Gabarito P1 Fila A 2011

Prévia do material em texto

Gabarito	
  da	
  P1	
  –	
  Fila	
  A	
  	
  
QUESTÃO	
  1	
  a)	
  As	
  preferências	
  do	
  indivíduo	
  A	
  são	
  do	
  tipo	
  Cobb-­‐Douglas,	
  então	
  sabemos	
  que	
  dada	
  uma	
  função	
  de	
  utilidade	
  do	
  tipo	
  Cobb-­‐Douglas:	
  	
  	
  	
  	
  Podemos	
  escrever	
  as	
  demandas	
  ótimas	
  X*	
  e	
  Y*	
  como	
  sendo:	
  	
  No	
  caso	
  do	
  indivíduo	
  do	
  A,	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  No	
  caso	
  do	
  indivíduo	
  do	
  B,	
  as	
  preferências	
  são	
  do	
  tipo	
  Leontief,	
  aonde	
  a=b=1	
  :	
  
2121
1
2121
2
pp
R
apbp
bRX
pp
R
apbp
aRX
BB
B
BB
B
+
=
+
=
+
=
+
= 	
  
Lembrando-­‐se	
  que	
  a	
  renda	
  do	
  indivíduo	
  A	
  é	
  o	
  valor	
  de	
  mercado	
  de	
  sua	
  dotação	
  inicial	
  temos:	
  	
  	
  Lembrando-­‐se	
  que	
  a	
  renda	
  do	
  indivíduo	
  B	
  é	
  o	
  valor	
  de	
  mercado	
  de	
  sua	
  dotação	
  inicial	
  temos:	
  	
  	
  Uma	
  hipótese	
  usualmente	
  retida	
  nos	
  modelos	
  de	
  equilíbrio	
  geral	
  é	
  a	
  escolha	
  de	
  um	
  dos	
  bens	
  para	
  servir	
  como	
  numerário	
  (moeda),	
  assim	
  sendo	
  todos	
  os	
  bens	
  serão	
  medidos	
  em	
  relação	
  a	
  ele.	
  A	
  escolha	
  é	
  arbitrária,	
  e	
  assim	
  sendo	
  escolhemos	
  p1	
  =	
  1	
  (poderia	
  ser	
  escolhido	
  p2	
  =	
  1).	
  Nesse	
  caso,	
  as	
  rendas	
  se	
  tornam:	
  
2/1
2
2/1
121 XXXAXUA ==
βα
2
*
2
1
*
1 )()( p
RXe
p
RX AA
βα
β
βα
α
+
=
+
=
221
2
2
1
1 1010.0. pppWpWpR BBB =+=+=
121
2
2
1 100.10. pppWpWpR AAxA =+=+=
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  O	
  equilíbrio	
  nos	
  diz	
  (Demanda	
  Agregada	
  =	
  Oferta	
  Agregada)	
  :	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  A	
  Lei	
  de	
  Walras	
  nos	
  diz	
  que	
  se	
  existem	
  N	
  mercados	
  e	
  N-­‐1	
  estão	
  em	
  equilíbrio	
  então	
  o	
  n-­‐ésimo	
  (último)	
  mercado	
  estará	
  em	
  equilíbrio.	
  No	
  nosso	
  caso	
  N	
  =	
  2	
  (bens	
  x1	
  e	
  x2).	
  Portanto,	
  se	
  um	
  mercado	
  estiver	
  equilibrado,	
  o	
  último	
  também	
  estará	
  !	
  Podemos	
  escolher	
  para	
  resolver	
  o	
  equilíbrio	
  qualquer	
  dos	
  bens,	
  mas	
  a	
  dica	
  é	
  escolher	
  resolver	
  o	
  equilíbrio	
  para	
  o	
  mercado	
  do	
  bem	
  que	
  foi	
  fixado	
  com	
  numerário	
  para	
  facilitar	
  as	
  contas,	
  assim	
  nesse	
  caso,	
  vamos	
  resolver	
  para	
  o	
  bem	
  x:	
  	
  	
  	
  	
  	
  Mas,	
  repare	
  que:	
   	
  	
  	
  	
  	
  Substituindo	
  a	
  Renda	
  RA	
  e	
  RB	
  e	
  mais	
  o	
  preço	
  do	
  bem	
  x	
  pX	
  =	
  1,	
  temos:	
  	
  Assim:	
   	
  	
  	
  	
  	
  De	
  onde,	
  temos:	
  	
  
1010022222 =+=+=+⇒ BABA WWXXxBem
1001021111 =+=+=+⇒ BABA WWXXxBem
21
*1
1
*1
2 pp
RXe
p
RX BBAA +
==
2
2*1*1
1
.10
1
)10(
2
1
p
pXeX BA +
== 10
1
10530
2
211*1*1 =
+
+⇒=+=+
p
pWWXX BABA
100.10.1 2
2
2
1
1 =+=+= pWpWpR AAA
22
2
2
1
1 .1010.0.1 ppWpWpR BBB =+=+=
1001021111 =+=+=+⇒ BABA WWXXxBem
155101051510
1
105510
1
10)1(5
2222
2
22
2
22 =⇒=⇒+=+⇒=
+
++
⇒=
+
++ pppp
p
pp
p
pp 	
  	
  	
  	
   	
  	
  	
  	
  No	
  caso	
  indivíduo	
  do	
  A,	
  	
  	
   	
  	
  	
  	
  	
  	
  No	
  caso	
  indivíduo	
  do	
  B,	
  	
  	
  
5
11
10
5
11
10
2121
1
2121
2
=
+
=
+
=
+
=
=
+
=
+
=
+
=
pp
R
apbp
bRX
pp
R
apbp
aRX
BB
B
BB
B 	
  
	
  	
  	
  De	
  onde	
  podemos	
  constatar	
  o	
  equilíbrio:	
  	
   	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  b)	
  Pelo	
  Primeiro	
  Teorema	
  do	
  Bem	
  Estar,	
  todo	
  equilíbrio	
  é	
  eficiente	
  !	
  
5
1.2
10
2
5
2
10
2 2
*
1
* ===== = p
RYe
p
RX AAAA
1055 =+=+=+⇒ xB
x
ABA WWXXxBem
1055 =+=+=+⇒ yB
y
ABA WWYYyBem
100.10.1 2
2
2
1
1 =+=+= pWpWpR AAA
101.10.1010.0.1 22
2
2
1
1 ===+=+= ppWpWpR BBB
	
  	
  
	
  
QUESTÃO	
  2	
  	
  Para	
  termos	
  o	
  equilíbrio	
  no	
  mercado	
  de	
  fatores.	
  Sabemos	
  que	
  as	
  alocações	
  eficientes	
  em	
  uma	
  caixa	
  de	
  Edgeworth	
  são	
  obtidas	
  quando	
  as	
  isoquantas	
  de	
  produção	
  (cuja	
  inclinação	
  é	
  dada	
  pela	
  TMST)	
  são	
  tangentes.	
  A	
  condição	
  gráfica	
  e	
  a	
  algébrica	
  pode	
  ser	
  visto	
  abaixo.	
  	
  
	
  Da	
  curva	
  de	
  contrato	
  podemos,	
  obter	
  a	
  Fronteira	
  de	
  Possibilidades	
  de	
  Produção	
  (FPP).	
  Fazendo	
  corresponder	
  a	
  cada	
  ponto	
  eficiente	
  da	
  curva	
  de	
  contrato,	
  um	
  ponto	
  da	
  FPP,	
  como	
  os	
  pontos	
  1,	
  2	
  e	
  3.	
  	
  	
  	
  	
  	
  
C	
  
	
  A	
  tangência	
  implica:	
  TMSTCL,K	
  =	
  TMSTF	
  L,K	
  
1	
  
2	
  
3	
  
F	
  
	
  	
  	
  	
  
	
  	
  Para	
  o	
  equilíbrio	
  na	
  produção,	
  a	
  FPP	
  tem	
  que	
  ser	
  tangente	
  à	
  curva	
  de	
  indiferença	
  e	
  portanto,	
  vemos	
  que	
  TMSF,C	
  =	
  TMT	
  !	
  Mas,	
  lembre-­‐se	
  que	
  no	
  equilíbrio	
  devemos	
  ter	
  a	
  condição	
  algébrica:	
  	
  Essa	
   situação	
   pode	
   ser	
  representada	
  graficamente	
  como	
  segue:	
  	
  
2	
  
3	
  
F	
  
C	
  
Fronteira	
  de	
  Possibilidades	
  de	
  Produção	
  1	
  
F
C
CFCF p
pTMTTMS −== ,,
	
  
_
AU 	
  
_
AU 	
  
FPP	
  
	
  
	
  
O mapa de curva de indiferenças do indivíduo 
B foi girado 180º no sentido anti-horário de 
tal forma que a sua origem passou a ser o 
ponto de ótimo de produção (X*,Y*) criando 
uma caixa de Edgeworth de trocas puras como 
visto em nossa discussão anterior. Como girar 
o mapa de B 180º não alterar a inclinação da 
curva de indiferença, podemos ver que a 
tangência entre a FPP e a reta de preços irá 
determinar a inclinação da reta de preços que 
será tangente às curvas de indiferença. 
 
 
 
 
 
Y
X
p
p 	
  
Ponto de Ótimo do Consumo, 
aonde as TMS dos dois 
consumidores são iguais para 
os dois e igual aos preços. 
Y*	
  
Ponto de Ótimo da 
produção aonde a TMT 
iguala a relação de 
preços 
AY1 	
  
BY1 	
  
X	
  
Y	
  
X*	
  
AX1 	
   BX1 	
  
*
11 XXX
BA =+ 	
  
*
11 YYY
BA =+ 	
  
QUESTÃO	
  3	
  
	
  LA	
  =	
  48X	
  –	
  X2,	
  aonde	
  X	
  é	
  o	
  número	
  de	
  vôos	
  diários.	
  	
  L	
  I	
  =	
  60Y	
  –	
  Y2	
  -­‐	
  XY,	
  aonde	
  Y	
  é	
  o	
  número	
  de	
  moradias	
  	
  Repare	
  que	
  o	
  número	
  de	
  Vôos	
  diários	
  (X)	
  influencia	
  o	
  Lucro	
  do	
  Incorporador,	
  criando	
  uma	
  externalidade	
  !	
  
	
   (i) O	
  aeroporto	
  escolhe	
  o	
  número	
  de	
  vôos	
  diários	
  em	
  levar	
  em	
  consideração	
  o	
  efeito	
  sobre	
  o	
  incorporador	
  imobiliário.	
  Max	
  LA	
  =	
  48X	
  –	
  X2	
  	
  X	
  dLA/dX	
  =	
  48	
  –	
  2X,	
  de	
  onde	
  X*	
  =	
  24	
  	
  Max	
  60Y	
  –	
  Y2	
  -­‐	
  XY	
  	
  	
  Y	
  dLA/dY	
  =	
  60	
  –	
  2Y	
  -­‐X,	
  de	
  onde	
  Y*	
  =	
  30	
  –	
  X/2	
  =	
  30	
  –	
  12	
  =	
  18	
  	
  Com	
  isso	
  LA	
  =48X	
  –	
  X2	
  =	
  48.24	
  -­‐	
  242	
  =	
  576	
  e	
  L	
  I	
  =	
  60Y	
  –	
  Y2	
  –	
  XY	
  =	
  60.18	
  -­‐	
  182	
  –	
  24.18	
  =	
  324	
  Com	
  isso	
  LA	
  	
  +	
  L	
  I	
  =	
  576	
  +	
  324	
  =	
  900	
  
	
   (ii) O	
  aeroporto	
  escolhe	
  o	
  número	
  de	
  vôos	
  diários	
  levando	
  em	
  consideração	
  o	
  efeito	
  sobre	
  o	
  incorporador	
  imobiliário	
  e	
  assim	
  maximiza-­‐se	
  o	
  lucro	
  conjunto.	
  Max	
  LCONJ	
  =	
  LA	
  	
  +	
  LI	
  =	
  	
  (48X	
  –	
  X2)	
  +	
  (60Y	
  –	
  Y2	
  -­‐	
  XY)	
  	
  	
  X,Y	
  dLCONJ/dX	
  =	
  48	
  –	
  2X	
  -­‐	
  Y,	
  de	
  onde	
  X	
  =	
  24	
  –	
  Y/2	
  (A)	
  	
  dLCONJ/dY	
  =	
  60	
  –	
  2Y	
  -­‐	
  X,	
  de	
  onde	
  Y*	
  =	
  30	
  –	
  X/2	
  	
  (B)	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  Substituindo	
  (B)	
  em	
  (A),	
  achamos	
  X**	
  =	
  12	
  e	
  Y**	
  =	
  24	
  Com	
  isso	
  LA	
  =	
  48X	
  –	
  X2	
  =	
  48.12-­‐	
  122	
  =	
  432	
  e	
  L	
  I	
  =	
  60Y	
  –	
  Y2	
  –	
  XY	
  =	
  60.24	
  -­‐	
  242	
  –	
  12.24	
  =	
  576	
  Com	
  isso	
  LA	
  	
  +	
  L	
  I	
  =	
  576	
  +	
  432	
  =	
  1008	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  Repare	
  que	
  ao	
  levar	
  em	
  conta	
  a	
  externalidade,	
  	
  o	
  Lucro	
  Conjunto	
  aumenta,	
  ou	
  seja,	
  a	
  situação	
  é	
  	
  	
  	
  	
  eficiente	
  !	
   	
  
	
  
QUESTÃO	
  4	
  Repare	
   que	
   esse	
   problema	
   é	
   um	
   problema	
   de	
   recurso	
   comum.	
   Assim,	
   para	
   encontramos	
   a	
   escolha	
   o	
   número	
   de	
   garimpeiros	
   ótimo,	
   temos	
   que	
   resolver	
   o	
   problema	
   como	
   um	
  planejador	
  central	
  faria	
  como	
  o	
  único	
  proprietário	
  dessa	
  terra:	
  	
  
CMGRMGounCnfnn
n
nnnncQPMax
G
Goo
==−⇒=⇒=⇒=−−=
∂
∂
−−=−
,12440)('7012440
12)240(1.
*
2
π 	
  
	
  	
  
	
  Como	
  não	
  há	
  um	
  único	
  proprietário	
  de	
  terra,	
  cada	
  trabalhador,	
  olhando	
  de	
  sua	
  única	
  perspectiva	
  (privada)	
  entrará	
  até	
  que	
  a	
  sua	
  RMe	
  se	
  iguale	
  ao	
  custo	
  unitário	
  de	
  sua	
  entrada.	
  Como	
  todos	
  pensam	
  da	
  mesma	
  forma,	
  no	
  final	
  teremos	
  lucro=	
  0,	
  ou	
  RMe	
  =	
  CMe.	
  Isto	
  é,	
  o	
  número	
  efetivo	
  de	
  garimpeiros	
  será:	
  	
  	
  	
  
14282012240012)240(1 **222 =⇒=⇒=−−⇒=−−= nnnnnnnnnπ 	
  	
  Portanto	
  a	
  diferença	
  entre	
  o	
  número	
  efetivo	
  de	
  garimpeiros	
  e	
  o	
  número	
  ótimo	
  é	
  14	
  –	
  7	
  =	
  7.	
  
	
  	
  
	
  
n 
Ouro 
f(n) 
cGn 
incl. = 
f’(n*) 
n*=7 
GCn
nf
=**
** )(
f(n*) 
. 
n**=14