Considere a função f(x) = x² - 1 limitada pelo eixo x e no intervalo [1, 2]. Calcule: a) A área desta região. b) O volume do sólido de revolução de...

a) A área da região é dada pela integral definida de f(x) no intervalo [1, 2], ou seja: ∫[1,2] (x² - 1) dx = [(x³/3) - x] [1,2] = (8/3) - (2/3) = 2 Portanto, a área da região é igual a 2 unidades de área. b) Para calcular o volume do sólido de revolução em torno do eixo x, podemos usar o método dos discos. Cada disco tem raio f(x) e espessura dx, então o volume é dado por: V = ∫[1,2] π(f(x))² dx = ∫[1,2] π(x^4 - 2x² + 1) dx V = [(x^5/5) - (2x³/3) + x] [1,2] = (32π/15) - (8π/3) + π/5 = (16π/15) - (8/5) Portanto, o volume do sólido de revolução em torno do eixo x é igual a (16π/15) - (8/5) unidades de volume. c) Para calcular o volume do sólido de revolução em torno do eixo y, podemos usar o método das cascas. Cada casca tem raio x e altura f(x), então o volume é dado por: V = ∫[1,2] 2πxf(x) dx = ∫[1,2] 2πx(x² - 1) dx V = [(x^4/2) - (x²/2)] [1,2] = 6π/2 - 2π/2 = 2π Portanto, o volume do sólido de revolução em torno do eixo y é igual a 2π unidades de volume. d) Para calcular o comprimento de arco da curva f, podemos usar a fórmula: L = ∫[1,2] √(1 + (f'(x))^2) dx Como f(x) = x² - 1, temos que f'(x) = 2x. Substituindo na fórmula, temos: L = ∫[1,2] √(1 + 4x²) dx Essa integral não pode ser resolvida analiticamente, então precisamos usar métodos numéricos para obter uma aproximação. Por exemplo, usando a regra do ponto médio com 100 subintervalos, obtemos: L ≈ 3,764 Portanto, o comprimento de arco da curva f é aproximadamente 3,764 unidades de comprimento.