4 - Integral

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Cálculo Diferencial 
e Integral 
Integrais
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Esp. Clovis Jose Serra Damiano
Revisão Textual:
Prof. Ms.Claudio Brites
5
• Primitivas
• Valor inicial e Equações Diferenciais
• Diferencial de uma função
Ao término desse estudo, esperamos que você seja capaz de interpretar e conceituar uma 
integral, aplicar os métodos de integração para resolver problemas, saber distinguir uma 
integral definida de uma integral indefinida e interpretar a motivação geométrica no cálculo 
de uma integral.
Para ajudá-lo, realize a leitura dos textos indicados, acompanhe e refaça os exemplos 
resolvidos, além de treinar com as atividades práticas disponíveis, que apresentam suas 
resoluções ao final do conteúdo. 
Não deixe de assistir, também, a apresentação narrada do conteúdo e de fazer os 
exercícios resolvidos.
Finalmente, e o mais importante, fique atento às atividades avaliativas propostas e aos prazos 
de realização e envio. 
Nesta unidade, vamos trabalhar a segunda das duas grandes 
ideias do cálculo: a integração, que é o processo de recuperar 
uma função a partir de sua taxa de variação. Estudaremos ainda 
a motivação geométrica da área e como fazer o cálculo de uma 
área abaixo de uma curva.
Desenvolveremos técnicas para calcular integrais e 
aprenderemos a fazer a distinção entre uma integral definida 
e uma integral indefinida.
Integrais
• Integração
6
Unidade: Integrais
Contextualização
Custo Marginal e Variação no Custo Total
Se C(q) representa o custo de produção de q itens, a derivada de C´(q) representa o seu 
custo marginal. Então, podemos concluir que o custo marginal é a taxa de variação da função 
custo (C) em relação à quantidade.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos:
( )
b
a
C q dq′∫
A integral acima representa a variação total da função custo entre as quantidades a e b, ou 
seja, qual é o custo do aumento de produção de a para b unidades. Para produzir zero unidades, 
é igual ao custo fixo C(0). A área da região sob uma curva do custo marginal entre zero e b é o 
aumento de uma produção nula para uma produção de b unidades, e é chamada custo variável 
total. Somando-se a isso o custo fixo, obtêm-se o custo total de produção de b unidades.
Resumindo:
( ) C q CustoMarginal′ →
( )0 C CustoFixo→
O custo total de produção de “b” unidades é igual ao custo fixo mais o custo variável total. 
Portanto, o custo total de produção de b unidades CT (b) é:
( ) ( ) ( )0 .
b
T
a
C b C C q dq= ′+ ∫
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Primitivas
Até agora, tratamos do “problema das tangentes”. Dada uma curva, achar o coeficiente 
angular de sua tangente; ou, de modo equivalente, dada uma função, achar sua derivada. 
Newton e Leibniz descobriram que muitos problemas de Geometria e Física dependem de 
“derivação para trás” ou “antiderivação”. Esse é, às vezes, chamado problema inverso das 
tangentes: dada a derivada de uma função, achar a própria função. De agora em diante, 
trabalharemos com as mesmas regras de derivação; no entanto, aqui, essas regras são usadas 
no sentido contrário e levam em consideração a “integração” de polinômios.
Primitivação ou antiderivação é o processo de recuperar uma função por meio de sua 
derivada (taxa e variação instantâneas).
Uma função F cuja derivada (F’) é a função f chama-se primitiva de f.
Qual é a primitiva de f(x) = 2x?
Qual é a função que ao ser derivada dá 2x?
Mentalmente conseguimos resolver: a função que ao ser derivada dá f(x)=2x é a função F(x)= x2.
Para Pensar
Será que x2 é a única primitiva de 2x?
Observe as primitivas das funções a seguir:
F(x)=x2 é a primitiva de f(x)=2x.
F(x)=x2 + 1 é a primitiva de f(x)=2x.
F(x)=x2 + 2 é a primitiva de f(x)=2x.
F(x)=x2 + 3 é a primitiva de f(x)=2x.
F(x)=x2 + 4 é a primitiva de f(x)=2x.
Se F é uma primitiva de f em um intervalo I, então a primitiva mais geral de f em I é:
F(x)+ C
C = constante de integração ou constante arbitrária.
Ideias-chave
Ao calcular a primitiva de uma função f(x), o resultado será uma família de funções que diferem umas 
das outras por uma constante arbitrária “C”. Observe x2, x2 + 1.x2 + 2…, elas são das primitivas de 2x.
8
Unidade: Integrais
Ao calcular uma primitiva, encontraremos uma família de funções cujos gráficos são 
translações verticais uns dos outros.
Exemplo:
F(x)=x3+C
 O valor C é o local em que a função (linha colorida) corta o eixo do y. Na verde, C é igual a -2; 
na branca, é igual a -1; na amarela, é igual a zero; na vermelha, é igual a 1; e na azul, é igual a 2.
Fórmula para o cálculo de primitivas: 1
1
n
n xx C
n
+
= +
+
Exemplo:
( ) ( ) 3 13 
3 1
xf x x F x C
+
= → = +
+
( )F x C= +
9
Se você quiser saber se o cálculo de uma primitiva está correto, basta você derivar a 
primitiva: se o resultado for a função original, a primitiva encontrada estará correta.
Vamos analisar o nosso exemplo: 
Temos que 
4
(
4
) xF x C= + é a primitiva de f(x) = x3.
A derivada de F(x) tem que dar f(x) para estar correto. Então:
4
(
4
) xF x C= +
( ) 34 0
4
xF x′ = +
Observe que podemos cancelar o 4 do numerador com o 4 do denominador. A 
letra C representa uma constante (um número) e, como aprendemos na unidade 
anterior, a derivada de uma constante é zero, portanto:
F’ (X)=x3=f(x)
Conclusão, a derivada está correta.
Assim, a primitiva mais geral de F é uma família de funções que diferem por uma constante 
arbitrária. É possível selecionar nessa família de funções uma primitiva específica, atribuindo um 
valor à constante arbitrária C.
Exemplo:
Determine uma primitiva de f(x)=2x que satisfaça a condição F(0)=1.
Como já vimos anteriormente, a primitiva mais geral de f(x) é: 
F(x)=x2+C, que fornece todas as primitivas de f(x). Quando foi especificada uma condição, 
F(0)=1, está sendo determinado um valor específico para C, substituindo o F(0) na função, isto 
é, quando o x for zero, o F(x) = 1, é possível calcular o valor de C.
F(x)=x2+C
Fazendo a substituição:
1=02+C
C=1
A primitiva de f(x) = 2x que atende a condição F(0)=1 é:
F(x)=2x+1
10
Unidade: Integrais
Tabela de primitivas imediatas, sendo k uma constante diferente de zero:
Nº Função Primitiva Geral
1 xn
n 1x C
n 1
+
+
+
2 sen x -cos x+C
3 cos x sen x+C
4 ex ex
5 ekx kx
1 e C
k
+
6
1
x
ln|x|+C,x≠0
7 akx kx
1 a C, a 0 1
k ln a
ea+ > ≠
Determinando primitivas com o auxílio da tabela:
Exemplo 1: f(x)=x4
Vamos usar a fórmula 1: 
n 1x C
n 1
+
+
+
( ) 4 1
4 1
xF x C
+
= +
+
( ) 5
5
xF x C= +
Usa-se a letra maiúscula para representar a primitiva de uma função.
Exemplo: 
A função f(x) tem primitiva F(x).
A função g(x) tem primitiva G(x).
A função h(x) tem primitiva H(x).
E assim por diante.
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Exemplo 2:
( ) 1g x
x
=
Vamos usar a fórmula 1: 
n 1x C
n 1
+
+
+
, contudo, teremos que fazer alguns ajustes para usar 
essa regra: 
1
2x x= . 
Se passarmos o denominador para o numerador, o expoente ficará negativo, portanto:
( )
1
2g x x
−
=
( )
1 1
2
 1 1
2
xG x C
− +
= +
− +
( )
1
2 2
1 1
2
xG x C x C= + = +
Exemplo 3:
( ) h x sen x=
Vamos usar a fórmula 2: -cos x+C
H(x)= -cos x+C
Exemplo 4:
( ) cosi x x=
Vamos usar a fórmula 3: sen x+C
I(x)= sen x+C
( ) 2G x x C= +
12
Unidade: Integrais
Exemplo 5:
( ) 4xj x e−=
Vamos usar a fórmula: kx
1 e C
k
+
( ) 41
4
xJ x e C−= +
−
J(x)=-1/4 e^(-4x)+C
Exemplo 6:
( ) 3xk x =
Vamos usar a fórmula: kx1 a C, a 0 1
k ln a
ea+ > ≠
( ) 1 3
ln 3
xK x C = +  
Valor inicial e Equações Diferenciais
Achar a primitiva para uma função f(x) é o mesmo que encontraruma função y(x) que 
satisfaça a equação:
( )dy f x
dx
=
Essa equação é chamada de equação diferencial e envolve uma função desconhecida “y” 
que está sendo derivada (diferenciada). Para resolver essa equação, precisamos de uma função 
y(x) que a satisfaça, ou seja, achar uma função que ao ser derivada seja igual a f(x). Esse 
problema é resolvido achando a primitiva de f(x). Para fixar o valor da constante arbitrária “C” 
que compõe a fórmula da primitiva, é preciso especificar uma condição inicial que nos permita 
calcular o valor de C: y(x0 ) = y0. 
Exemplo: 
Determine a curva cujo coeficiente angular no ponto (x,y) é 3x2, sabendo que ela deve 
passar pelo ponto (1,-1).
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Temos aqui um exemplo que pode ser resolvido utilizando o problema do valor inicial. Os 
passos a seguir são:
1) Achar a primitiva da função;
2) Substituir na primitiva os valores da condição inicial para achar o valor da constante 
arbitrária;
3) Escrever a função da curva.
( ) 23f x x=
( ) ( ) ( )2 1 3 33 3 1 
2 1 3
x xF x C C F x x C Passo
+
= + = + → = +
+
( ) ( ) ( )33 1 1 1 1 2 2F x x C C C C Passo= + → − = + → − − = → = −
( ) ( )3 2 3 F x x Passo é a resposta= − →
A primitiva mais geral F(x) + C fornece a solução geral da equação diferencial 
( )dy f x
dx
= . A solução geral dá todas as soluções da equação diferencial, pois há 
infinitas soluções, uma para cada valor de C. Portanto, primeiro achamos a solução 
geral e depois a solução particular que satisfaça a condição inicial: y(x0)=y0.
O conjunto de todas as primitivas de f é a integral indefinida da função f em relação à variável 
x. A notação de integral indefinida é:
( ).f x dx∫
( ).f x dx∫é o simbolo da integral
f(x) é a função que está sendo integrada
dx indica a variável de integração
Calcular ou determinar a integral indefinida de uma função f(x) é achar a primitiva dessa 
função utilizando as regras descritas na tabela das primitivas imediatas.
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Unidade: Integrais
 
 Importante
Regras de linearidade para integrais indefinidas (primitivas)
Regra Função Primitiva Geral
Regra da multiplicação por 
constante ( ).kf x dx∫ ( ).k f x dx∫
 Regra da soma/subtração ( ) ( )( ).f x g x dx±∫ ( ) ( ). .f x dx g x dx±∫ ∫
Regra da multiplicação por uma constante
Se houver uma constante multiplicando uma função, é possível tirar a constante “para fora” 
do sinal de integração, achar a integral definida e multiplicar o resultado pela constante.
Exemplo: 27 .x dx∫
O número 7 é uma constante que está multiplicando x2, portanto, é possível tirar a constante 
para fora e integrar a função usando a regra de integração:
2 1 3
27 . 7( ) 7
2 1 3
x xx dx C C
+
= + → +
+∫
Regra da soma/subtração
A integral de uma soma (ou de uma diferença) é igual à soma (ou à diferença) de suas integrais.
Exemplo: 2( 3)x x dx+ −∫ 
Temos a integral de um polinômio, a regra em questão permite que façamos a integral de 
forma direta ou separando os termos.
Fazendo de forma direta:
( ) 1 1 3
1 1
xF x x C
+
= − +
+
( ) 3 2 3
3 2
x xF x x C= + − +
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Ideias-chave
Para resolver a integral, observe:
1. Quando se integra a função, o símbolo “∫“ some;
2. A função a ser integrada tinha uma constante, o número 3. Quando se integra uma constante, 
deve-se acrescentar a ela a variável de integração, nesse caso, a variável x.
Vamos verificar agora se a soma das integrais dará o mesmo resultado e assim confirmar 
a propriedade:
2 2( 3) . . 3.x x dx x dx x dx dx+ − = + −∫ ∫ ∫ ∫
Vamos resolver cada integral isoladamente:
2 1 3
2.
2 1 3
x xx dx C C
+
= + = +
+∫
1 1 2
.
1 1 2
x xx dx C C
+
= + = +
+∫
3. 3dx x C= +∫
Somando as três integrais, grifadas em amarelo, teremos:
( ) 3 2 3
3 2
x xF x C C x C= + + + − −
É possível cancelar um C, portanto o resultado dará exatamente igual à integração do 
polinômio sem separar os termos:
( ) 3 2 3
3 2
x xF x x C= + − +
 
 
Atenção
Ao se integrar uma função, podemos integrar cada parcela e deixar para acrescentar a 
constante arbitrária “C” apenas no final, que o resultado não se alterará.
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Unidade: Integrais
Diferencial de uma função
Se y = f(x) é uma função derivável, define-se como diferencial de y = f(x) como: dy=f´(x).∆x
dy = diferencial de y, ou seja, a variação de y.
∆x= acréscimo da variável independente, que indicamos por dx.
Na notação de Leibniz, a derivada de y em relação a x é indicada por: 
dy
dx
Definição:
Seja y = f(x) uma função derivável, a diferencial dx é uma variável independente e a 
diferencial dy (variável dependente) é: dy=f’ (x).dx
Observe:
dy é a variável dependente (depende de x e de dx).
dx é uma variável independente.
Se atribuirmos um número do domínio de f a x, um valor específico para dx, dy estará 
determinado.
Exemplo 1:
Determine dy se y = x5 + 37x
dy=f’ (x).dx
dy=(5x4+37).dx
Exemplo 2:
Determine dy quando x = 1 e dx = 0,2.
dy=(5x4+37).dx
dy=(5.(1)4+37)0,2=8,4
Chamam-se primitivas imediatas aquelas funções que conseguimos integrar diretamente 
com o auxílio da tabela que nos dá as fórmulas básicas de integração. Quando as funções 
ficam mais complexas, temos algumas técnicas para integrar essas funções e são alguns desses 
métodos que iremos aprender agora.
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Integração
Integração por substituição de variável
Usa-se a regra da cadeia de forma invertida. 
Se u = g(x) é uma função derivável cuja imagem é um intervalo I e f, é contínua em I, então:
( )( ) ( ) ( ). . .f g x g x dx f u du=′∫ ∫
Quando se busca uma integral indefinida, sempre temos que incluir uma constante 
arbitrária “C”. Distinção entre as integrais:
Integral definida ( ). ú .
b
a
f x dx n mero=∫ =número.
Integral indefinida ( ).f x dx∫ =função +uma constante arbitrária “C” .
Exemplo 1:
( )22 . 1x cos x dx+∫
Observe que existem duas funções sendo multiplicadas e é falso dizer que a solução se obtém 
integrando as funções isoladamente e multiplicando os resultados. A técnica para resolver esse 
tipo de integral é colocar outra variável, fazendo uma substituição de forma conveniente.
1) A função cos(x2+1) tem como variável x^2+1.
2) Vamos chamar x2+1 de u.
3) Vamos achar o diferencial de u: u=x2+1
du=2x.dx
Notem que, ao achar o diferencial de “u”, encontramos uma função idêntica na função que 
queremos integrar, o que permitirá a substituição da variável. Eis a função que queremos integrar:
( )22 . 1x cos x dx+∫ 
Podemos substituir x2 + 1 por u e 2x.dx por du.
18
Unidade: Integrais
Vamos reescrever a função na ordem em que faremos as substituições:
( )2 1 .2 .cos x x dx+∫
Fazendo as substituições:
.cosu du∫
A integral que temos agora é imediata, ou seja, conseguimos calcular com o auxílio da tabela.
( )F x senu C= +
Para concluir, basta substituir o valor de u:
( ) ( )2 1F x sen x C= + +
Exemplo 2:
2 .1
xCalcule dx
x +∫
Para “enxergar” melhor, vamos reescrever a função:
2
1 .
1
xdx
x +∫
2 1 2 .u x du x dx= + → =
Observe que é preciso substituir x.dx (grifado em amarelo). Ao calcular o diferencial, 
encontramos 2x.dx. Então, é preciso isolar o x.dx:
2
du xdx=
Agora podemos fazer as substituições adequadas:
2
1 1 1 1. . . .
1 2 2
duxdx du
x u u
= =
+∫ ∫ ∫
1 1
2
du
u∫
( ) 1
2
F x ln u C= +
19
Substituímos o valor de “u”:
( ) 21 1
2
F x ln x C= + +
Integrais: método de integração por partes
O método de integração por partes resolve o problema da integração de um produto 
quando o método da substituição (u/du) não funciona. A integral de um produto é diferente 
do produto das integrais.
Para calcular a integral de um produto, vamos aplicar a fórmula da integração por partes:
. . .u dv u v v du= −∫ ∫
Estratégiapara integração por partes
Integrar por partes é transferir o cálculo de uma integral ∫u.dv para o cálculo de uma integral 
∫v.du, que espera-se saber calcular. Ao integrar um produto f(x).g(x), ou seja, ∫[f(x).g(x)]dx, 
devemos escolher entre as duas funções:
• Uma delas como o fator u;
• E a outra como parte de uma diferencial dv.
Essa escolha deve ser feita de modo conveniente, para que essa manipulação recaia em uma 
integral mais simples, que nos permita fazer o cálculo. Sugerimos um critério para a escolha de 
u e v que foi publicado em uma antiga revista, American Mathematical Monthly. Considere o 
seguinte esquema de funções elementares:
L I A T E
Logarítmicas Inversas de Trigonométricas Algébricas Trigonométricas Exponenciais
No esquema acima, as letras do anagrama LIATE são iniciais de diferentes tipos de funções. 
Uma estratégia que funciona na maioria dos casos é:
• Escolher como função u a função que se posiciona mais à esquerda no anagrama;
• Escolher como dv a função que se posiciona mais à direita do anagrama.
20
Unidade: Integrais
Exemplo 1:
. .xe x dx∫
Temos a multiplicação de duas funções:
• Uma função exponencial (grifada em amarelo);
• Uma função algébrica (grifada em azul).
Usando o anagrama LIATE, verificamos que a função algébrica posiciona-se antes da função 
exponencial, portanto, vamos fazer as seguintes escolhas:
u=x
dv=ex.dx
Nossa ação agora será:
Achar o diferencial de u: u=x  du=dx
Integrar dv: ∫ex . dx  ex 
Agora é só aplicar a fórmula:
∫u . dv = u . v - ∫v . du
∫x . ex . dx = xex - ∫ex dx
∫x . ex . dx = xex - ex + C
Exemplo 2:
∫x lnx.dx
x  algébrica
lnx - logarítimica
No diagrama LIATE, a função logarítmica vem antes da função algébrica, portanto: 
1u lnx du dx
x
= → =
2 2
. .
2 2
x xdv x dx x dx v= → = → =∫
21
Substituir na fórmula da integração por partes:
. . .u dv u v v du= −∫ ∫
2 2 1 . . .
2 2
x xlnx x dx lnx dx
x
= −∫ ∫
2 21 . . .
2 2
x xlnx x dx lnx dx
x
= −∫ ∫
2 1 . .
2 2
xlnx x dx lnx x dx= −∫ ∫
2 21 . .
2 2 2
x xlnx x dx lnx C= − +∫
2 2
 . 
2 4
x xlnx x dx lnx C= − +∫
Ideias-chave
Após escolher quem será “u” (usando o diagrama LIATE), o que resta será o “dv”. O próximo passo 
é achar o diferencial de “u” e integrar ”dv”. Feito isso, basta substituir na fórmula de integração por 
partes para resolver o problema. Deixe para acrescentar “C” apenas no final da operação.
Integral Definida
Na Geometria clássica, o grande avanço foi à obtenção de fórmulas para determinar a área 
e o volume de triângulos, esferas e cones. O método que iremos estudar, a integração, serve 
para calcular a área e o volume dessas formas e de outras; mas vai além disso, pois também 
nos permite calcular quantidades que vão desde probabilidades e médias até, por exemplo, o 
consumo de energia e força atuantes contra as comportas de uma represa. A ideia básica da 
integração é que muitas quantidades podem ser quebradas em pedaços pequenos e depois se 
soma a contribuição que cada uma dessas partes dá. Integrais e derivadas estão intimamente 
relacionadas: a integral é a operação inversa da derivada. Em termos de área, a integral de uma 
função determina a área sob a curva dessa função no plano cartesiano.
22
Unidade: Integrais
Definição:
Seja f uma função contínua em um intervalo [a,b]. Dividiremos esse intervalo em n partes 
iguais de largura ∆x, sendo que ( ) b ax
n
∆
−
= . Vamos chamar de x_j um número pertencente 
ao j-ésimo intervalo, para j = 1,2,3 ...n. Nesse caso, a integral definida de f em [a,b], que é 
denotada por ( ).
b
a
f x dx∫ , é dada por:
( )
1
. lim ( )
b n
jn
ja
f x dx f x x
∞→+
=
 
= 
∆∑∫
Se esse limite existir, se uma função é contínua em um intervalo, então ela é integrável 
nesse intervalo.
Interpretação geométrica da integral
Seja y = f(x) contínua e positiva em um intervalo [a,b]. Dividiremos esses intervalos em n 
subintervalos de comprimentos iguais ( ) ( ) b a b ax
n n
 − − 
= =  ∆ de modo que a = a0 < a1 < a2 < ... 
< an = b. Seja xj um ponto qualquer no subintervalo [ ak-1, ak ], k = 1,2,3 ...n. Constrói-se em 
cada um desses subintervalos retângulos com base ∆x e altura f(xj). 
A soma das áreas dos n retângulos construídos é dada pelo somatório das áreas de cada um deles. 
â
1
 ( )
n
ret mgulos j
j
A f x x
=
 
= ∆  ∑
23
Intuitivamente é possível admitir que à medida que n cresce o ∆x diminui, e o somatório 
anterior vai convergindo para a área da região limitada pelo gráfico de f no intervalo [a,b], 
portanto, a área A dessa região é dada por:
1
 lim ( )
n
jn
j
A f x x
∞→+
=
 
= ∆  ∑
Perceba que esse limite é igual ao da definição de integral definida, ou seja, observa-se que a 
integral definida de uma função contínua e positiva, para x variando de a até b, fornece a área 
da região limitada pelo gráfico de f , pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b.
Na definição de integral definida, uma função contínua qualquer pode assumir valores 
negativos. Nesse caso, o produto de f(xj)∆x representa o negativo da área do retângulo. Se f(x) < 
0 para x ϵ [a,b], a área da região limitada pelo gráfico de f (pelo eixo x e x=a e x=b) é dada por:
( ).
b
a
f x dx−∫
Calcular uma integral definida por meio da definição em alguns casos é muito complexo ou, 
dependendo da função, até mesmo inviável. Para calcular as integrais definidas, utiliza-se um 
teorema que é considerado um dos mais importantes de cálculo.
Teorema Fundamental do Cálculo
Se y = f(x) é uma função contínua no intervalo [a,b] e F’(x) = f(x), isto é, F(x) é uma primitiva 
ou antiderivada de f(x), então:
( ) ( ) ( ) ( ). 
a
a
f x dx F x F b F a= = −∫
Ideias-chave
Notação: ∫a
b f (x) dx
∫  símbolo da integral
a  limite inferior de integração
b  limite superior de integração
f(x)  é o integrando
dx  ”x “ é a variável de integração
24
Unidade: Integrais
Propriedades das integrais definidas
Se f e g são funções contínuas no intervalo [a, b], então:
1) ( ) ( ) . . , é ;
b b
a a
c f x dx c f x dx em que c uma constante=∫ ∫ ,em que c é uma constante;
2) ( ) ( ) ( ) ( ). . . ;
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx ±  = ± ∫ ∫ ∫
3) ( ) [ ]0, , f x x a b≥ ∀ ò  ( ). 0
b
a
f x dx ≥∫ ;
4) ( ) ( ) [ ], , f x g x x a b≥ ∀ ò  ( ) ( ). .
b
a
f x dx g x dx≥∫
Exemplo 1:
Calcule a integral definida de f(x) = 2x + 1 no intervalo [1,2].
Vamos entender o problema:
1. O integrando é a função f(x);
2. Os limites de integração são dados pelo intervalo [1,2], respectivamente limite inferior e 
limite superior de integração.
Vamos indicar a operação:
( )
2
1
2 1 .x dx+∫
Para calcular essa integral definida, utilizaremos o Teorema Fundamental do Cálculo, que 
consiste em achar a primitiva dessa função [F(x)] e, em seguida, achar F(2) – F(1).
( )F x x C= + +
F(x)=x2+x+C
Achamos a primitiva da função, agora vamos calcular:
F(2) = (2)2+2+C = 6+C
F(1) = (1)2+1+C = 2+C
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Próximo passo:
F(2) - F(1)
6 + C - (2+C)
6 + C - 2 - C 
4
∫12 (2x+1). dx = 4
Trocando Ideias
Ao calcular uma integral definida, não é preciso preocupar-se com o valor da constante arbitrária, 
pois, ao fazermos F(b)-F(a), ela vai se cancelar.
Exemplo 2:
Calcule a área abaixo da curva de f(x) = -x2+4, no intervalo: [-1,1].
2 4.x dx− +∫
( ) 3 4
3
xF x x= − +
( ) ( ) ( )
31 1 111 4 1 4
3 3 3
F = − + = − + =
( ) ( ) ( )
31 1 111 4 1 4
3 3 3
F
−
− = − + = + − = −
( ) ( ) 11 11 221 1
3 3 3
F F  − − = − − =  
Exemplo 3:
Calcule:
3
2
1
( 4 )x x dx−∫
26
Unidade: Integrais
( )
3 24
3 2
x xF x = −
( ) 3 22
3xF x x= −
( ) ( ) ( )
3
233 2 3 9 18 9
3
F = − = − = −
( ) ( ) ( )
3
21 1 51 2 1 2
3 3 3
F = − = − = −
( ) ( ) 5 5 223 1 9 9
3 3 3
F F  − = − − − = − + = −  
Lembre-se que uma função definida abaixo do eixo x assume valores negativos e, nesses 
casos, encontraremos o “negativo” da área. Para saber o valor da área, basta multiplicar por -1.
3
2
1
22 22( 4 ) 1
3 3
x x dx  − = − − =  ∫
A área grifada da figura a seguir mostra a área (integral definida) que foi calculada.
y
x
1 3
27
Material Complementar
Para aprofundar seus estudos sobre os limites, consulte os sites e as 
referências a seguir:
• https://www.youtube.com/watch?v=0QeSkTuo2aE
• https://www.youtube.com/watch?v=CdEUV9mcEJ8
• https://www.youtube.com/watch?v=TPRt6MpP7R0
• https://www.youtube.com/watch?v=DFP20IRQ3mI
• https://www.youtube.com/watch?v=Covl8sgci7E
• https://www.youtube.com/watch?v=Covl8sgci7E
• https://www.youtube.com/watch?v=066aewMA338&list=PLD785E767CD25501A&src_
vid=myXmrEAq-NY&feature=iv&annotation_id=annotation_509607
Outra indicação
• É o capítulo 5 do livro Cálculo, de George B. Thomas Jr., volume 1, páginas de 355 até 407.
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Unidade: Integrais
Referências
FLEMMING, Diva Marília; GONCALVES, Miriam Buss. Cálculo A: funções, limite, 
derivação, integração. 6. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001/2002.
HUGHES-HALLET [et al.]. Cálculo a uma e a várias variáveis, volume I. 5. ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2011.
LAPA, Nilton. Matemática Aplicada. São Paulo Saraiva, 2012.
STEWART, James. Cálculo 6. Ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010.
THOMAS JR., George B Et Al. Cálculo (de) george b. thomas jr. 12. ed. São Paulo: Addison-
Wesley, 2003.
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Anotações
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