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Geometria Plana Aula 01 Elaine Pimentel UFRN 11 de Fevereiro de 2014 Pimentel (UFRN) UFRN 11 de Fevereiro de 2014 1 / 16 Motivac¸a˜o A palavra “geometria” vem do grego geometrein (geo, “terra”, e metrein, “medida”). Os Elementos de Euclides e´ um tratado matema´tico e geome´trico consistindo de 13 livros escrito pelo matema´tico grego Euclides em Alexandria por volta de 300 a.C. Os 4 primeiros livros tratam da Geometria Plana, enquanto os demais tratam da teoria dos nu´meros, dos incomensura´veis e da geometria espacial. Na aula de hoje: os axiomas (ou postulados) de Euclides. Pimentel (UFRN) UFRN 11 de Fevereiro de 2014 2 / 16 Nesta aula 1 Euclides 2 Um pouco de lo´gica 3 Axiomas de incideˆncia 4 Para casa Pimentel (UFRN) UFRN 11 de Fevereiro de 2014 3 / 16 1 Euclides 2 Um pouco de lo´gica 3 Axiomas de incideˆncia 4 Para casa Pimentel (UFRN) UFRN 11 de Fevereiro de 2014 4 / 16 Geometria euclideana No livro 1 dos Elementos de Euclides, inicia-se o estudo da geometria plana. Primeiro define-se os objetos geome´tricos cujas propriedades deseja-se estudar. Sa˜o 23 definic¸o˜es, entre as quais encontramos as definic¸o˜es de ponto, reta, c´ırculo, triaˆngulo, retas paralelas, etc. Em seguida enuncia-se 5 noc¸o˜es comuns, que sa˜o afirmac¸o˜es admitidas como verdades o´bvias. Finalmente, enuncia-se 5 axiomas (afirmativas consideradas como verdadeiras, sem a necessidade de prova). A partir desses axiomas, ele prova 465 proposic¸o˜es (que sa˜o afirmativas que seguem logicamente dos axiomas). Pimentel (UFRN) UFRN 11 de Fevereiro de 2014 5 / 16 Axiomas de Euclides 1 Pode-se trac¸ar uma u´nica reta ligando quaisquer dois pontos. 2 Pode-se continuar (de uma u´nica maneira) qualquer reta finita continuamente em uma reta. 3 Pode-se trac¸ar um c´ırculo com qualquer centro e com qualquer raio. 4 Todos os aˆngulos retos sa˜o iguais. 5 Se uma reta, ao cortar outras duas, forma aˆngulos internos, no mesmo lado, cuja soma e´ menor do que dois aˆngulos retos, enta˜o estas duas retas encontrar-se-a˜o no lado onde esta˜o os aˆngulos cuja soma e´ menor do que dois aˆngulos retos. Pimentel (UFRN) UFRN 11 de Fevereiro de 2014 6 / 16 Quinto axioma de Euclides: equivaleˆncias Dados uma reta r e um ponto P fora dela, existe uma u´nica reta s tal que P ∈ s e r ‖ s. A soma dos aˆngulos internos de um triaˆngulo e´ sempre igual a dois aˆngulos retos. Dados quaisquer treˆs pontos na˜o colineares, existe um c´ırculo passando por eles. Em qualquer triaˆngulo retaˆngulo, o quadrado da hipotenusa e´ igual a soma dos quadrados dos catetos. Todo aˆngulo inscrito em um semic´ırculo e´ reto. Quaisquer duas retas paralelas possuem uma perpendicular em comum. Pimentel (UFRN) UFRN 11 de Fevereiro de 2014 7 / 16 Primeira proposic¸a˜o Proposic¸a˜o 1. Existe um triaˆngulo equila´tero com um lado igual a um segmento de reta dado. Prova. P1: Pelo axioma 3, podemos trac¸ar um c´ırculo com centro em uma extremidade do segmento de reta e raio igual a este segmento. P2: Como no passo 1, podemos trac¸ar um outro c´ırculo com centro na outra extremidade e mesmo raio. P3: Tome um dos pontos de intersec¸a˜o dos dois c´ırculos como o terceiro ve´rtice do triaˆngulo procurado. Qual o problema com esta demonstrac¸a˜o? Pimentel (UFRN) UFRN 11 de Fevereiro de 2014 8 / 16 1 Euclides 2 Um pouco de lo´gica 3 Axiomas de incideˆncia 4 Para casa Pimentel (UFRN) UFRN 11 de Fevereiro de 2014 9 / 16 Axiomas e teoremas Conceitos primitivos: letras M, U, I Palavra = sucessa˜o qualquer dessas letras. Axiomas: A1. Toda palavra pode ser triplicada. A2. Uma letra U pode ser substitu´ıda por II. A3. Quatro letras I seguidas podem ser eliminadas. A4. Depois de uma letra M e´ permitido colocar uma letra U. A5. Se em uma palavra aparece IMU, a letra M pode ser eliminada. Com base nos cinco postulados acima, prove os seguintes teoremas: Teorema 1. Todas as palavras constru´ıdas a partir da palavra MI comec¸am com a letra M. Teorema 2. Todas as palavras constru´ıdas a partir da palavra MI possuem a letra I. Teorema 3. E´ imposs´ıvel partir da palavra MI e chegar a` palavra MU. Pimentel (UFRN) UFRN 11 de Fevereiro de 2014 10 / 16 1 Euclides 2 Um pouco de lo´gica 3 Axiomas de incideˆncia 4 Para casa Pimentel (UFRN) UFRN 11 de Fevereiro de 2014 11 / 16 Termos primitivos ponto; reta; pertencer a (dois pontos pertencem a uma u´nica reta); esta´ entre (o ponto C esta´ entre A e B); Pimentel (UFRN) UFRN 11 de Fevereiro de 2014 12 / 16 Axiomas de incideˆncia AI1. Dados dois pontos distintos, existe uma u´nica reta que os conte´m. AI2. Em toda reta existem pelo menos dois pontos distintos. AI3. Existem treˆs pontos distintos com a propriedade que nenhuma reta passa pelos treˆs pontos. Teoremas: T1. Toda reta possui pelo menos dois pontos. T2. Na˜o existe uma reta contendo todos os pontos. T3. Existem pelo menos treˆs pontos no plano. Pimentel (UFRN) UFRN 11 de Fevereiro de 2014 13 / 16 Retas Definic¸a˜o: Duas retas sa˜o ditas paralelas se a sua intersec¸a˜o for vazia. Proposic¸a˜o 2. Duas retas distintas ou na˜o se interceptam ou interceptam-se em um u´nico ponto. Prova. Sejam m e n duas retas distintas. Se m e n possuem pelo menos dois pontos distintos em comum enta˜o, pelo AI1, m e n coincidem, que e´ uma contradic¸a˜o com o fato de m e n serem retas distintas. Logo, m e n ou possuem um ponto em comum ou nenhum. Proposic¸a˜o 3. Para todo ponto P, existem pelo menos duas retas distintas passando por P. Prova. AI3: existe um ponto Q distinto de P. AI1: existe uma u´nica reta r que passa por P e Q. AI3: existe um ponto R que na˜o pertence a r . AI1: existe uma reta s distinta de r que conte´m os pontos P e R. Proposic¸a˜o 4. Para todo ponto P existe pelo menos uma reta r que na˜o passa por P. Pimentel (UFRN) UFRN 11 de Fevereiro de 2014 14 / 16 1 Euclides 2 Um pouco de lo´gica 3 Axiomas de incideˆncia 4 Para casa Pimentel (UFRN) UFRN 11 de Fevereiro de 2014 15 / 16 Para fazer dia 18/02/2014 e entregar dia 20/02/2014 Prove a Proposic¸a˜o 4. Quantos pontos de intersec¸a˜o pode ter um conjunto de treˆs retas do plano? E um conjunto de 4 retas do plano? Construa um exemplo de uma “geometria” com 6 pontos, em que sejam va´lidos os axiomas AI1 e AI2 e em que todas as retas tenham exatamente 3 pontos. Tente descrever uma geometria em que o axioma AI1 na˜o seja va´lido. Pimentel (UFRN) UFRN 11 de Fevereiro de 2014 16 / 16 Main Talk Euclides Um pouco de lógica Axiomas de incidência Para casa
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