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1 Analise de Estruturas Isostáticas Tópicos 1, 2 e 3 Prof. Rogério Todeschini, Eng. Civil, Esp. Engenharia Civil UNISUL Tubarão –SC 2017 2 Índice 1 - Conceito fundamental 2 - Estudos das vigas isostáticas 3 - Estudos das vigas Gerber 4 - Estudos dos quadrados isostáticos planos (Pórticos) 5 - Estudos das treliças pelo método de Cremona 6 - Cálculos das deformações em estruturas isostáticas 1. Conceitos Fundamentais 1.1. Analise estrutural Parte da mecânica que estuda a determinação dos esforços e das deformações das estruturas que estão submetidas a solicitações externas, como cargas, variações térmicas, movimento dos apoios, etc. Os objetivos da analise estrutural são a determinação dos esforços solicitantes internos (ESI), para determinação do dimensionamento dos elementos estruturais; determinação das reações de apoio, reciproca das forças reativas de uma estrutura que são utilizadas como força ativa nas estruturas sobre as quais está apoiada; e determinação dos deslocamentos em determinados pontos que é a limitação da flecha máxima em vigas que é determinada por normas evitando deformações excessivas. Estas limitações podem ser por questões funcionais como em cima de janelas e portas ou por questões estéticas. As estruturas se compõem de uma ou mais peças, ligadas entre si e ao meio exterior de modo a formar um conjunto estável, capaz de receber solicitações externas absorvê-las internamente e transmiti-las até seus apoios, atingindo equilíbrio estático. Exemplos de estruturas para o Engenheiro Civil: pontes (Figura 1.1), viadutos, passarelas, partes resistentes das edificações, barragens, rodovias etc. Figura 1.1 Ponte ferroviária Fonte: Estruturas Isostáticas, Almeida, Maria C. F. 1.2 Elementos estruturais 3 As partes resistentes de uma estrutura numa construção são as vigas, pilares, paredes, sapatas e blocos. Estes elementos (Figura 1.2) podem ser feitos de diversos materiais porem, o mais comum no Brasil é o de concreto armado. Figura 1.2 Exemplos de elementos estruturais numa edificação Fonte: Estruturas Isostáticas, Almeida, Maria C. F. Os elementos estruturais devem apresentar as propriedades de resistência e de rigidez, que significa resistir às cargas sem se romperem e sem sofrer grandes deformações de suas dimensões originas. Claro que estas cargas estão dentro de certos limites calculados para cada elemento. Resistência é a capacidade de transmitir as forças internamente do ponto de aplicação até seus apoios, sem que ocorra a ruptura da peça. A determinação da capacidade resistente é obtida pela determinação dos esforços solicitantes internos (analise estrutural) e tensões internas (resistência dos materiais). Rigidez é a capacidade de não deformar excessivamente, para o carregamento previsto, para não comprometer a funcionalidade e o aspecto da peça. 1.3 Classificações dos elementos As peças que compõem as estruturas podem possuir uma, duas ou três dimensões, respectivamente unidimensional, bidimensional e tridimensional. Unidimensionais São estruturas reticuladas em que o comprimento prevalece sobre as outras duas dimensões. Exemplo barras. (Figura 1.3). Figura 1.3 Estruturas reticulares formadas por elementos unidimensionais Fonte: Estruturas Isostáticas, Almeida, Maria C. F. 4 Bidimensionais São estruturas cujas duas de suas dimensões prevalecem em relação à terceira. Exemplo: lajes, paredes e casca. (Figura 1.4) Figura 1.4 Exemplos de elementos estruturais numa edificação Fonte: Estruturas Isostáticas, Almeida, Maria C. F. Tridimensionais Estruturas maciças onde as três dimensões se comparam, isto é, três dimensões são consideradas. Figura 1.5 Exemplos de elementos estruturais numa edificação Fonte: Estruturas Isostáticas, Almeida, Maria C. F. 1.4 – Grandezas fundamentais 1.4.1 – Forças As forças são grandezas vetoriais, caracterizadas por direção, sentido, intensidade e ponto de aplicação. Sua unidade, no sistema SI é o N (Newton). Normalmente utilizamos em Engenharia Estrutural a tonelada-força, cujo símbolo é tf. F = m.a Conversão: 1 kgf ~ 10 N 1 tf ~ 10.000N ou 10KN 10 kgf/cm² ~ 1 Mpa 1 Pa = 1 N/m² 1.4.2 – Momento Momento é uma grandeza vetorial que apresenta direção, sentido, intensidade e ponto de aplicação. O Vetor M da figura 1.6 é produto vetorial do módulo da força pela distância do ponto O à linha de ação da força ( OAr ) pelo sen . Sua direção é perpendicular ao plano P que contem a reta da força F e o ponto O e o sentido da rotação de F em torno de O é dado pela regra da mão direita. (figura 1.6) 5 M = | oar | x | F |sen α, Em outras palavras, o momento é o valor cuja intensidade é o produto da força F pela menor distância d ao ponto O. d = oar Sen 90º (figura 1.7). Figura 1.6 Representação do vetor momento M Figura 1.7 Representação do momento Fonte: Estruturas Isostáticas, Sussekinde, José Carlos Fonte: Estruturas Isostáticas, Sussekinde, José Carlos A figura 1.8 ilustra o fato de que existe uma tendência de rotação (momento) em torno de um ponto devido ao valor da força e de sua distância ao ponto, sendo diretamente proporcional a ambos. Este efeito é chamado de momento. Neste caso encontra-se em equilíbrio (Mc = 10x2 – 5x4 = 0, olhando pela seção da esquerda). Figura 1.8 Tendência de rotação em tono do ponto C Fonte: Estruturas Isostáticas, Sussekinde, José Carlos 1.5 Classificações dos esforços Os esforços ou ações são classificados em esforços solicitantes, vistos na analise estrutural e esforços resistentes vistos na resistência dos materiais. (Figura 1.8) Solicitantes Resistente Externos Internos Tensões normais e Tangencias (ou suas resultantes) Diretos Indiretos Forças e Momentos Ativos e reativos Temperatura, recalque e variação do comprimento Forças: N, Qx, Qy Momentos: T, My e Mz Figura 1.8 Esforços solicitantes e resistentes Fonte: Estruturas Isostáticas, Almeida, Maria C. F. O objetivo da engenharia civil, por meio do cálculo estrutural é garantir que os esforços resistentes internos (ERI) sejam maiores que os esforços solicitantes internos (ESI). ERI > ESI 6 1.6 Forças aplicadas As forças aplicadas são as cargas aplicadas nas estruturas, conhecidas também como carregamentos ou esforços solicitantes externos. A NBR 6120 regulamenta as Cargas para Cálculo de Estrutura de Edificações no Brasil. 1.6.1 Classificação das cargas Quanto à posição as cargas podem ser fixas, que não mudam de posição, exemplo as cargas das edificações; ou móveis, cargas que mudam de posição, exemplo veículos nas pontes e viadutos. Quanto à duração as cargas podem ser permanentes como o peso próprio; ou acidentais que podem ou não agir sobre as estruturas como peso das pessoas, móveis etc. Quanto à forma de aplicação as cargas podem ser concentradas quando se aplica em um ponto da estrutura; e distribuídas se aplica ao longo de um comprimento da estrutura. Quanto à variação no tempo as cargas podem ser estáticas que não vaiam no tempo; dinâmicas quando temos que considerar a variação no tempo como os ventos, correntes marítimas, explosões e terremotos. 1.7 Estruturas reticulares São estruturas constituídas por barras (elementos unidimensionais) interconectadas por nós que podem ser reticulados ou rígidos. (figura 1.7) Figura1.7 Exemplos de barras e nós em estruturas reticuladas Fonte: Estruturas Isostáticas, Almeida, Maria C. F. Os nós reticulados permitem rotação relativa das barras a ele conectadas e os nós rígidos são os que não permitem rotação das barras a ele conectadas. (figura 1.8) Figura 1.8 Classificação dos nós nas estruturas 7 No nó rígido o ângulo formado pelas barras é o mesmo depois da deformação e no nó articulado, devido à rotação relativa, o ângulo é diferente depois da deformação. As barras podem ter eixos retos ou curvos e seção transversal constante ou variável. (Figura 1.9) Figura 1.9 Classificação das barras 1.8 Condições de equilíbrio Uma força aplicada sobre um corpo provoca uma tendência de deslocamento linear ou translação e um momento aplicado a este corpo provoca uma tendência de deslocamento angular ou rotação. Para um corpo, submetido a um sistema de forças, estar em equilíbrio, é necessário que as forças e momentos não provoquem nenhuma tendência de translação nem rotação a este corpo respectivamente. 1.9 - Graus de liberdade A ação estática de um sistema de forças no espaço, em relação a um dado ponto, é igual à que a sua resultante provoca a tendência de translação e à de seu momento resultante em relação àquele ponto provoca uma tendência de rotação. No espaço, uma translação pode ser expressa por suas componentes segundo três eixos (x, y e z), assim como a rotação, cada uma em torno de um desses eixos. Dizemos que uma estrutura no espaço possui um total de seis graus de liberdade (três translações e três de rotações). Para estruturas planas, o mais frequente em analise estrutural, existe três graus de liberdade a combater, segundos os eixos x e y: os movimentos de translação em direção aos eixos x e y e o de rotação em torno de um eixo perpendicular ao plano. 1.10 - Apoio Estes graus de liberdade precisam ser restringidos, de modo a evitar toda tendência de movimento da estrutura, a fim de manter o equilíbrio. Esta restrição se da por meio dos apoios, que devem impedir as diversas tendências possíveis de movimento, através do aparecimento de forças reativas ou reações de apoios sobre a estrutura nas direções dos movimentos que impedem. 8 Tipos de apoio em modelos planos de estruturas Apoio 1º gênero (simples) Apoio 2º gênero (articulação ou rótula) 3º gênero (Engaste) Impede: movimento vertical da estrutura (Y) Permite: movimento horizontal (x) e rotação no nó (Z) Impede: movimento vertical e horizontal da estrutura (X e Y) Permite: rotação no nó (Z). Impede: movimento vertical (y), horizontal (X) e rotação no nó (Z). Permite: nenhum movimen- to Rv: Reação de apoio Vertical (Y); Rh: Reação de apoio Horizontal (X); M: Reação de apoio de rotação no nó (Z). Fonte: do autor 1.10 Equações de equilíbrio da estática Pela segunda lei de Newton, as resultantes de forças e momentos, englobando cargas externas e reações de apoio, devem ser nulas. No espaço Equilíbrio das forças 0F x ; 0F y ; 0F z Equilíbrio dos momentos 0Mx ; 0My ; 0Mz 9 No plano Equilíbrio das forças 0F x ; o somatório das cargas horizontais ativas e reativas seja igual; 0F y ; o somatório das cargas verticais ativas e reativas seja igual; Equilíbrio do momento 0M A ; o somatório dos momentos em qualquer ponto da estrutura seja nulo. 1.11 Cargas em estruturas reticulares 1.11.1 Cargas concentradas Quando uma carga (força ou momento) se distribui numa área pequena em comparação com a estrutura dizemos que é uma carga concentrada. 1.11.2 Cargas distribuídas Quando uma carga (força ou momento) se distribui ao logo de uma superfície muito pequena em relação à outra dimensão dizemos que uma carga distribuída. Exemplo é a distribuição da ação da laje em cima de uma viga. Quando esta laje é engatada na viga então temos um momento aplicado distribuído. A unidade de força ao longo de em comprimento é: tf/m, kN/m e outras. A unidade de momento distribuído ao longo de um comprimento é: tf.m/m, kN.m/m e outras. 10 1.11.2.1 Resultado dos carregamentos distribuídos A resultante da carga distribuída (q) ao logo de um comprimento L é a área delimitada pela função q(x) aplicada no centro de gravidade do diagrama q(x). A Figura 1.9 A e Figura 1.9 B, mostram os diversos tipos de carregamentos distribuídos e a suas resultantes. Carregamento Uniforme Carregamento triangular Resultante Resultante Figura 1.9 A – Resultante do carregamento uniforme e triangular Carregamento Trapezoidal Carregamento qualquer Resultante Resultante Figura 1.9 A – Resultante do carregamento trapezoidal e qualquer 11 1.12 Vigas 1.13 Reações de apoio As reações de apoio são forças ou momentos reativos dos apoios com direção e aplicação conhecidos e de intensidade e sentidos tais que equilibram o sistema de forças e momentos ativos. Para determinar as reações de apoio: a. Adotar um sistema de eixos ortogonais; b. Indicar nos apoios da estrutura as cargas reativas atribuindo um sentido c. Utilizam-se as equações da estática ( 0 xF ; 0 yF ; 0 AM ) Exemplo 1: Cálculo da viga Biapoiada para força concentrada a. Esquema simplificado b. Sistema referencial X, Y e Z 12 c. Reações de apoio – sentidos arbitrados d. Cálculo das reações de apoio com base nas equações de equilíbrio da estática da estática (a) 0Fx 05HA tf5HA (b) 0Fy 0V20V BA tf20VV BA (c) 0MA 03x2012xVB tf5VB (d) tf20VV BA tf205VA tf15VA O sinal negativo da reação horizontal no ponto A ( tf5HA ), indica que convencionamos o sentido da reação de forma invertida. Exemplo 2: Cálculo das reações de apoio da viga Biapoiada para força distribuída a. a. Transformar a carga aplicação distribuída em carga concentrada no centro geométrico da área da carga. b. Cálculo das reações de apoio com base nas equações de equilíbrio da estática (a) 0Fy 0240 BA VV tfVV BA 240 (b) 0MA 0126240 xVx B tfVB 120 (c) tfVV BA 240 tfVA 240120 tfVA 120 13 Genericamente: 2 qL VV BA b. Triangular c. Triangular 14 d. Trapezoidal e. Momento Observação: As forças reativas formam um binário que equilibra o momento aplicado e que o binário das forças reativas será sempre o mesmo, independente da posição do momento aplicado. 15 f. Momento 1.13 Estaticidade e estabilidade Estes conceitos dever ser entendidos de forma simultânea: Estabilidade: é a classificação das estruturas em estáveis: quando as forças reativas são capazes de equilibrar o sistema de forças ativas; instáveis: quando os números de forças reativas forem em número insuficientes sendo incapaz de deixar o sistema de forças ativas equilibrado. Estaticidade: As estruturas podem ser Hipostáticas(sempre instáveis), Isostática e Hiperestáticas (estas duas sempre estáveis). a. Estrutura isostática (estrutura estável) Quando o número de reações de apoio a determinar é igual ao número de equações de equilíbrio (equações da estática 0 xF ; 0 yF ; 0 AM ). Chega-se a um sistema de equações determinado que resolva o problema. Dizemos então, que a estrutura é isostática, ocorrendo uma situação de equilíbrio estável. b. Estrutura hiperestática (estrutura estável) Quando o número de reações de apoio (incógnitas) a determinar é maior do que número de equações de equilíbrio (equações da estática). Neste caso, teremos menor número de equações que de incógnitas, conduzindo a um sistema indeterminado. As equações da Estática não serão, então, suficientes para a determinação das reações de apoio, sendo necessárias equações adicionais de compatibilidade de deformações visto em teoria das Estruturas II. “A estrutura continua em equilíbrio estável (aliás, poderíamos dizer, um pouco impropriamente, que o equilíbrio é mais que estável)”. (Fonte: Curso de Analise Estrutural, Sussekind) c. Estrutura hipostática (estrutura instável) Quando o número de reações de apoio a determinar é menor do que número de equações de equilíbrio (equações da estática). Os apoios são inferiores ao necessário para impedir todos os movimentos possíveis da estrutura e se torna instável. Exemplo, fechadura de porta. Não se calcula para estruturas estáticas. 1.14 Esforços (forças) seccionais – Esforços Solicitantes Internos (ESI) Esforços simples atuantes em uma seção. Vemos que é indiferente calcular os esforços simples atuantes numa seção, entrando com as forças da parte à esquerda ou da parte à direita da seção. Na prática, usaremos as forças do lado que nos conduzir ao menor trabalho de cálculo. 16 • Esforço ou força normal N • Esforço ou força cortante V • Momento fletor M • Momento de torção T 1.14.1 Convenções de sinais A - Força normal (N) Observação: para força normal o sinal é positivo quando traciona as fibras e negativos quando comprime as fibras. B - Esforço cortante (Q) C - Momento fletor (M) 17 D - Momento de torção 2 - Estudos das vigas isostáticas São estruturas compostas por barras (elementos unidimensionais) interconectadas por nós rígidos ou articuladas. Quando todos os nós são rígidos é dito que é uma viga simples e quando temos nós rígidos e articulados dizemos que a viga é composta. A figura abaixo mostra exemplo de vigas simples. Convenção de sinal para vigas Momento Fletor Os momentos fletores são positivos quando entrando com as forças e momentos a esquerda de uma seção transversal, a resultante momento na seção for sentido horário e quando entrando pela direita, a resultante momento na seção for anti-horário. (Olhando com a cabeça voltada das fibras inferiores para as superiores). Quando for contrário ao indicado o momento fletor é negativo. 18 Força Cortante Esforços cortantes são positivos quando, entrando com as forças à esquerda de uma seção transversal, a resultante das forças na direção vertical local for no sentido para cima e entrando com as forças pela direita a resultante for no sentido para baixo. (Olhando com a cabeça voltada das fibras inferiores para as superiores). Quando for contrário ao indicado a esforço cortante é negativo. Observação: Uma vez calculada as reações de apoio de modo correto, tanta faz entrarmos com as forças ou momentos pelo lado direito ou esquerdo de uma seção para determinar os esforços internos. Em geral procura-se determinar os valores dos esforções internos pelo lado que for mais simples. Diagramas das solicitações internas DMF - Diagrama dos momentos fletores O diagrama de momento fletor é sempre desenhado do lado da fibra tracionada. Os momentos são positivos quando tracionam as fibras inferiores e negativas quando tracionam as fibras superiores. DFQ – Diagrama da força cortante No diagrama da força cortante os valores positivos são desenhados do lado das fibras superiores e negativos do outro lado. Onde calcular o Momento Fletor 1 – Início e final das barras. 2 – Início e final das cargas distribuídas. 3 – Embaixo das cargas concentradas. 4 – Um pouco antes e um pouco depois da carga momento aplicada. 5 – Nos nós para cada uma das barras que neles concorrem. Onde calcular a força cortante 1 – Início e final das barras. 2 – Início e final das cargas distribuídas. 3 – Um pouco antes e um pouco depois das cargas concentradas. 4 – Nos nós para cada uma das barras que neles concorrem. 19 2.1 - Vigas Biapoiada 2.1.1 Carga Concentrada Diagrama do momento fletor e diagrama da força cortante da Viga Biapoiada, submetida a uma carga concentrada P, atuante na seção S, abaixo. Das equações de equilíbrio da Estática (∑Ma = O e ∑Mb = O), obtemos as reações de apoio. + ∑ 𝑀𝐵 = 0 → 𝑉𝐴 . 𝑙 − 𝑃. 𝑏 = 0 → 𝑉𝐴 = 𝑃.𝑏 𝑙 + ∑ 𝑀𝐴 = 0 → 𝑉𝐵 . 𝑙 − 𝑃. 𝑎 = 0 → 𝑉𝐵 = 𝑃.𝑎 𝑙 Como sabemos que em A e em B os momentos são nulos (em A, olhando para seção da esquerda d=0, portanto M=Fx0 e em B olhando para direita o mesmo raciocino), bastará conhecer seu valor em S para termos definido o Diagrama de Momento Fletor – DMF, então obtemos: Ms = Pab/l + 𝑀𝑠 = 𝑉𝐴 . 𝑎 = 𝑃𝑏 𝑙 . 𝑎 = 𝑃𝑎𝑏 𝑙 ou +𝑀𝑠 = 𝑉𝑏 . 𝑏 = 𝑃𝑎 𝑙 . 𝑏 = 𝑃𝑎𝑏 𝑙 Quanto ao diagrama de esforços cortantes (DFQ), será dado no trecho AS por Q = + Va = Pb/l e, no trecho SB, por Q = - Vb = -Pa/l. Exercício resolvido R2.1 a) obter os diagramas dos esforços solicitantes internos para a viga abaixo 20 Solução R2.1: Calcular as reações de apoio + ∑ 𝑀𝐸 = 0 → 𝑉𝐴 𝑥 13 − 5𝑥9 − 3𝑥5 − 9𝑥2 = 0 → 𝑉𝐴 = 78 13 → 𝑉𝐴 = 6 𝑡𝑓 + ∑ 𝑀𝐴 = 0 → 𝑉𝐸 𝑥 13 − 9𝑥11 − 3𝑥8 − 5𝑥4 = 0 → 𝑉𝐸 = 143 13 → 𝑉𝐸 = 11 𝑡𝑓 Ou + ∑ 𝐹𝑉 = 0 → 𝑉𝐸 + 6 − 5 − 3 − 9 = 0 → 𝐸 = 11 𝑡𝑓 Calcular os esforços cortantes Convenção de sinal DFQ + 𝑄𝐴 𝐴 = 0 + 𝑄𝐴 𝐷 = 6 𝑡𝑓 + 𝑄𝐵 𝐴 = 6 𝑡𝑓 + 𝑄𝐵 𝐷 = 6 − 5 = 1 𝑡𝑓 + 𝑄𝐶 𝐴 = 1 𝑡𝑓 + 𝑄𝐶 𝐷 = 1 − 3 = −2𝑡𝑓 + 𝑄𝐷 𝐴 = −2 𝑡𝑓 + 𝑄𝐷 𝐷 = −2 − 9 = −11 𝑡𝑓 + 𝑄𝐸 𝐴 = −11 𝑡𝑓 + 𝑄𝐸 𝐷 = −11 + 11 = 0 DFQ (Diagrama da Força Cortante) 21 Calcular os momentos fletores Convenção de sinal DMF + 𝑀𝐴 = 0 + 𝑀𝐵 = 6 𝑥4 = 24 𝑡𝑓. 𝑚 + 𝑀𝐶 = 6 𝑥 (4 + 4) − 5𝑥4 = 28 𝑡𝑓. 𝑚 + 𝑀𝐷 = 6 𝑥 (4 + 4 + 3) − 5𝑥(4 + 3) − 3𝑥3 = 22 𝑡𝑓. 𝑚 ou + 𝑀𝐷 = 11𝑥2 = 22 𝑡𝑓. 𝑚 + 𝑀𝐸 = 0 DMF (Diagrama do Momento Fletor) 2.1.2 – Carga distribuída Determinar o diagrama do momento fletor e diagrama da força cortante da Viga Biapoiada, submetida a uma carga distribuída q, da estrutura abaixo. Das equações de equilíbrio da Estática (∑Ma = O e ∑Mb = O), obtemos as reações de apoio. + ∑ 𝑀𝐴 = 0 𝑉𝐵. 𝑙 − 𝑞. 𝑙. 𝑙 2 = 0 → 𝑉𝐵 = 𝑞.𝑙² 2 . 1 𝑙 → 𝑉𝐵 = 𝑞.𝑙 2 + ∑ 𝑀𝐵 = 0 𝑉𝐴. 𝑙 − 𝑞. 𝑙. 𝑙 2 = 0 → 𝑉𝐴 = 𝑞.𝑙² 2 .1 𝑙 → 𝑉𝐴 = 𝑞.𝑙 2 Então, em barra biapoiada com carga distribuída as reações de apoio são: 22 𝑉𝐴 = 𝑉𝐵 = 𝑞.𝑙 2 Os momentos fletores serão dados por uma parábola do 2º grau, passando por zero em A e B e passando por um máximo em 𝑙 2⁄ (seção onde o momento é máximo). + 𝑀𝑚á𝑥 = 𝑉𝐴. 𝑙 2 − 𝑞. 𝑙 2 . 𝑙 4 → + 𝑀𝑚á𝑥 = 𝑞.𝑙 2 . 𝑙 2 − 𝑞.𝑙² 8 → + 𝑀𝑚á𝑥 = 𝑞.𝑙² 4 − 𝑞.𝑙² 8 + 𝑀𝑚á𝑥 = 2.𝑞.𝑙2 − 𝑞.𝑙² 8 → + 𝑀𝑚á𝑥 = 𝑞.𝑙² 8 → 𝑀𝑚á𝑥 = 𝑞.𝑙² 8 Os esforços cortantes serão dados por uma linha reta que fica determinada pelos seus valores extremos. + 𝑄𝐴 𝐴 = 0 + 𝑄𝐴 𝐷 = 𝑞.𝑙 2 + 𝑄𝐵 𝐴 = 𝑞.𝑙 2 − 𝑞. 𝑙 = 𝑞.𝑙−2.𝑞.𝑙 2 = − 𝑞.𝑙 2 + 𝑄𝐵 𝐷 = − 𝑞.𝑙 2 + 𝑞.𝑙 2 = 0 Observação: O momento é máximo onde o cortante é nulo O momento fletor cresce quando o cortante é positivo e decresce quando o cortante é negativo. O diagrama de momentos fletores indica sempre o lado da fibra que é tracionado. 2.2.1.1 - Equação do momento fletor e força cortante Exercício resolvido R2.2 Reações de apoio + ∑ 𝑀𝐴 = 0 𝑉𝐵. 7 − 5 . 7 . 3,5 = 0 → 𝑉𝐵 = 122,5 7 → 𝑉𝐵 = 17,5 𝑡𝑓 + ∑ 𝑀𝐵 = 0 𝑉𝐴. 7 − 5 . 7 . 3,5 = 0 → 𝑉𝐴 = 122,5 7 → 𝑉𝐴 = 17,5 𝑡𝑓 Ou 𝑉𝐴 = 𝑉𝐵 = 𝑞.𝑙 2 → 𝑉𝐴 = 𝑉𝐵 = 5 𝑥 7 2 → 𝑉𝐴 = 𝑉𝐵 = 17,5 𝑡𝑓 23 Momento Fletor Convenção de sinal + 𝑀𝑆 = 17,5. 𝑋 − (5. 𝑋. 𝑋 2 ) 𝑀𝑆 = 17,5. 𝑋 − 2,5𝑋 2 Equação da parábola + 𝑀𝐴 = 17,5 𝑥 0 − 2,5(0) 2 = 0 + 𝑀3,5 = 17,5 𝑥 3,5 − 2,5(03,5) 2 = 30,625 𝑡𝑓. 𝑚 Momento no centro da viga (Momento máximo) + 𝑀𝐵 = 17,5 𝑥 7 − 2,5(7) 2 = 0 Momento máximo usando 𝑀𝑚á𝑥 = 𝑞.𝑙² 8 𝑀𝑚á𝑥 = 5 𝑥 7² 8 → 𝑀𝑚á𝑥 = 30,625 Ou calcular o momento máximo, conforme abaixo: 1) Fazer primeiro o gráfico do esforço cortante; 2) Calcular "x", local do cortante nulo, usando regra de três no triangulo que forma a linha inclinada do gráfico. 3) Calcular o momento neste ponto, força pela distância, como normalmente se faz. Força Cortante Convenção de sinal A força cortante é a derivada do momento fletor, então a equação da força cortante é: 𝑀𝑆 = 17,5. 𝑋 − 2,5𝑋 2 Equação da parábola 𝑄𝑆 = 17,5 − 5𝑋 Equação da reta + 𝑄𝐴 = 17,5 − 5 𝑥 0 = 17,5 𝑡𝑓 + 𝑄3,5 = 17,5 − 5 𝑥 3,5 = 0 + 𝑄𝐵 = 17,5 − 5 𝑥 7 = −17,5 𝑡𝑓 24 Notas: O momento é máximo onde a cortante é nulo O momento fletor cresce quando o cortante é positivo e decresce quando o cortante é negativo. O diagrama de momentos fletores indica sempre o lado da fibra que é tracionado. Diagramas de esforços solicitantes internos Convenção do diagrama do momento fletor - DMF Convenção do diagrama da força cortante - DFQ DMF e DFQ 1) fazer primeiro o gráfico do esforço cortante; 2) calcular "x", local do cortante nulo, usando regra de três no triangulo que forma a linha inclinada do gráfico. 3) calcular o momento neste ponto, força pela distância, como normalmente se faz. 2.2 Viga em balanço Exercício resolvido R2.3 Reações de apoio 25 Momento Fletor Força Cortante Diagramas de esforços solicitantes internos Exercício resolvido R2.4 26 Reações de Apoio Momento Fletor Força Cortante Diagramas de esforços solicitantes internos 27 Exercício resolvido R2.5 Determinar os diagramas dos esforços solicitantes internos Reações de apoio 28 Momento fletor Força Cortante Diagramas de esforços solicitantes internos 29 Exercício resolvido R2.5-1 30 Diagramas dos Esforções Solicitantes Internos 31 Exercício resolvido R2.6 32 33 Exercícios propostos Exercicio - P2.1 Exercicio - P2.2 Exercício proposto - P2.3 34 3 - Estudos das vigas Gerber Definição: É uma associação de vigas onde vigas sem estabilidade sustentam-se em vigas estáveis (ou com estabilidade) No carregamento do trecho CD não tem estabilidade própria, pois as cargas, para serem equilibradas, necessitarão de reações de apoio em C e em D. Este último ponto é um apoio do 1º gênero e pode absorver uma força vertical; caberia, então, ao ponto C absorver uma força vertical e uma horizontal, o que ele não é capaz de fazer, mas é capaz, entretanto, de transmitir estas forças ao trecho ABC. Fica, então, a estabilidade do trecho CD condicionada à estabilidade do trecho ABC que, em se tratando de uma viga biapoiada com balanço, é estável. Se tivermos carregado o trecho ABC, a carga solicitará apenas este trecho, pois, em se tratando de um trecho com estabilidade próprio nele mesmo, encontrara o carregamento suas reações equilibrantes. O ponto C é, então, um ponto de transmissão de forças, não transmitindo momento algum (pois não impede nenhuma rotação à estrutura) e é representado, pois, por uma rótula, ficando o esquema estático da estrutura representado conforme abaixo: Para resolvê-la, basta fazer sua decomposição nas vigas que a constituem, resolvendo inicialmente aquelas sem estabilidade própria e, após, as dotadas de estabilidade própria, para as cargas que lhe estão diretamente aplicadas, acrescidas, para estas últimas, das forças transmitidas pelas rótulas. As vigas Gerber tiveram seu aparecimento ditado por motivos de ordem estrutural e de ordem construtiva. 35 Exemplos de decomposição de vigas de Gerber A) B) C) 36 Exercício resolvido 3.1 37 38 39 Exercício resolvido R3.2 Solução Decomposição das vigas que as constituem Resolver 1º as vigas sem estabilidade 40 41 42 43 44 45 Exercícios propostos Exercício P3.1 Exercício P3.2 Exercício P3.3
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