Transformações Lineares - Parte 2

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CENTRO UNIVERSITÁRIO IESB
CURSO: ENGENHARIA CIVIL							Turma: ENCD3A
DISCIPLINA: Álgebra Linear
TRANSFORMAÇÕES LINEARES – continuação (Parte 2/2)
Matriz de uma TL – T = é matriz mxn de f: V W, em relação às bases A e B, de V e W, respectivamente, se f(v)B = TvA , sempre que a dim V=2 (n) e dim W=3 (m), onde as colunas da matriz T são f(v1)B e f(v2)B , isto é, as componentes das imagens dos vetores v1 e de v2 da base A={ v1 , v2 } de V, em relação à base B={w1, w2, w3} de W. Em f(v)B = TvA , o vetor vA é um vetor v, expresso na base A. Se os vetores das bases A e B forem canônicos, T será uma matriz canônica de f; e, neste caso, v = vA ; f(v) = f(v)B e escreve-se simplesmente, f(v) = Tv . Quando a matriz do operador linear f: V V éTA , a fórmula f(v)B = TvA torna-se em f(v)A = TA .vA . 
Para calcular a matriz T de f, nas bases A e B, procede-se da seguinte forma:
1º) Analisa-se a ordem da matriz T, para definir mxn, que é a dim W x dim V.
2º) Calculam-se f(v1) , f(v2) , f(vi ), isto é, aplicam-se os valores das coordenadas dos vetores da base A na lei de formação dada/definida, encontrando-se, assim, o valor das imagens de vi .
3º) Coloca-se f(v1) , f(v2) , f(v3)B etc. como combinação linear dos elementos-coluna de T com os vetores wi de B.
4º) De posse dos valores de a i j , elabora-se a matriz T. 
Operações com TLs – Sejam f1: V W e f2: V W duas TLs. Define-se:
a) Adição: f1 + f2 : V W e (f1 + f2 ) v = f1 (v) + f2 (v), para todo v v V. Se T1 e T2 são matrizes de f1 e f2 , a matriz que representa (f1 + f2 ) é S = T1 + T2 .
b) Multiplicação por Escalar: Sejam f: V W, uma TL, e, avR. Então, (af)v = af(v), para todo v v V. Se T é a matriz de f, em bases quaisquer de V e W, a matriz que representa (af)v é E = aT. 
c) Composição – Sejam f1: V W e f2: W U duas TLs. Define-se aplicação composta de f1 com f2 :
	f2 o f1 : V U, e, (f2 o f1)(v) = f2 (f1(v)), para todo v de V. Se T1 e T2 são matrizes de f1 e f2 , a matriz que representa a composição (f2o f1) é P = T1. T2 .