Lista 2 Comprimento de Arco e Volume de Sólidos

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Universidade Federal de Uberlaˆndia - Lista 2 - Ca´lculo 2
Profa. Dra. Taciana Oliveira Souza
(1) Calcule o comprimento de arco da curva dada.
(a) y =
1
3
(2 + x2)3/2, 0 ≤ x ≤ 3 (b) y = 1
4
x4 +
1
8x2
, 1 ≤ x ≤ 2
(c) y =
1
2
(ex + e−x), 0 ≤ x ≤ 1 (d) y = 1− ln(sen(x)), pi
6
≤ x ≤ pi
4
(e) y = 4
√
x3 + 2, 0 ≤ x ≤ 1 (f) y = ln(x),
√
3 ≤ x ≤
√
8
(g) y = ln(1− x2), 0 ≤ x ≤ 1
2
(h) x =
1
3
√
y(y − 3), 1 ≤ y ≤ 9
(i) y =
1
4
x2 − 1
2
ln(x), 1 ≤ x ≤ 2 (j) y = ex, 0 ≤ x ≤ 2
(2) Seja R a regia˜o limitada pelas curvas x = y2 e x = 9. Calcule o volume do so´lido que tem
R como base, se toda sec¸a˜o transversal por um plano perpendicular ao eixo dos x tem a
forma:
(a) de um quadrado (resposta: 162 (u.v.))
(b) de um semic´ırculo com diaˆmetro na base R (resposta: 81pi
4
(u.v.))
(c) de um triaˆngulo equila´tero (resposta: 81
√
3
4
(u.v.))
(3) Uma cunha foi obtida por meio do corte de um cilindro so´lido de raio 4 por dois planos.
Um deles e´ perpendicular ao eixo do cilindro. O segundo cruza o primeiro, formando um
aˆngulo de 30◦ no centro do cilindro. Calcule o volume da cunha. (Resposta: 128/3
√
3
(u.v.))
(4) Calcule o volume de um cone circular reto com altura h e base com raio r. (Resposta:
pir2h/3 (u.v.))
(5) Calcule o volume do so´lido que tem como base a regia˜o limitada pela curva 9x2+4y2 = 6,
se toda sec¸a˜o transversal por um plano perpendicular ao eixo dos x tem a forma de um
triaˆngulo retaˆngulo iso´sceles com hipotenusa na base. (Resposta: 24 (u.v.))
(6) Calcule o volume do so´lido gerado pela rotac¸a˜o, em torno do eixo dos x, da regia˜o limitada
pelas curvas:
(a) y = cos(x), y = sen(x), x = 0 e x =
pi
4
(b) y = x2 e y = x3
(7) Calcule o volume do so´lido gerado pela rotac¸a˜o, em torno do eixo dos y, da regia˜o limitada
pelas curvas:
(a) y = ln(x), y = −1, y = 2 e x = 0 (b) x = y2 + 1, x = 1
2
, y = −2 e y = 2
(8) Calcule o volume do so´lido gerado pela rotac¸a˜o, em torno da reta y = 1, da regia˜o limitada
pelas curvas y = x+ x2, y = x2 − 1 e x = 0.
(9) Calcule o volume do so´lido gerado pela rotac¸a˜o, em torno da reta x = −9, da regia˜o
limitada pelas curvas y = x2/3 e y = 4.
(10) Calcule a a´rea da superf´ıcie gerada pela rotac¸a˜o do arco de curva dado, em tomo do eixo
indicado.
(a) y = 2x3, 0 ≤ x ≤ 2; eixo dos x.
(b) y =
√
4− x2, 0 ≤ x ≤ 1; eixo dos x
(c) x =
√
y, 1 ≤ y ≤ 4; eixo dos y
(d) y = x2, −2 ≤ x ≤ 2; eixo dos x
(e) y =
1
2
x, 0 ≤ x ≤ 4; eixo dos x
(f) x = 2
√
4− y, 0 ≤ y ≤ 15
4
; eixo dos y
(g) x =
ey + e−y
2
, 0 ≤ y ≤ ln(2); eixo dos y
(11) Calcule a a´rea da superf´ıcie do cone gerado pela rotac¸a˜o do segmento de reta y = 4x,
0 ≤ x ≤ 2:
(a) ao redor do eixo dos x (resposta: 16
√
17pi (u.a.))
(b) ao redor do eixo dos y (resposta: 4
√
17pi (u.a.)).
Respostas de alguns exerc´ıcios:
(1) (a) 12 (u.c.); (b) 123/32 (u.c.); (c) senh(1) (u.c.); (d) ln(|(√2 − 1)/(2 − √3)|) (u.c.); (e)
(37
√
37 − 1)/54 (u.c.); (f) 1 + ln(3/2)/2 (u.c.); (g) ln(3) - 1/2; (h) 32/2 (u.c.); (i) 3/4 +
ln(2)/2 (u.c.).
(6) (a) pi/2 (u.v.); (b) 2pi/35 (u.v.).
(7) pi(e4 − e−2)/2 (u.v.); (b) 397pi/15 (u.v.).
(8) 3/2 (u.v.)
(9) 2304pi/5 (u.v.)
(10) (a) pi(577
√
577−1)/54 (u.a.); (b) 4pi (u.a.); (c) pi(17√17−5√5)/6 (u.a.); (d) 53,226 (u.a.);
(e) 4
√
5 (u.a.); (f) 35pi
√
5/3 (u.a.); (g) pi(15/16 + ln(2)) (u.a.).