo derivada depende de mais do que uma variável.
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Vamos analisar o esquema, a seguir, que indica as variáveis das funções z, x e y.
z é uma função que depende das variáveis x e y.
x é um a função que depende das variáveis t e u
y é uma função que depende apenas da variável t.
A derivada de z em relação a x será indicada como:
z
x
∂
∂
Usa-se essa notação porque x não é única variável de z (veja no esquema).
A derivada de z em relação a y será indicada:
z
y
∂
∂
A derivada de x em relação a t será indicada:
z
t
∂
∂
A derivada de x em relação a u será indicada:
z
u
∂
∂
A derivada de y em relação a t será indicada:
y
t
∂
∂
Observe que a notação mudou para a indicação da derivada de uma função com uma 
variável real.
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Em Síntese
A notação indica se estamos derivando uma função com uma variável ou se a derivada é 
uma função com várias variáveis:
dy
dx → indica que a função que está sendo derivada depende de apenas uma variável.
y
x
∂
∂ → indica que a função que está sendo derivada depende de mais do que uma variável.
Representação Gráfica
Quando se deriva uma função de uma variável real, a sua representação gráfica é feita no 
plano cartesiano, ou seja, em 2D, ou espaço bidimensional. A derivada da função em um ponto 
nada mais é do que a inclinação da reta tangente ao gráfico nesse ponto. Observe que a reta “r” 
é a derivada da função f(x) no ponto P, indicados no esquema gráfico a seguir:
x
y
0 x0 x0 +  x0
y0
y0 +  y0 y0
 x0
β
α
r
Q
S
P
y - f(x)
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Derivadas parciais em um gráfico
A questão é: como visualizamos a derivada parcial fx (a,b)?
A derivada de fx (a,b) é a inclinação da reta tangente a essa curva em x= a. O gráfico 
de uma função de duas variáveis é uma superfície. A reta que tangencia um ponto dessa 
superfície é a derivada da função nesse ponto em relação a uma determinada variável. 
Um ponto P no espaço 3D é determinado por (a,b,f(a,b)).
Observe as representações abaixo:
x y
z
Reta tem inclinação
 fx (a.b)
Gráfico de
 f (x.b)
Ponto
(a.b.f(ab))
x y
z
Reta tem inclinação
 fy (a.b)
Gráfico de
 f (y.b)
Ponto
(a.b.f(ab))
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Unidade: Aplicações de Cálculo
Material Complementar
Para aprofundar seus estudos sobre o estudo das derivadas parciais, consulte os sites e as 
referências a seguir:
https://www.youtube.com/watch?v=j9jjZHFasYE
https://www.youtube.com/watch?v=bTXco9OwefI
https://www.youtube.com/watch?v=Thl0Mrru7aU
https://www.youtube.com/watch?v=XrfrwH7YCp4
Outra indicação:
Capítulo 15 do livro Cálculo (George B. Thomas Jr), (volume 2), de Maurice D. Weir, 
Joel Hass, Frank R. Giordano São Paulo: Addison Wesley, 2009. ) p. 287 a 295.
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Referências
FLEMMING, Diva Marília; GONCALVES, Miriam Buss. Cálculo A: funções, limite, derivação, 
integração. 6 ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. 5 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001-2002.
HUGHES-HALLET...[at all] Cálculo a uma e a várias variáveis, volume I e II. 5 ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2011.
LAPA, Nilton; Matemática Aplicada. São Paulo Saraiva, 2012.
STEWART, James. Cálculo 6. Ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010.
THOMAS JR., George B Et Al. Cálculo (de) george b. thomas jr. 12 ed. São Paulo: Addison-
Wesley, 2003.
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Anotações
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