Funcoes inversas Trigonometricas

Prévia do material em texto

EP 10 – 2016-1 – GABARITO – Inversas-Seno-Cosseno Pré-Cálculo 
 
Página 1 de 6 
CEDERJ 
Gabarito – EP 10 
Pré-Cálculo 
 
_________________________________________________________________________ 
Exercício 1 
(a) Desenhe o círculo trigonométrico e marque o semicírculo que corresponde aos possíveis resultados da 
função 𝜃 = arcsen 𝑥. Marque os ângulos notáveis nesse semicírculo e os correspondentes valores do seno 
desses ângulos. Confira se você acertou, esse desenho está na página 2 desse EP11. Se não acertou, corrija 
os seus erros, isso é muito importante para fazer os cálculos dos próximos exercícios. 
(b) Faça a mesma coisa que fez no exercício anterior, agora para a função 𝜃 = arccos 𝑥. 
Resolução: 
(a) (b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
_________________________________________________________________________ 
Exercício 2: Calcule, se possível, os seguintes valores: 
(a) arcsen (
√2
2
) (b) arccos (−
√3
2
) (c) arcsen (−
1
2
) 
(d) arccos(−1) (e) sen (arccos (−
√3
2
)) (f) sen (arcsen (−
√2
2
)) 
(g) arccos (cos
7𝜋
2
) (h) sen(arcsen(0,8)) (i) cos (arccos (
2√5
5
)) 
 
Resolução: 
(a) arcsen (
√2
2
) =
𝜋
4
 (b) arccos (−
√3
2
) =
5𝜋
6
 (c) arcsen (−
1
2
) = −
𝜋
6
 (d) arccos(−1) = 𝜋 
(e) sen (arccos (−
√3
2
)) = sen (
5𝜋
6
) = sen (
𝜋
6
) =
1
2
 
(f) sen (arcsen (−
√2
2
)) = −
√2
2
, pois −1 < −
√2
2
< 0 < 1 e sen(arcsen 𝑥) = 𝑥 para todo −1 ≤ 𝑥 ≤ 1. 
(g) Primeiro observe que arccos (cos
7𝜋
2
) ≠
7𝜋
2
 pois 
7𝜋
2
∉ [0, 𝜋]. 
arccos (cos
7𝜋
2
) = arccos (cos (
7𝜋
2
− 2𝜋)) = arccos (cos (
3𝜋
2
)) = arccos 0 =
𝜋
2
 
EP 10 – 2016-1 – GABARITO – Inversas-Seno-Cosseno Pré-Cálculo 
 
Página 2 de 6 
(h) sen(arcsen(0,8)) = 0,8 pois −1 < 0 < 0,8 < 1 e sen(arcsen 𝑥) = 𝑥 para todo −1 ≤ 𝑥 ≤ 1. 
(i) Primeiro precisamos verificar se −1 <
2√5
5
< 1, sabemos que 
2√5
5
> 0, verificando se 
2√5
5
< 1, 
2√5
5
< 1 ⟺ 0 < 2√5 < 5 ⟺ (2√5)
2
< 52 ⟺ 4 ∙ 5 < 25 ⟺ 20 < 25 . Com a última 
desigualdade é verdadeira, e todas são equivalentes, então, a primeira, 
2√5
5
< 1, também é verdadeira. 
Logo, cos (arccos (
2√5
5
)) =
2√5
5
, pois −1 <
2√5
5
< 1 e cos(arccos(𝑥)) = 𝑥 para todo −1 ≤ 𝑥 ≤ 1. 
_________________________________________________________________________ 
Exercício 3: 
Se 𝛼 = arcsen (−
1
3
), calcule: (a) tan (𝛼) (b) sec (𝛼) (c) cot (𝛼) (d) csc (𝛼). 
Resolução: 
(a) tan(𝛼) =
sen(𝛼)
cos(𝛼)
. Precisamos calcular sen(𝛼) e cos(𝛼). 
𝛼 = arcsen (−
1
3
) ⟹ sen 𝛼 = −
1
3
 e −
𝜋
2
< 𝛼 < 0, isto é, 𝛼 é um ângulo do 4º. quadrante. 
Da relação sen2 𝛼 + cos2 𝛼 = 1 𝑒 sen 𝛼 = −
1
3
 ⟹ 
1
9
+ cos2 𝛼 = 1 ⟹ cos2 𝛼 = 1 −
1
9
=
8
9
. 
⟹ cos2 𝛼 =
8
9
 ⟹ cos 𝛼 = ±
√8
3
= ±
2√2
3
 . Como 𝜃 é um ângulo do 4º. quadrante, cos 𝛼 > 0, 
concluímos que cos 𝛼 =
2√2
3
. Portanto, tan(𝛼) =
−
1
3
2√2
3
= −
1
2√2
= −
√2
4
. 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(b) sec(𝛼) =
1
2√2
3
=
3
2√2
=
3√2
2√2√2
=
3√2
4
 (c) cot(𝛼) =
2√2
3
−
1
3
= −2√2. (d) csc(𝛼) =
1
−
1
3
= −3. 
_________________________________________________________________________ 
Exercício 4: Determine o domínio das seguintes funções: 
(a) 𝑓(𝑥) = arcsen (
𝑥
2
) (b) 𝑔(𝑥) = arccos(3𝑥 + 1) 
(c) ℎ(𝑥) = √arccos(2𝑥) (d) 𝑘(𝑥) =
1
√arcsen(2𝑥)
 
Resolução: 
(a) 𝑓(𝑥) = arcsen (
𝑥
2
). Como o domínio da função arco seno é [−1, 1], temos que 
−1 ≤
𝑥
2
≤ 1 ⟺ −2 ≤ 𝑥 ≤ 2. Portanto, 𝐷𝑜𝑚 (𝑓) = [−2, 2]. 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(b) 𝑔(𝑥) = arccos(3𝑥 + 1). Como o domínio da função arco cosseno é [−1, 1], temos que 
−1 ≤ 3𝑥 + 1 ≤ 1 ⟺ −1 − 1 ≤ 3𝑥 ≤ 1 − 1 ⟺ −2 ≤ 3𝑥 ≤ 0 ⟺ −
2
3
≤ 𝑥 ≤ 0 
EP 10 – 2016-1 – GABARITO – Inversas-Seno-Cosseno Pré-Cálculo 
 
Página 3 de 6 
Portanto, 𝐷𝑜𝑚 (𝑔) = [−
2
3
, 0]. 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(c) ℎ(𝑥) = √arccos(2𝑥) . Temos duas restrições: 
I) O domínio da função arco cosseno é [−1, 1], logo, temos que −1 ≤ 2𝑥 ≤ 1 ⟺ −
1
2
≤ 𝑥 ≤
1
2
. 
II) O radicando deve ser positivo ou nulo, logo, é preciso que arccos(2𝑥) ≥ 0. 
Mas, sabemos que a imagem da função arco cosseno é [0, 𝜋], logo 0 ≤ arccos(2𝑥) ≤ 𝜋, donde 
arccos(2𝑥) ≥ 0 para todo −
1
2
≤ 𝑥 ≤
1
2
 e, portanto, 𝐷𝑜𝑚 (ℎ) = [−
1
2
,
1
2
]. 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(d) 𝑘(𝑥) =
1
√arcsen(2𝑥)
 Temos duas restrições: 
I) O domínio da função arco seno é [−1, 1], logo, temos que −1 ≤ 2𝑥 ≤ 1 ⟺ −
1
2
≤ 𝑥 ≤
1
2
. 
II) O radicando deve ser positivo ou nulo e denominador não nulo, donde é preciso que arcsen(2𝑥) > 0. 
Sabemos que a imagem da função arco seno é [−
𝜋
2
,
𝜋
2
], logo, precisamos que, 0 < arcsen(2𝑥) ≤
𝜋
2
. 
Para resolver essa inequação, fazemos uma mudança de variável, 
fazendo 𝑡 = 2𝑥, e, portanto temos que 0 < arcsen(𝑡) ≤
𝜋
2
. 
Observando no círculo trigonométrico ao lado, vemos que: 
arcsen(𝑡) > 0 ⟺ 0 < 𝑡 ≤ 1. 
Voltando à variável original, 0 < 2𝑥 ≤ 1 ⟺ 0 < 𝑥 ≤
1
2
 
Portanto 𝐷𝑜𝑚 (𝑘) = ( 0,
1
2
]. 
_________________________________________________________________________ 
Exercício 5: Resolva: 
(a) arcsen(2𝑥2 − 1) = −
𝜋
6
 (b) arccos (9𝑥2 −
3
2
) =
2𝜋
3
 
(c) −
π
3
≤ arcsen(2𝑥) ≤
𝜋
3
 (d) arccos(√2 𝑥 − √2) ≤
3𝜋
4
 
Resolução: 
(a) arcsen(2𝑥2 − 1) = −
𝜋
6
 
Mudando a variável, fazendo 𝑡 = 2𝑥2 − 1, temos que arcsen 𝑡 = −
𝜋
6
 , resolvendo em 𝑡, 
arcsen 𝑡 = −
𝜋
6
 ⟺ 𝑡 = −
1
2
 (ver no círculo do Exercício1a ) 
Voltando à variável original 𝑥, 
2𝑥2 − 1 = −
1
2
 ⟺ 2𝑥2 = 1 −
1
2
 ⟺ 2𝑥2 =
1
2
 ⟺ 𝑥2 =
1
4
 ⟺ 𝑥 = ±
1
2
. Solução 𝑆 = {−
1
2
,
1
2
} 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
EP 10 – 2016-1 – GABARITO – Inversas-Seno-Cosseno Pré-Cálculo 
 
Página 4 de 6 
(b) arccos (9𝑥2 −
3
2
) =
2𝜋
3
 
Mudando a variável, fazendo 𝑡 = 9𝑥2 −
3
2
, temos que arccos 𝑡 =
2𝜋
3
 , resolvendo em 𝑡, 
arccos 𝑡 =
2𝜋
3
 ⟺ 𝑡 = −
1
2
 (ver no círculo do Exercício1b) 
Voltando à variável original 𝑥, 
9𝑥2 −
3
2
= −
1
2
 ⟺ 9𝑥2 =
3
2
−
1
2
 ⟺ 9𝑥2 = 1 ⟺ 𝑥2 =
1
9
 ⟺ 𝑥 = ±
1
3
 Solução 𝑆 = {−
1
3
,
1
3
}. 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(c) −
π
3
≤ arcsen(2𝑥) ≤
𝜋
3
 
Mudando a variável, fazendo 𝑡 = 2𝑥, temos que −
π
3
≤ arcsen 𝑡 ≤
𝜋
3
 , resolvendo em 𝑡, 
−
π
3
≤ arcsen 𝑡 ≤
𝜋
3
 ⟺−
√3
2
≤ 𝑡 ≤ 
√3
2
 (ver no círculo do Exercício 1a) 
Voltando à variável original 𝑥, 
−
√3
2
≤ 2𝑥 ≤ 
√3
2
 ⟺ −
√3
4
≤ 𝑥 ≤ 
√3
4
 
Solução 𝑆 = [−
√3
4
,
√3
4
] 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(d) arccos(√2 𝑥 − √2) ≤
3𝜋
4
 
Mudando a variável, fazendo 𝑡 = √2 𝑥 − √2, temos que arccos 𝑡 ≤
3𝜋
4
 , resolvendo em 𝑡, 
arccos 𝑡 ≤
3𝜋
4
 ⟺ −
√2
2
≤ 𝑡 ≤ 1 (ver no círculo do Exercício1b) 
Voltando à variável original 𝑥, 
−
√2
2
≤ √2 𝑥 − √2 ≤ 1 ⟺ −
√2
2
+ √2 ≤ √2 𝑥 ≤ 1 + √2 ⟺ 
√2
2
≤ √2 𝑥 ≤ 1 + √2 
⟺ 
√2
2√2
≤ 𝑥 ≤
1
√2
+
√2
√2
 ⟺ 
1
2
≤ 𝑥 ≤
√2
2
+ 1 
Solução 𝑆 = [
1
2
 ,1 +
√2
2
] 
_________________________________________________________________________ 
Exercício 6: Esboce o gráfico de cada função, dê o domínio e imagem, verifique se a função é par ou 
ímpar, ou nenhuma delas. 
(a) 𝑓(𝑥) =
𝜋
2
− arccos (2𝑥) (b) 𝑔(𝑥) = 2𝜋 − | arcsen 𝑥 | 
Resolução: 
(a) Abaixo apresentamos uma possível sequência de transformações em gráficos para obter o gráfico de 
𝑓(𝑥) =
𝜋
2
− arccos (2𝑥) é: 
𝑦 = arccos(𝑥)
 (1) 
→ 𝑦 = arccos(2𝑥)
 (2) 
→ 𝑦 = −arccos (2𝑥)
 (3) 
→ 𝑦 =
𝜋
2
− arccos (2𝑥) 
EP 10 – 2016-1 – GABARITO – Inversas-Seno-Cosseno Pré-Cálculo 
 
Página 5 de 6 
(1) Como 2 > 0, redução horizontal do gráfico de 𝑦 = arccos(𝑥) com fator multiplicativo 
1
2
 . 
Isso significa que o domínio da função arco cosseno, que é igual a [−1,1] também será multiplicado pelo 
fator 
1
2
 , logo 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = [−
1
2
,
1
2
]. 
(2) Reflexão no eixo 𝑥, do gráfico de 𝑦 = arccos(2𝑥). 
(3) Translação vertical do gráfico de 𝑦 = −arccos(2𝑥) de 
𝜋
2
unidades para cima. 
 
 
 
 
 
 
 
Pelo gráfico, 𝐼𝑚(𝑓) = [−
𝜋
2
,
𝜋
2
]. 
Observando o gráfico, vemos que há simetria em relação à origem, donde, podemos concluir que a função 
𝑓 é ímpar. 
Mas vamos fazer contas para determinar o domínio, a imagem e para provar que é ímpar. 
A expressão da função é 𝑓(𝑥) =
𝜋
2
− arccos (2𝑥) 
Domínio de 𝒇: como o domínio de arco cosseno é [−1, 1], temos que 
−1 ≤ 2𝑥 ≤ 1 ⟺ −
1
2
≤ 𝑥 ≤
1
2
 . Portanto, 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = [−
1
2
,
1
2
] 
Imagem de 𝒇: como a imagem de arco cosseno é [0, 𝜋], temos que 
0 ≤ arccos(2𝑥) ≤ 𝜋 ⟹ 0 ≥ −arccos(2𝑥) ≥ − 𝜋 ⟹ − 𝜋 ≤ −arccos(2𝑥) ≤ 0 
⟹ − 𝜋 +
𝜋
2
≤ +
𝜋
2
− arccos(2𝑥) ≤ 0 +
𝜋
2
 ⟹ − 
𝜋
2
≤ +
𝜋
2
− arccos(2𝑥) ≤
𝜋
2
 , 
Portanto, 𝐼𝑚(𝑓) = [−
𝜋
2
,
𝜋
2
] 
Paridade: como o domínio é simétrico em relação à origem da reta numérica e podemos observar que o 
gráfico aparentemente é simétrico em relação à origem (0,0), parece que a função é ímpar. Para provar 
que a função 𝑓 de fato é impar, precisamos provar que 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥). 
𝑓(−𝑥) = 𝑦 =
𝜋
2
− arccos(−2𝑥) ⟺ arccos(−2𝑥) =
𝜋
2
− 𝑦 ⟺ cos(arccos(−2𝑥)) = cos ( 
𝜋
2
− 𝑦) 
 
 −1≤−2𝑥 ≤1 
⇔ −2𝑥 = sen(𝑦) ⟺ 2𝑥 = −sen(𝑦) ⟺ 2𝑥 = sen(−𝑦) ⟺ 
EP 10 – 2016-1 – GABARITO – Inversas-Seno-Cosseno Pré-Cálculo 
 
Página 6 de 6 
 2𝑥 = cos ( 
𝜋
2
− (−𝑦)) ⟺ 2𝑥 = cos ( 
𝜋
2
+ 𝑦) ⟺ arccos(2𝑥) = arccos (cos ( 
𝜋
2
+ 𝑦)) 
 
 0 ≤ 
𝜋
2
+ 𝑦 ≤𝜋 
⇔ arccos(2𝑥) =
𝜋
2
+ 𝑦 ⟺ 𝑦 = − 
𝜋
2
+ arccos(2𝑥) = −𝑓(𝑥). 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(b) 𝑔(𝑥) = 2𝜋 − | arcsen 𝑥 | 
𝑦 = arcsen(𝑥)
 (1) 
→ 𝑦 = |arcsen(𝑥)| 
 (2) 
→ 𝑦 = −|arcsen(𝑥)| 
 (3) 
→ 𝑦 = 2𝜋 − |arcsen(𝑥)| 
(1) Reflexão no eixo 𝑥, da parte do gráfico de 𝑦 = arcsen(𝑥) que está abaixo do eixo 𝑥. 
(2) Reflexão no eixo 𝑥, do gráfico de 𝑦 = |arcsen(𝑥)|. 
(3) Translação vertical do gráfico de 𝑦 = −|arcsen(𝑥)| de 𝜋 unidades para cima. 
Domínio: o domínio da função 𝑔 coincide com o domínio da função arco seno, pois não há nenhuma 
restrição na expressão de 𝑔. Portanto, 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = [−1,1]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pelo gráfico, 𝐼𝑚(𝑔) = [
3𝜋
2
, 𝜋]. 
Imagem de 𝒈: como a imagem de arco seno é [−
𝜋
2
,
𝜋
2
], temos que 
−
𝜋
2
≤ arcsen 𝑥 ≤
𝜋
2
 ⟹ 0 ≤ |arcsen 𝑥| ≤
𝜋
2
 ⟹ 0 ≥ −|arcsen 𝑥| ≥ −
𝜋
2
 
⟹ −
𝜋
2
≤ −|arcsen 𝑥| ≤ 0 ⟹ 2𝜋−
𝜋
2
≤ 2π − |arcsen 𝑥| ≤ 2𝜋 ⟹
 
3𝜋
2
≤ 2π − |arcsen 𝑥| ≤ 2𝜋 
Portanto, 𝐼𝑚(𝑔) = [
3𝜋
2
, 𝜋]. 
Paridade: 
Observando o gráfico, vemos que há simetria em relação ao eixo 𝑦, donde, podemos concluir que a função 
𝑔 é par. 
De fato, o domínio [−1,1] é simétrico em relação á origem, falta provar que 𝑔(−𝑥) = 𝑔(𝑥). 
𝑔(−𝑥) = 2𝜋 − | arcsen(−𝑥) |
𝑎𝑟𝑐𝑜 𝑠𝑒𝑛𝑜 é í𝑚𝑝𝑎𝑟
⇒ 𝑔(−𝑥) = 2𝜋 − |−arcsen(𝑥) | 
|−𝑎|=|𝑎|
⇒ 𝑔(−𝑥) = 2𝜋 − |arcsen(𝑥)| = 𝑔(𝑥) c.q.d.