UNIDADE VI - DERIVADAS PARCIAIS INTEGRAIS DUPLA

Prévia do material em texto

Cálculo Diferencial e 
Integral 
Derivadas Parciais / Integrais Duplas
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Esp. Clovis Jose Serra Damiano
Revisão Textual:
Profa. Esp. Márcia Ota 
5
• Derivadas Parciais
• Regra da Cadeia
• Integrais Duplas
Ao término deste estudo, desejamos que você seja capaz de calcular derivadas parciais em um 
ponto, utilizando a regra da cadeia, bem como de entender e aplicar o conceito de integrais 
duplas para o cálculo de volume.
Para ajudá-lo, realize a leitura dos textos indicados, acompanhe e refaça os exemplos resolvidos, 
além de treinar com as “Atividades Práticas”, disponíveis e suas resoluções ao final do conteúdo. 
Não deixe de assistir, também, à apresentação narrada do conteúdo e de alguns exercícios resolvidos.
Finalmente, e o mais importante, fique atento às atividades avaliativas propostas e ao prazo de 
realização e envio.
 · Nesta Unidade, vamos ampliar o conceito de derivadas 
parciais, que foi introduzido na unidade anterior. Com 
isso, trabalharemos a ideia de integrais definidas para 
integrais duplas.
Derivadas Parciais / Integrais Duplas
• Cálculo de áreas usando integrais duplas
6
Unidade: Derivadas Parciais / Integrais Duplas
Contextualização
Sugerimos que assistam ao filme: Piratas da Informática, que mostra como o cofundador 
da Apple, Steve Jobs, e o cofundador da Microsoft, Bill Gates, mudaram o jeito das pessoas 
viverem e se comunicarem criando as duas maiores empresas de informática do mundo e seus 
sistemas operacionais.
O filme utiliza conceitos importantes para engenharia de: empreendedorismo, administração, 
economia e gestão de negócios que serão muito utilizados na vida profissional de um engenheiro 
de produção os quais podem ser modelados através do Cálculo Diferencial e Integral.
7
Derivadas Parciais
Na unidade anterior, fizemos uma introdução ao estudo das derivadas parciais: seu significado, 
a notação utilizada e a representação gráfica. Vale salientar que as derivadas parciais serão 
utilizadas quando nos interessa a taxa de variação de uma função com várias variáveis. Quando 
são fixadas todas as variáveis independentes de uma função, exceto uma, e deriva-se em relação 
a essa variável, e obtém-se uma derivada parcial.
Vamos ver como as derivadas parciais aparecem e como são calculadas.
As definições f fex y
∂ ∂
∂ ∂ fornecem duas maneiras diferentes de derivar a função f em um ponto: 
em relação a x tratando y como uma constante e em relação a y tratando x como uma constante. 
Os valores dessas derivadas parciais geralmente são diferentes no ponto dado (x0, y0).
Derivada Parcial em um Ponto
Determine os valores das derivadas parciais em relação a x e em relação a y, no ponto 
(4, -5), se ( ) 2, 3 1f x y x xy y= + + − .
Nosso primeiro passo será calcular a derivada parcial em relação a x e depois substituir os 
valores de x e y para achar a taxa de variação da função no ponto dado:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 1,x x xy yf x y x x x x
∂ ∂ ∂ ∂ −
= + + −∂ ∂ ∂ ∂
( ), 2 3 0 0xf x y x y= + = −
( ), 2 3xf x y x y= +
( ) ( ) ( )4, 5 2 4 3 5xf − = + −
( )4, 5 8 15 7xf − = − = −
Nosso próximo passo será calcular a derivada em relação a y e substituir os valores no 
ponto dado:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 1,y x xy yf x y y y y y
∂ ∂ ∂ ∂ −
= + + −∂ ∂ ∂ ∂
( ), 0 3 1 0yf x y x= + + −
( ), 3 1yf x y x= +
( ) ( )4, 5 3 4 1 13yf − = + =
8
Unidade: Derivadas Parciais / Integrais Duplas
Regra da Cadeia
Para funções de duas ou mais variáveis, a regra da cadeia possui várias formas, que 
dependem da quantidade de variáveis envolvidas. Vamos aprender a calcular pela regra da 
cadeia utilizando o diagrama da árvore.
Observe o diagrama a seguir: vamos supor que tenhamos uma função z que depende de x e 
de y. Por sua vez, a função x depende de t e de u a e função y depende apenas de u.
z
x
t
y
u t
z
x
∂
∂
z
y
∂
∂
x
t
∂
∂
x
u
∂
∂
y
t
∂
∂
Nosso objetivo será derivar a função z em relação à variável t.
Observem as setas pretas: saem do z e chega a t:
.z z dx
t x dt
∂ ∂
=∂ ∂
Mas temos outro caminho para chegar a t, saindo de z e passando por y, e, portanto, iremos 
somar as derivadas usando o caminho de y para chegar a t, caminho que está indicado pelas 
setas vermelhas.
. .z z dx z y
t x dt y t
∂ ∂ ∂ ∂
= +∂ ∂ ∂ ∂
Agora, se quisermos a derivada de z em relação à variável u, devemos seguir as setas verdes:
.y z x
x x u
∂ ∂ ∂
=∂ ∂ ∂
9
Exemplo:
Dadas as funções: 2 2 3, z x y x t e y t= = = , calcule z
t
∂
∂
.
dy
dt
z
x y
tt
z
x
∂
∂
z
y
∂
∂
dx
dt
Montado o diagrama da árvore, basta seguir as flechas, observando:
z depende de x e de y
x depende de t
y depende de t.
. .z z dx z dy
t x dt y dt
∂ ∂ ∂
= +∂ ∂ ∂
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 3
. .
x y d t x y d tz
t x dt y dt
∂ ∂∂
= +∂ ∂ ∂
2 22 .2 .3z xy t x t
t
∂
= +∂
2 24 3z xyt x t
t
∂
= +∂
Agora, vamos deixar tudo em função de t, uma vez que temos a informação de que x = t2
e y = t3 .
2 24 3z xyt x t
t
∂
= +∂
( )22 3 2 24 3z t t t t tt∂ = +∂
10
Unidade: Derivadas Parciais / Integrais Duplas
6 64 3z t t
t
∂
= +∂
67z t
t
∂
=∂
Integrais Duplas 
Como já foi visto anteriormente, a integral definida de uma função contínua f, em um 
intervalo [a,b] é dada como o limite das somas de Riemann e aprendemos a usar o Teorema 
Fundamental do Cálculo para efetuar esse cálculo. Nessa unidade, vamos ampliar esse conceito 
para definir a integral de uma função contínua de duas variáveis sobre uma região R do plano.
Integrais Duplas sobre Retângulos
Dada função f (x, y), definida em uma região plana e retangular R:
R: a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d (Figura 1)
Figura 1 
a
c
d
b x
y
Vamos subdividir R em pequenos retângulos, usando retas paralelas aos eixos x e y. (Figura 
2). Os tamanhos não precisam ser iguais.
Figura 2 
a
c
d
b x
y
11
Pegamos a região R e subdividimos em “n” pequenos retângulos. Note que “n” aumenta à 
medida que altura e a largura de cada retângulo diminuem, ou seja, se pegar a figura dois e 
subdividir em retângulos ainda menores. Esses retângulos formam uma partição de R. Um pedaço 
retangular (pintado em azul na figura 2) de comprimento ∆x e largura ∆y possui a seguinte área:
∆A = ∆x . ∆y
Se essas áreas forem numeradas particionando R em alguma ordem, suas áreas passam a 
ser dadas por: ∆A1,∆A2,∆A3…∆AK, em que ∆AK é a área do k-ésimo retângulo. Para formar uma 
soma de Riemann sobre R, escolhe-se um ponto (xk,yk) no k-ésimo retângulo e multiplica-se o 
valor de f nesse ponto pela área de ∆AK e somam-se os produtos:
( )
1
, .
n
n k k K
k
S f x y A
=
= ∆∑
Os valores de Sn dependerão da escolha de (xk, yk) no k-ésimo retângulo.
Nosso interesse é saber o que acontece às somas de Riemann, conforme a altura e largura 
dos pequenos retângulos na partição de R aproximam-se de zero.
A norma de uma partição é representada por ‖P‖ e é a maior largura ou altura de qualquer 
um dos retângulos que pertençam a partição. Se ‖P‖ = 0,05, todos os retângulos na partição 
de R, tem largura ou altura a, no máximo, 0,05.
Algumas vezes, as Somas de Riemann convergem à medida que a norma de P se aproxima 
de zero (‖P‖ → 0). O limite resultante é escrito:
( )
0
1
lim , .
n
k k kP
k
f x y A
→
=
∆∑
A medida que ‖P‖ → 0 (a norma da partição tende a zero) e os retângulos diminuem em 
altura e largura, o número “n” aumenta o que possibilita escrever esse limite como:
( )
1
lim , .
n
k k kn
k
f x y A
=
→∞
∆∑
Sabendo que ∆Ak → 0 conforme n → ∞ e ‖P‖ → 0.
A coleção de pequenos retângulos é definida pela rede de retas horizontais e verticais que 
determinam uma partição retangularde R. Em cada um desses pequenos retângulos, escolhe-
se um ponto (xk, yk) arbitrário, no qual f é calculada. Quando um limite da soma Sn existe e dá 
sempre o mesmo valor, independente das escolhas feitas, a função f é considerada integrável e 
o limite é considerado integral dupla de f em R.
As integrais duplas são muito utilizadas para o cálculo de volumes e o gráfico das funções 
que determinam uma região a ser integrada estão representadas em um gráfico de 3 dimensões.
O volume de um sólido é dado pela área da base × a altura.
12
Unidade: Derivadas Parciais / Integrais Duplas
A base de cada prisma é dada por uma pequena área no plano xy e altura dos primas é dada 
por z = f (x, y). O limite das somas dos infinitos prismas contidos na região que se quer integrar 
nos dá o volume total dessa região.
A notação que indica a integral dupla é:
( ), .
d b
c a
f x y dx dy∫∫
O diferencial mais externo (dy) refere-se à primeira integral.
Se invertermos os limites de integração, note que o diferencial muda também:
( ), .
b d
a c
f x y dy dx∫∫
Integrais Duplas de Regiões Não Retangulares
Vamos identificar essas regiões quando elas são limitadas por barras verticais (Tipo 1) e 
quando são limitadas por barras horizontais (Tipo 2).
Em ambos os casos, uma das variáveis funcionará como constante.
Figura 3
 Tipo 1 
a
f(x)
g(x)
b x
y
Temos representado na figura 3 uma região limitada por barras verticais, e. Nesse caso, x 
funciona como constante e y como função.
Nosso próximo passo é identificar como x e y variam ( do menor para o maior):
a ≤ x ≤ b
f(x) ≤ y ≤ g(x)
13
Vamos denotar a integral dupla, lembrando que os limites da constante devem ficar na 
parte mais externa:
( )
( )
( ), .
g xb
a f x
z x y dy dx∫ ∫
Figura 4
 Tipo 2 
i(y)h(y)
c
d
x
y
Temos representado na figura 4 uma região limitada por barras horizontais. Nesse caso, y 
funciona como constante e x como função.
Nosso próximo passo é identificar como x e y variam ( do menor para o maior):
h(y)≤ x ≤ i(y)
c ≤ y ≤ d
Vamos denotar a integral dupla, lembrando que os limites da constante devem ficar na parte 
mais externa:
( )
( )
( ), .
i yd
c h y
z x y dx dy∫ ∫
Cálculo de áreas usando integrais duplas
Notação:
R
A dxdy= ∫ ∫
Calcule a área retangular R:
14
Unidade: Derivadas Parciais / Integrais Duplas
Figura 5 
y
62
2
4
x
z
A área da região R é dada por: 
R
A dxdy= ∫ ∫
Nosso próximo passa é identificar como a região está delimitada:
2 4
2 6
x
R
y
≤ ≤
=  ≤ ≤
Vamos colocar os limites de integração:
4 6
2 2
A dydx= ∫∫
[ ]
4
6
2
2
A dx y= ∫
[ ]
4
2
6 2A dx= −∫
4
2
4A dx= ∫
[ ]424A x=
A = [4 . 4 - 4 . 2]
A = 16 - 8 = 8
Resposta: A área da região R mede 8 unidades de medida de área.
15
Exemplo 1:
Determine a região limitada pelas curvas y = x3 e y = 4x, no 1º quadrante.
Figura 6 
R
0
4x
2
x3y
A área da região que se deseja calcular está definida entre as curvas 4x e x3. Já vimos 
anteriormente que, para efetuar o cálculo dessa área, podemos usar as integrais duplas, 
estabelecendo os limites de integração.
[ ]
( )
3
3
3
2 4
0
2
4
0
2
3
0
0 2
x 4
4
R
x
x
x
x
A dxdy
x
R
y x
A dydx
A dx y
A x x dx
=
≤ ≤
=  ≤ ≤
=
=
= −
∫
∫
∫
∫
∫
∫
Vamos integrar em relação à variável x para determinar a área da região de nosso interesse.
( ) ( ) ( ) ( )
[ )
2 22 4 4
2
0 0
4 4
2 2
4 2
2 4 4
2 0
2. 2 2. 0
4 4
8 4 0 4
x x xA A x
A
A
   
= − → = −      
     = − − −        
= − − =
16
Unidade: Derivadas Parciais / Integrais Duplas
Cálculo de Volume com Integrais Duplas
Aprendemos a calcular uma região do plano, utilizando as integrais duplas. Nosso objetivo, 
agora, será calcular o volume utilizando integral dupla.
Observe a figura 7.
Figura 7 
y
z = f (x,y)
x
z
No plano xy , temos uma determinada região pintada em amarelo, que é a “sombra” da 
função z representada no espaço; na verdade, uma superfície de forma arredondada.
O volume da figura que se forma, unindo a região do plano xy com a superfície acima é dada por:
( ), . .i jV f x y x y= ∆ ∆
Ou ainda:
( ),RV f x y dxdy= ∫ ∫
Se x + y + z = 3 , então:
Isolando cada letra teremos:
3 
3 
3 
z x y plano xy
y x x plano xz
x y z plano yz
= − − →
= − − →
= − − →
Figura 8
y
3
3
3
x
z
17
Exemplo 1
Determinar o volume do sólido determinado pelos planos coordenados pelo plano x+y+x=3, 
no 1º octante.
Figura 9 
y
3
3
3
x
z 
x
3
3
y
R
Para calcular o volume do sólido representado da figura 9 (mais à esquerda), teremos que 
multiplicar sua base (∆x.∆y) , pois sua altura é dada pela função z.
Sabemos que:
x + y + z = 3
Portanto:
z = 3 - x - y
Para calcular o volume, usaremos:
z = 4 - x24
6
2
R
6
2
3 3
0 0
0 3
0 3
x
x
R
y x
V zdydx
−
≤ ≤
=  ≤ ≤ −
= ∫ ∫
Sabemos que z = 3 - x - y, portanto:
( )
3 3
0 0
3
x
V x y dydx
−
= − −∫ ∫
18
Unidade: Derivadas Parciais / Integrais Duplas
Agora, é só resolver a integral dupla:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
33 2
0 0
2 23
0
3 2
2
0
3 2
2
0
3 2 2
0
3 32
0 0
3
2
3 0
[(3 3 3 ) 3 0 0 ]
2 2
9 69 3 3 0
2
9 69 6
2 2 2
18 12 2 9 6
2
9 6 9
2 2
x
yV dx y xy
x
V dx x x x x
x xV dx x x x
x xV dx x x
x x x xV dx
x xV dx dx
− 
= − −  
 
−
= − − − − − − −  
  
− +
= − − + − −    
 
= − + − + +  
 
− + − + +
=   
 − +
= =  
∫
∫
∫
∫
∫
∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
3 2
0
3 32 3 2 3
0 0
2 3 2 3
6
2 2
9 3
2 2
9 3 9 3
2 2 6 2 2 6
3 3 3 3 0 09 93 0
2 2 6 2 2 6
27 27 27 9
2 2 6 2
x x
xV x dx
x x x xV x V x
V
V
 
− +  
 
= − +  
      
= − + → = − +            
     = − + − − +        
= − + =
∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
33 2
0 0
2 23
0
3 2
2
0
3 2
2
0
3 2 2
0
3 32
0 0
3
2
3 0
[(3 3 3 ) 3 0 0 ]
2 2
9 69 3 3 0
2
9 69 6
2 2 2
18 12 2 9 6
2
9 6 9
2 2
x
yV dx y xy
x
V dx x x x x
x xV dx x x x
x xV dx x x
x x x xV dx
x xV dx dx
− 
= − −  
 
−
= − − − − − − −  
  
− +
= − − + − −    
 
= − + − + +  
 
− + − + +
=   
 − +
= =  
∫
∫
∫
∫
∫
∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
3 2
0
3 32 3 2 3
0 0
2 3 2 3
6
2 2
9 3
2 2
9 3 9 3
2 2 6 2 2 6
3 3 3 3 0 09 93 0
2 2 6 2 2 6
27 27 27 9
2 2 6 2
x x
xV x dx
x x x xV x V x
V
V
 
− +  
 
= − +  
      
= − + → = − +            
     = − + − − +        
= − + =
∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
33 2
0 0
2 23
0
3 2
2
0
3 2
2
0
3 2 2
0
3 32
0 0
3
2
3 0
[(3 3 3 ) 3 0 0 ]
2 2
9 69 3 3 0
2
9 69 6
2 2 2
18 12 2 9 6
2
9 6 9
2 2
x
yV dx y xy
x
V dx x x x x
x xV dx x x x
x xV dx x x
x x x xV dx
x xV dx dx
− 
= − −  
 
−
= − − − − − − −  
  
− +
= − − + − −    
 
= − + − + +  
 − + − + +
=   
 − +
= =  
∫
∫
∫
∫
∫
∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
3 2
0
3 32 3 2 3
0 0
2 3 2 3
6
2 2
9 3
2 2
9 3 9 3
2 2 6 2 2 6
3 3 3 3 0 09 93 0
2 2 6 2 2 6
27 27 27 9
2 2 6 2
x x
xV x dx
x x x xV x Vx
V
V
 
− +  
 
= − +  
      
= − + → = − +            
     = − + − − +        
= − + =
∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
33 2
0 0
2 23
0
3 2
2
0
3 2
2
0
3 2 2
0
3 32
0 0
3
2
3 0
[(3 3 3 ) 3 0 0 ]
2 2
9 69 3 3 0
2
9 69 6
2 2 2
18 12 2 9 6
2
9 6 9
2 2
x
yV dx y xy
x
V dx x x x x
x xV dx x x x
x xV dx x x
x x x xV dx
x xV dx dx
− 
= − −  
 
−
= − − − − − − −  
  − +
= − − + − −    
 
= − + − + +  
 − + − + +
=   
 − +
= =  
∫
∫
∫
∫
∫
∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
3 2
0
3 32 3 2 3
0 0
2 3 2 3
6
2 2
9 3
2 2
9 3 9 3
2 2 6 2 2 6
3 3 3 3 0 09 93 0
2 2 6 2 2 6
27 27 27 9
2 2 6 2
x x
xV x dx
x x x xV x V x
V
V
 
− +  
 
= − +  
      
= − + → = − +            
     = − + − − +        
= − + =
∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
33 2
0 0
2 23
0
3 2
2
0
3 2
2
0
3 2 2
0
3 32
0 0
3
2
3 0
[(3 3 3 ) 3 0 0 ]
2 2
9 69 3 3 0
2
9 69 6
2 2 2
18 12 2 9 6
2
9 6 9
2 2
x
yV dx y xy
x
V dx x x x x
x xV dx x x x
x xV dx x x
x x x xV dx
x xV dx dx
− 
= − −  
 
−
= − − − − − − −  
  − +
= − − + − −    
 
= − + − + +  
 − + − + +
=   
 − +
= =  
∫
∫
∫
∫
∫
∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
3 2
0
3 32 3 2 3
0 0
2 3 2 3
6
2 2
9 3
2 2
9 3 9 3
2 2 6 2 2 6
3 3 3 3 0 09 93 0
2 2 6 2 2 6
27 27 27 9
2 2 6 2
x x
xV x dx
x x x xV x V x
V
V
 
− +  
 
= − +  
      
= − + → = − +            
     = − + − − +        
= − + =
∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
33 2
0 0
2 23
0
3 2
2
0
3 2
2
0
3 2 2
0
3 32
0 0
3
2
3 0
[(3 3 3 ) 3 0 0 ]
2 2
9 69 3 3 0
2
9 69 6
2 2 2
18 12 2 9 6
2
9 6 9
2 2
x
yV dx y xy
x
V dx x x x x
x xV dx x x x
x xV dx x x
x x x xV dx
x xV dx dx
− 
= − −  
 
−
= − − − − − − −  
  
− +
= − − + − −    
 
= − + − + +  
 − + − + +
=   
 − +
= =  
∫
∫
∫
∫
∫
∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
3 2
0
3 32 3 2 3
0 0
2 3 2 3
6
2 2
9 3
2 2
9 3 9 3
2 2 6 2 2 6
3 3 3 3 0 09 93 0
2 2 6 2 2 6
27 27 27 9
2 2 6 2
x x
xV x dx
x x x xV x V x
V
V
 
− +  
 
= − +  
      
= − + → = − +            
     = − + − − +        
= − + =
∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
33 2
0 0
2 23
0
3 2
2
0
3 2
2
0
3 2 2
0
3 32
0 0
3
2
3 0
[(3 3 3 ) 3 0 0 ]
2 2
9 69 3 3 0
2
9 69 6
2 2 2
18 12 2 9 6
2
9 6 9
2 2
x
yV dx y xy
x
V dx x x x x
x xV dx x x x
x xV dx x x
x x x xV dx
x xV dx dx
− 
= − −  
 
−
= − − − − − − −  
  
− +
= − − + − −    
 
= − + − + +  
 − + − + +
=   
 − +
= =  
∫
∫
∫
∫
∫
∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
3 2
0
3 32 3 2 3
0 0
2 3 2 3
6
2 2
9 3
2 2
9 3 9 3
2 2 6 2 2 6
3 3 3 3 0 09 93 0
2 2 6 2 2 6
27 27 27 9
2 2 6 2
x x
xV x dx
x x x xV x V x
V
V
 
− +  
 
= − +  
      
= − + → = − +            
     = − + − − +        
= − + =
∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
33 2
0 0
2 23
0
3 2
2
0
3 2
2
0
3 2 2
0
3 32
0 0
3
2
3 0
[(3 3 3 ) 3 0 0 ]
2 2
9 69 3 3 0
2
9 69 6
2 2 2
18 12 2 9 6
2
9 6 9
2 2
x
yV dx y xy
x
V dx x x x x
x xV dx x x x
x xV dx x x
x x x xV dx
x xV dx dx
− 
= − −  
 
−
= − − − − − − −  
  
− +
= − − + − −    
 
= − + − + +  
 − + − + +
=   
 − +
= =  
∫
∫
∫
∫
∫
∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
3 2
0
3 32 3 2 3
0 0
2 3 2 3
6
2 2
9 3
2 2
9 3 9 3
2 2 6 2 2 6
3 3 3 3 0 09 93 0
2 2 6 2 2 6
27 27 27 9
2 2 6 2
x x
xV x dx
x x x xV x V x
V
V
 
− +  
 
= − +  
      
= − + → = − +            
     = − + − − +        
= − + =
∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
33 2
0 0
2 23
0
3 2
2
0
3 2
2
0
3 2 2
0
3 32
0 0
3
2
3 0
[(3 3 3 ) 3 0 0 ]
2 2
9 69 3 3 0
2
9 69 6
2 2 2
18 12 2 9 6
2
9 6 9
2 2
x
yV dx y xy
x
V dx x x x x
x xV dx x x x
x xV dx x x
x x x xV dx
x xV dx dx
− 
= − −  
 
−
= − − − − − − −  
  
− +
= − − + − −    
 
= − + − + +  
 − + − + +
=   
 − +
= =  
∫
∫
∫
∫
∫
∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
3 2
0
3 32 3 2 3
0 0
2 3 2 3
6
2 2
9 3
2 2
9 3 9 3
2 2 6 2 2 6
3 3 3 3 0 09 93 0
2 2 6 2 2 6
27 27 27 9
2 2 6 2
x x
xV x dx
x x x xV x V x
V
V
 
− +  
 
= − +  
      
= − + → = − +            
     = − + − − +        
= − + =
∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
33 2
0 0
2 23
0
3 2
2
0
3 2
2
0
3 2 2
0
3 32
0 0
3
2
3 0
[(3 3 3 ) 3 0 0 ]
2 2
9 69 3 3 0
2
9 69 6
2 2 2
18 12 2 9 6
2
9 6 9
2 2
x
yV dx y xy
x
V dx x x x x
x xV dx x x x
x xV dx x x
x x x xV dx
x xV dx dx
− 
= − −  
 
−
= − − − − − − −  
  
− +
= − − + − −    
 
= − + − + +  
 − + − + +
=   
 − +
= =  
∫
∫
∫
∫
∫
∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
3 2
0
3 32 3 2 3
0 0
2 3 2 3
6
2 2
9 3
2 2
9 3 9 3
2 2 6 2 2 6
3 3 3 3 0 09 93 0
2 2 6 2 2 6
27 27 27 9
2 2 6 2
x x
xV x dx
x x x xV x V x
V
V
 
− +  
 
= − +  
      
= − + → = − +            
     = − + − − +        
= − + =
∫
Exemplo 2:
Calcular o volume do sólido que está representado na figura 10, usando o conceito da 
integral dupla.
19
Trocando Ideias
É possível calcular esse volume usando a geometria plana, ou seja:
V = base x altura: 3 × 2 × 4 = 24. Porém, quando os sólidos forem formados por linhas curvas, a 
única forma de calcular seu volume é usando integrais.
Figura 10 
y
4
2
3
x
z
Para calcular o volume, observamos que x está limitado entre 0 e 3 e y entre 0 e 2 (observe 
nos eixos).
3 2
0 0
4. .V dy dx= ∫∫
Primeiro, resolve-se a integral interna e, depois, a integral de fora.
[ ]
( ) ( )
[ ]
[ ]
( ) ( )
3 2
0 0
3
2
0
0
3
2
0
0
3
2
0
0
3 3
0 0
3
0
3
0
[ 4. ]
 4
 4.2 4.0
 8 0
 8 8. 
8
8.3 8.0
24 .
V dx dy
V dx y
V dx
V dx
V dx V dx
V x
V
V unidades devolume
=
=
 = − 
= −
= → =
=
 = − 
=
∫ ∫
∫
∫
∫
∫ ∫
[ ]
( ) ( )
[ ]
[ ]
( ) ( )
3 2
0 0
3 3
0 0
[ 4. ]
 4
 4.2 4.0
 8 0
 8 8. 
8.3 8.0
24 .
V dx dy
V dx y
V dx
V dx
V dx V dx
V x
V unidades devolume
 = − 
= −
= → =
 = − 
∫ ∫
∫
∫
∫
∫ ∫
[ ]
( ) ( )
[ ]
[ ]
( ) ( )
3 2
0 0
3
2
0
0
3
2
0
0
3
2
0
0
3 3
0 0
3
0
3
0
[ 4. ]
 4
 4.2 4.0
 8 0
 8 8. 
8
8.3 8.0
24 .
V dx dy
V dx y
V dx
V dx
V dx V dx
V x
V
V unidades devolume
=
=
 = − 
= −
= → =
=
 = −
=
∫ ∫
∫
∫
∫
∫ ∫
[ ]
( ) ( )
[ ]
[ ]
( ) ( )
3 2
0 0
3
2
0
0
3
2
0
0
3
2
0
0
3 3
0 0
3
0
3
0
[ 4. ]
 4
 4.2 4.0
 8 0
 8 8. 
8
8.3 8.0
24 .
V dx dy
V dx y
V dx
V dx
V dx V dx
V x
V
V unidades devolume
=
=
 = − 
= −
= → =
=
 = − 
=
∫ ∫
∫
∫
∫
∫ ∫
[ ]
( ) ( )
[ ]
[ ]
( ) ( )
3 2
0 0
3
2
0
0
3
2
0
0
3
2
0
0
3 3
0 0
3
0
3
0
[ 4. ]
 4
 4.2 4.0
 8 0
 8 8. 
8
8.3 8.0
24 .
V dx dy
V dx y
V dx
V dx
V dx V dx
V x
V
V unidades devolume
=
=
 = − 
= −
= → =
=
 = − 
=
∫ ∫
∫
∫
∫
∫ ∫
20
Unidade: Derivadas Parciais / Integrais Duplas
[ ]
( ) ( )
[ ]
[ ]
( ) ( )
3 2
0 0
3
2
0
0
3
2
0
0
3
2
0
0
3 3
0 0
3
0
3
0
[ 4. ]
 4
 4.2 4.0
 8 0
 8 8. 
8
8.3 8.0
24 .
V dx dy
V dx y
V dx
V dx
V dx V dx
V x
V
V unidades devolume
=
=
 = − 
= −
= → =
=
 = − 
=
∫ ∫
∫
∫
∫
∫ ∫
[ ]
( ) ( )
[ ]
[ ]
( ) ( )
3 2
0 0
3
2
0
0
3
2
0
0
3
2
0
0
3 3
0 0
3
0
3
0
[ 4. ]
 4
 4.2 4.0
 8 0
 8 8. 
8
8.3 8.0
24 .
V dx dy
V dx y
V dx
V dx
V dx V dx
V x
V
V unidades devolume
=
=
 = − 
= −
= → =
=
 = − 
=
∫ ∫
∫
∫
∫
∫ ∫
[ ]
( ) ( )
[ ]
[ ]
( ) ( )
3 2
0 0
3
2
0
0
3
2
0
0
3
2
0
0
3 3
0 0
3
0
3
0
[ 4. ]
 4
 4.2 4.0
 8 0
 8 8. 
8
8.3 8.0
24 .
V dx dy
V dx y
V dx
V dx
V dx V dx
V x
V
V unidades devolume
=
=
 = − 
= −
= → =
=
 = − 
=
∫ ∫
∫
∫
∫
∫ ∫
Exemplo 3:
Calcule: ( ) 8 2R y dA−∫ ∫ , sendo R = [0,3] × [0,4].
O exercício pede o cálculo de uma integral dupla, ou o volume do prisma formado pelas 
combinações abaixo:
8 2 
 
y é a funçãoquedaaalturado prisma
dA áreadabasedo prisma
− →
→
( )
( ) ( )
[ ]
[ ]
[ ]
3 4
0 0
43 2
0 0
3
42
0
0
3 42 2
0
0
3
4
0
0
3 3
0 0
3
0
0
8 2 
 
8 2 .
28
2
8
8.4 4 8.0 0
16 0
.16 16
16
16.3 16.0
y é a funçãoquedaaalturado prima
dA áreadabasedo prisma
V y dy dx
yV dx y
V dx y y
V dx
V dx
V dx V dx
V x
V
− →
→
= −
 
= −  
 = − 
 = − − − 
= −
= → =
=
= −
∫∫
∫
∫
∫
∫
∫ ∫
3
48 V unidades demedidadevolume=
( )
( ) ( )
[ ]
[ ]
[ ]
3 4
0 0
43 2
0 0
3
42
0
0
3 42 2
0
0
3
4
0
0
3 3
0 0
3
0
0
8 2 
 
8 2 .
28
2
8
8.4 4 8.0 0
16 0
.16 16
16
16.3 16.0
y é a funçãoquedaaalturado prima
dA áreadabasedo prisma
V y dy dx
yV dx y
V dx y y
V dx
V dx
V dx V dx
V x
V
− →
→
= −
 
= −  
 = − 
 = − − − 
= −
= → =
=
= −
∫∫
∫
∫
∫
∫
∫ ∫
3
48 V unidades demedidadevolume=
( )
( ) ( )
[ ]
[ ]
[ ]
3 4
0 0
43 2
0 0
3
42
0
0
3 42 2
0
0
3
4
0
0
3 3
0 0
3
0
0
8 2 
 
8 2 .
28
2
8
8.4 4 8.0 0
16 0
.16 16
16
16.3 16.0
y é a funçãoquedaaalturado prima
dA áreadabasedo prisma
V y dy dx
yV dx y
V dx y y
V dx
V dx
V dx V dx
V x
V
− →
→
= −
 
= −  
 = − 
 = − − − 
= −
= → =
=
= −
∫∫
∫
∫
∫
∫
∫ ∫
3
48 V unidades demedidadevolume=
( )
( ) ( )
[ ]
[ ]
[ ]
3 4
0 0
43 2
0 0
3
42
0
0
3 42 2
0
0
3
4
0
0
3 3
0 0
3
0
0
8 2 
 
8 2 .
28
2
8
8.4 4 8.0 0
16 0
.16 16
16
16.3 16.0
y é a funçãoquedaaalturado prima
dA áreadabasedo prisma
V y dy dx
yV dx y
V dx y y
V dx
V dx
V dx V dx
V x
V
− →
→
= −
 
= −  
 = − 
 = − − − 
= −
= → =
=
= −
∫∫
∫
∫
∫
∫
∫ ∫
3
48 V unidades demedidadevolume=
( )
( ) ( )
[ ]
[ ]
[ ]
3 4
0 0
43 2
0 0
3
42
0
0
3 42 2
0
0
3
4
0
0
3 3
0 0
3
0
0
8 2 
 
8 2 .
28
2
8
8.4 4 8.0 0
16 0
.16 16
16
16.3 16.0
y é a funçãoquedaaalturado prima
dA áreadabasedo prisma
V y dy dx
yV dx y
V dx y y
V dx
V dx
V dx V dx
V x
V
− →
→
= −
 
= −  
 = − 
 = − − − 
= −
= → =
=
= −
∫∫
∫
∫
∫
∫
∫ ∫
3
48 V unidades demedidadevolume=
( )
( ) ( )
[ ]
[ ]
[ ]
3 4
0 0
43 2
0 0
3
42
0
0
3 42 2
0
0
3
4
0
0
3 3
0 0
3
0
0
8 2 
 
8 2 .
28
2
8
8.4 4 8.0 0
16 0
.16 16
16
16.3 16.0
y é a funçãoquedaaalturado prima
dA áreadabasedo prisma
V y dy dx
yV dx y
V dx y y
V dx
V dx
V dx V dx
V x
V
− →
→
= −
 
= −  
 = − 
 = − − − 
= −
= → =
=
= −
∫∫
∫
∫
∫
∫
∫ ∫
3
48 V unidades demedidadevolume=
( )
( ) ( )
[ ]
[ ]
[ ]
3 4
0 0
43 2
0 0
3
42
0
0
3 42 2
0
0
3
4
0
0
3 3
0 0
3
0
0
8 2 
 
8 2 .
28
2
8
8.4 4 8.0 0
16 0
.16 16
16
16.3 16.0
y é a funçãoquedaaalturado prima
dA áreadabasedo prisma
V y dy dx
yV dx y
V dx y y
V dx
V dx
V dx V dx
V x
V
− →
→
= −
 
= −  
 = − 
 = − − − 
= −
= → =
=
= −
∫∫
∫
∫
∫
∫
∫ ∫
3
48 V unidades demedidadevolume=
( )
( ) ( )
[ ]
[ ]
[ ]
3 4
0 0
43 2
0 0
3
42
0
0
3 42 2
0
0
3
4
0
0
3 3
0 0
3
0
0
8 2 
 
8 2 .
28
2
8
8.4 4 8.0 0
16 0
.16 16
16
16.3 16.0
y é a funçãoquedaaalturado prima
dA áreadabasedo prisma
V y dy dx
yV dx y
V dx y y
V dx
V dx
V dx V dx
V x
V
− →
→
= −
 
= −  
 = − 
 = − − − 
= −
= → =
=
= −
∫∫
∫
∫
∫
∫
∫ ∫
3
48 V unidades demedidadevolume=
( )
( ) ( )
[ ]
[ ]
[ ]
3 4
0 0
43 2
0 0
3
42
0
0
3 42 2
0
0
3
4
0
0
3 3
0 0
3
0
0
8 2 
 
8 2 .
28
2
8
8.4 4 8.0 0
16 0
.16 16
16
16.3 16.0
y é a funçãoquedaaalturado prima
dA áreadabasedo prisma
V y dy dx
yV dx y
V dx y y
V dx
V dx
V dx V dx
V x
V
− →
→
= −
 
= −  
 = − 
 = − − − 
= −
= → =
=
= −
∫∫
∫
∫
∫
∫
∫ ∫
3
48 V unidades demedidadevolume=
21
Trocando Ideias
Caso esteja com muita dificuldade, reveja a forma de calcular 
integrais vista na unidade IV. Quando trabalhamos com as integrais 
definidas primeiro, encontra-se a primitiva da função e em seguida 
aplica-se o Teorema fundamental do cálculo: F(b) – F(a), isto é, a 
imagem do limite superior de integração menos a imagem do limite 
inferior de integração.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
.
.
b
b
a
a
b
a
f x dx F x
f x dx F b a
 =  
= −
∫
∫
Exemplo 4
Determine o volume do sólido limitado por: z = 4 - x2 e pelos números identificados na figura 11. 
Figura 11 
z = 4 - x24
6
2
R
6
2
Para calcular o volume do sólido representado na figura 11, temos primeiro que identificar a base 
(figura do lado direito). A área dessa figura será multiplicada pela altura (dado pela função z):
( ),RV f x y dxdy= ∫ ∫
Vamos identificar a região R:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 6
2
0 0
2
62
0
0
2
2 2
0
2
20
2
2
0
23
0
23
0
3 3
0 2
0 6
4
4
4(6 6 ) 4(0 0 )
24 6 0
(24 6 )
624
3
24 2
6 2 6 0
24 2 24 0
3 3
4848 0
3
x
R
y
V x dydx
V dx y x y
V dx x x
V dx x
V x dx
xV x
V x x
V
V
≤ ≤
=  ≤ ≤
= −
 = − 
 = − − − 
 = − − 
= −
 
= −  
 = − 
     = − − −        
 
= − −  
∫∫
∫
∫
∫
∫
 V 32 .unidades de medida de volume=
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 6
2
0 0
2
62
0
0
2
2 2
0
2
2
0
2
2
0
23
0
23
0
3 3
0 2
0 6
4
4
4(6 6 ) 4(0 0 )
24 6 0
(24 6 )
624
3
24 2
6 2 6 0
24 2 24 0
3 3
4848 0
3
x
R
y
V x dydx
V dx y x y
V dx x x
V dx x
V x dx
xV x
V x x
V
V
≤ ≤
=  ≤ ≤
= −
 = − 
 = − − − 
 = − − 
= −
 
= −  
 = − 
     = − − −        
 
= − −  
∫∫
∫
∫
∫
∫
 V 32 .unidades de medida de volume=
22
Unidade: Derivadas Parciais / Integrais Duplas
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 6
2
0 0
2
62
0
0
2
2 2
0
2
2
0
2
2
0
23
0
23
0
3 3
0 2
0 6
4
4
4(6 6 ) 4(0 0 )
24 6 0
(24 6 )
624
3
24 2
6 2 6 0
24 2 24 0
3 3
4848 0
3
x
R
y
V x dydx
V dx y x y
V dx x x
V dx x
V x dx
xV x
V x x
V
V
≤ ≤
=  ≤ ≤
= −
 = − 
 = − − − 
 = − − 
= −
 
= −  
 = − 
     = − − −        
 
= − −  
∫∫
∫
∫
∫
∫
 V 32 .unidades de medida de volume=
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 6
2
0 0
2
62
0
0
2
2 2
0
2
2
0
2
2
0
23
0
23
0
3 3
0 2
0 6
4
4
4(6 6 ) 4(0 0 )
24 6 0
(24 6 )
624
3
24 2
6 2 6 0
24 2 24 0
3 3
4848 0
3
x
R
y
V x dydx
V dx y x y
V dx x x
V dx x
V x dx
xV x
V x x
V
V
≤ ≤
=  ≤ ≤
= −
 = − 
 = − − − 
 = − − 
= −
 
= −  
 = − 
     = − − −        
 
= − −  
∫∫
∫
∫
∫
∫
 V 32 .unidades de medida de volume=
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 6
2
0 0
2
62
0
0
2
2 2
0
2
2
0
2
2
0
23
0
23
0
3 3
0 2
0 6
4
4
4(6 6 ) 4(0 0 )
24 6 0
(24 6 )
624
3
24 2
6 2 6 0
24 2 24 0
3 3
4848 0
3
x
R
y
V x dydx
V dx y x y
V dx x x
V dx x
V x dx
xV x
V x x
V
V
≤ ≤
=  ≤ ≤
= −
 = − 
 = − − − 
 = − − 
= −
 
= −  
 = − 
     = − − −        
 
= − −  
∫∫
∫
∫
∫
∫
 V 32 .unidades de medida de volume=
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 6
2
0 0
2
62
0
0
2
2 2
0
2
2
0
2
2
0
23
0
23
0
3 3
0 2
0 6
4
4
4(6 6 ) 4(0 0 )
24 6 0
(24 6 )
624
3
24 2
6 2 6 0
24 2 24 0
3 3
4848 0
3
x
R
y
V x dydx
V dx y x y
V dx x x
V dx x
V x dx
xV x
V x x
V
V
≤ ≤
=  ≤ ≤
= −
 = − 
 = − − − 
 = − − 
= −
 
= −  
 = − 
     = − − −        
 
= − −  
∫∫
∫
∫
∫
∫
 V 32 .unidades de medida de volume=
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 6
2
0 0
2
62
0
0
2
2 2
0
2
2
0
2
2
0
23
0
23
0
3 3
0 2
0 6
4
4
4(6 6 ) 4(0 0 )
24 6 0
(24 6 )
624
3
24 2
6 2 6 0
24 2 24 0
3 3
4848 0
3
x
R
y
V x dydx
V dx y x y
V dx x x
V dx x
V x dx
xV x
V x x
V
V
≤ ≤
=  ≤ ≤
= −
 = − 
 = − − − 
 = − − 
= −
 
= −  
 = − 
     = − − −        
 
= − −  
∫∫
∫
∫
∫
∫
 V 32 .unidades de medida de volume=
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 6
2
0 0
2
62
0
0
2
2 2
0
2
2
0
2
2
0
23
0
23
0
3 3
0 2
0 6
4
4
4(6 6 ) 4(0 0 )
24 6 0
(24 6 )
624
3
24 2
6 2 6 0
24 2 24 0
3 3
4848 0
3
x
R
y
V x dydx
V dx y x y
V dx x x
V dx x
V x dx
xV x
V x x
V
V
≤ ≤
=  ≤ ≤
= −
 = − 
 = − − − 
 = − − 
= −
 
= −  
 = − 
     = − − −        
 
= − −  
∫∫
∫
∫
∫
∫
 V 32 .unidades de medida de volume=
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 6
2
0 0
2
62
0
0
2
2 2
0
2
2
0
2
2
0
23
0
23
0
3 3
0 2
0 6
4
4
4(6 6 ) 4(0 0 )
24 6 0
(24 6 )
624
3
24 2
6 2 6 0
24 2 24 0
3 3
4848 0
3
x
R
y
V x dydx
V dx y x y
V dx x x
V dx x
V x dx
xV x
V x x
V
V
≤ ≤
=  ≤ ≤
= −
 = − 
 = − − − 
 = − − 
= −
 
= −  
 = − 
     = − − −        
 
= − −  
∫∫
∫
∫
∫
∫
 V 32 .unidades de medida de volume=
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 6
2
0 0
2
62
0
0
2
2 2
0
2
2
0
2
2
0
23
0
23
0
3 3
0 2
0 6
4
4
4(6 6 ) 4(0 0 )
24 6 0
(24 6 )
624
3
24 2
6 2 6 0
24 2 24 0
3 3
4848 0
3
x
R
y
V x dydx
V dx y x y
V dx x x
V dx x
V x dx
xV x
V x x
V
V
≤ ≤
=  ≤ ≤
= −
 = − 
 = − − − 
 = − − 
= −
 
= −  
 = − 
     = − − −        
 
= − −  
∫∫
∫
∫
∫
∫
 V 32 .unidades de medida de volume=
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 6
2
0 0
2
62
0
0
2
2 2
0
2
2
0
2
2
0
23
0
23
0
3 3
0 2
0 6
4
4
4(6 6 ) 4(0 0 )
24 6 0
(24 6 )
624
3
24 2
6 2 6 0
24 2 24 0
3 3
4848 0
3
x
R
y
V x dydx
V dx y x y
V dx x x
V dx x
V x dx
xV x
V x x
V
V
≤ ≤
=  ≤ ≤
= −
 = − 
 = − − − 
 = − − 
= −
 
= −  
 = − 
     = − − −        
 
= − −  
∫∫
∫
∫
∫
∫
 V 32 .unidades de medida de volume=
23
Material Complementar
Para aprofundar seus estudos sobre o estudo das derivadas parciais, consulte os sites e as 
referências a seguir:
 » http://www.youtube.com/watch?v=mFsgx121c_Y
 » http://www.youtube.com/watch?v=Sx8aITwC21g
 » http://www.youtube.com/watch?v=SuvnRBajSTc
 » http://www.youtube.com/watch?v=NxT-5K_jKiw
Outra indicação:
Capítulo 15 do livro Cálculo (George B. Thomas Jr), (volume 2), de Maurice D. Weir, 
Joel Hass, Frank R. Giordano São Paulo: Addison Wesley, 2009. ) Páginas 392 à 405.
24
Unidade: Derivadas Parciais / Integrais Duplas
Referências
FLEMMING, Diva Marília; GONCALVES, Miriam Buss. Cálculo A: funções, limite, derivação, 
integração. 6 ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. 5 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001-2002.
HUGHES-HALLET...[at all] Cálculo a uma e a várias variáveis, volume I e II. 5 ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2011.
LAPA, Nilton; Matemática Aplicada. São Paulo Saraiva, 2012.
STEWART, James. Cálculo 6. Ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010.
THOMAS JR., George B Et Al. Cálculo (de) George B. Thomas Jr. 12 ed. São Paulo: 
Addison-Wesley, 2003.
25
Anotações
www.cruzeirodosulvirtual.com.br
Campus Liberdade
Rua Galvão Bueno, 868
CEP 01506-000
São Paulo SP Brasil 
Tel: (55 11) 3385-3000