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FUNDAMENTOS DE 
GEOMETRIA
Mariana Sacrini Ayres Ferraz
Introdução à geometria 
euclidiana espacial
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Descrever os postulados, definições e teoremas iniciais da geometria 
euclidiana espacial.
 � Classificar retas no espaço.
 � Resolver problemas envolvendo demonstrações.
Introdução
O conhecimento de geometria que temos hoje deve-se aos trabalhos 
publicados por Euclides, em aproximadamente 200 a.C. Em uma das obras 
mais influentes de todos os tempos, com termos considerados simples, 
o “Pai da Geometria” a definiu como conhecemos até hoje (AZEVEDO 
FILHO, 2015; SANTOS, 2016).
Neste capítulo, você verá os postulados da geometria euclidiana 
espacial, além de classificar as retas no espaço e resolver alguns problemas 
envolvendo demonstrações de teoremas referentes à temática. 
Postulados de Euclides
A geometria que você conhece hoje é baseada em conhecimentos que vêm de 
300 a.C.. Euclides, matemático grego que viveu em Alexandria, foi responsável 
por escrever Elementos, um dos mais famosos trabalhos dentro da matemática 
(AZEVEDO FILHO, 2015; SANTOS, 2016). A obra consiste em 13 volumes, 
dos quais os seis primeiros tratam de geometria plana elementar. Euclides 
apresentou o assunto com nove “noções comuns”, cinco postulados e mais de 
150 proposições (AZEVEDO FILHO, 2015; SANTOS, 2016).
Segundo o matemático, a geometria pode ser vista como uma ciência dedu-
tiva que atua a partir de noções comuns e postulados (ou axiomas) (SANTOS, 
2016). A seguir, estão listados as noções comuns e os postulados contidos no 
primeiro livro da obra, traduzidos diretamente do original (BICUDO, 2009 
apud SANTOS, 2016).
Noções comuns:
1. as coisas iguais à mesma coisa são também iguais entre si;
2. caso sejam adicionadas coisas iguais a coisas iguais, os todos são iguais;
3. caso sejam subtraídas iguais de iguais, as restantes são iguais;
4. caso sejam adicionadas a desiguais, os todos são desiguais;
5. os dobros da mesma coisa são iguais entre si;
6. as metades da mesma coisa são iguais entre si;
7. as coisas que se ajustam uma à outra são iguais entre si;
8. o todo é maior do que a parte;
9. duas retas não contêm uma área.
Postulados:
1. ficar postulado traçar uma reta a partir de todo ponto até todo ponto;
2. prolongar uma reta limitada, continuamente, sobre uma reta;
3. com todo centro e distância, descrever um círculo;
4. serem iguais entre si todos os ângulos retos;
5. caso uma reta, caindo sobre duas outras, faça os ângulos interiores e 
do mesmo lado menores do que dois retos, sendo prolongadas as duas 
retas, ilimitadamente, encontram-se no lado no qual estão os menores 
do que dois retos (π) (Figura 1).
Figura 1. Representação do 5º postulado de Euclides.
Fonte: Santos (2016, p. 19).
Introdução à geometria euclidiana espacial2
Os postulados de Euclides, embora exibam certa simplicidade, foi o primeiro 
modelo para o espaço físico, além do mais duradouro. A estrutura proposta 
pelo matemático permaneceu intacta por mais de dois mil anos. Apenas com 
a descoberta de geometrias não euclidianas que a comunidade matemática 
acabou revisando a sua obra, reforçando suas demonstrações e seus postulados 
(SANTOS, 2016).
Você sabia que a obra Elementos, de Euclides, é considerada um dos textos mais 
influentes de todos os tempos?
Ela perde em número de edições publicadas somente para a Bíblia, chegando a 
quase mil edições (AZEVEDO FILHO, 2015; SANTOS, 2016).
Fonte: Esquadrão do Conhecimento (2015, documento on-line)
3Introdução à geometria euclidiana espacial
Retas no espaço
As retas são linhas infinitas formadas por pontos, e dois pontos distintos 
determinam uma única reta. Já um plano é um subconjunto do espaço R3, onde 
dois pontos quaisquer podem ser ligados por um segmento de reta contido 
nesse subconjunto. Podemos afirmar que três pontos não colineares entre si 
determinam um único plano que passa por eles. 
Observe essas representações na Figura 2, a seguir.
Figura 2. Representações de pontos, retas e planos.
Fonte: Reis (2014, p. 4).
Duas retas no espaço R3 podem ser classificadas como: paralelas, concor-
rentes ou reversas. Chamamos de retas coplanares aquelas que pertencem a 
um mesmo plano. A seguir, veja sobre cada uma delas.
Introdução à geometria euclidiana espacial4
 � Retas paralelas: suponha duas retas coplanares r e s, que são paralelas 
(r//s) se, e somente se, não existirem pontos em comum (Figura 3).
Figura 3. Representação de retas paralelas em 
um mesmo plano.
Fonte: Reis (2014, p. 4).
 � Retas concorrentes: suponha duas retas coplanares r e s, que são con-
correntes se possuírem apenas um ponto P em comum (Figura 4), ou 
seja, r∩s = {P}.
Figura 4. Representação de retas concorrentes 
em um mesmo plano.
Fonte: Reis (2014, p. 4).
Caso a angulação entre as retas concorrentes seja de 90º, elas podem ser 
chamadas de perpendiculares.
5Introdução à geometria euclidiana espacial
 � Retas coincidentes: suponha duas retas coplanares r e s, que são coin-
cidentes (r ≡ s) se todos os seus pontos forem comuns (Figura 5).
Figura 5. Representação de retas coincidentes.
Fonte: Reis (2014, p. 4).
r ≡ s
 � Retas reversas: suponha duas retas r e s em dois planos diferentes α e 
β, que são reversas se não tiverem pontos em comum, r ∩ s = ∅, e não 
forem paralelas (Figura 6).
Figura 6. Representação de retas reversas. 
Fonte: Sodré (2006, documento on-line).
s
r
 β
α
Introdução à geometria euclidiana espacial6
Exemplos de demonstrações
Nesta seção, você verá como resolver alguns teoremas que envolvem retas no 
espaço. Primeiramente, definiremos alguns axiomas da geometria espacial.
 � Axioma 1: por dois pontos do espaço, passa uma, e somente uma, reta.
 � Axioma 2: dada uma reta do espaço, existem pontos que pertencem à 
reta e pontos que não pertencem à reta.
 � Axioma 3: por três pontos do espaço não situados na mesma reta, passa 
um, e somente um, plano.
Teorema 1. Por uma reta r e um ponto P exterior 
a essa reta, passa um único plano.
Inicialmente, tome em r dois pontos distintos A e B. Note que os pontos A, 
B e P são não colineares. Pelo axioma 3, passará apenas um único plano por 
esses três pontos. Como a reta r possui dois de seus pontos no plano, ou seja, 
A e B, logo ela está contida nele. Assim, passarão um único plano por uma 
reta r e um ponto P exterior à mesma.
Teorema 2. Por duas retas concorrentes 
r e s, passa um único plano.
Suponha duas retas concorrentes r e s, com ponto comum P. Tome os pontos 
A e B em cada reta e distintos. Pelo axioma 3, esses três pontos definem um único 
plano. Como ambas as retas possuem dois de seus pontos no plano, elas estão 
contidas nele. Assim, por duas retas concorrentes r e s, passa um único plano.
7Introdução à geometria euclidiana espacial
Se duas retas paralelas forem atravessadas por uma terceira, transversal, esta definirá 
oito ângulos entre elas, conforme a figura a seguir.
Fonte: Reis (2014, p. 28).
Cada ângulo formado tem uma denominação especial, conforme segue.
Fonte: Reis (2014, p. 28).
Assim, temos que:
Fonte: Reis (2014, p. 29).
Em relação a essa questão, temos o seguinte teorema: para duas retas distintas 
serem paralelas, é necessário e suficiente que se formem ângulos alternos ou ângulos 
correspondentes congruentes com uma reta transversal.
Introdução à geometria euclidiana espacial8
Fonte: Reis (2014, p. 29).
Neste capítulo, você se familiarizou com a obra de Euclides e, também, com 
um elemento geométrico muito importante: a reta. Ela é bastante relevante para 
os estudos de geometria mais avançados, como a construção e o entendimento 
de elementos espaciais — por exemplo, sólidos e poliedros. 
AZEVEDO FILHO, M. F. Geometria euclidiana espacial. 3. ed. Fortaleza: EDUECE, 2015. 
Disponível em: https://educapes.capes.gov.br/bitstream/capes/177804/2/Livro_Ma-
tematica_Geometria%20Euclidiana%20Espacial.pdf. Acesso em: 06 jun. 2019.
ESQUADRÃO DO CONHECIMENTO.Euclides e os ‘elementos’. 2015. Disponível em: https://
esquadraodoconhecimento.wordpress.com/2015/04/20/euclides-e-os-elementos/. 
Acesso em: 06 jun. 2019.
REIS, A. G. Geometrias plana e sólida: introdução e aplicações em agrimensura. Porto 
Alegre: Bookman, 2014. (Série Tekne).
SANTOS, W. T. A história do quinto postulado, as geometrias não-euclidianas e suas impli-
cações no pensamento científico. 2016. Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura 
em Matemática) — Curso de Matemática, Instituto de Matemática, Estatística e Física, 
Universidade Federal do Rio Grande, 2016. Disponível em: https://imef.furg.br/images/
stories/Monografias/Matematica_licenciatura/TCC_Wellington_2016.pdf. Acesso em: 
06 jun. 2019.
SODRÉ, U. Geometria plana e espacial: elementos de geometria espacial. 2006. Dispo-
nível em: http://www.uel.br/projetos/matessencial/geometria/espacial/element.htm. 
Acesso em: 06 jun. 2019.
9Introdução à geometria euclidiana espacial