Operadores Lineares

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CENTRO UNIVERSITÁRIO Instituto de Educação Superior de Brasília – IESB 
Curso: ENGENHARIA CIVIL				 Turma: ENC D3A
Disciplina: Álgebra Linear
OPERADORES LINEARES
Operadores lineares: função ou transformação linear de um espaço vetorial V em si mesmo, isto é, f: V V.
Operador inversível/ regular ou não-singular: operador f: V V, indicado por f -1, que admite operador inverso. Possui as seguintes propriedades: i) Se f é inversível e f-1 é o seu inverso, tem-se que f o f -1 = f -1 o f = I (identidade);
 ii) Se f é linear inversível, então a f – 1 também é linear.
 iii) Se T é a matriz de transformação de f, então T-1 é a matriz B de f -1, ié, B =T – 1 , desde que T 0 .
Exemplo: O operador linear f : R2 R2, f(x,y) = (4x – 3y, – 2x + 2y), é inversível pois a sua matriz de transformação T possui seu determinante 0 (uma matriz admite inversa, se e só se seu determinante for diferente de zero).
 Neste caso, para encontrar a lei que determina a transformação, basta elaborar T, calcular a sua inversa, e multiplicá-la por [x,y].
Assim, temos: f -1 (x,y) = [x´, y´ ] = T-1 [x,y]. 
Cálculos: Se T=
 f -1 (x,y) = T-1 [x,y] = f -1 (x,y) = (x + 3y/2 , x + 2y).2x2
2x1
2x1
Matrizes Semelhantes:
Duas matrizes TA e TB (que são matrizes que representam o operador f nas bases A e B são semelhantes, quando definem um mesmo operador linear f, em duas bases diferentes, no espaço vetorial V.
Neste caso, deve existir uma matriz inversível Q, de mudança de base de B para A, tal que TB = Q-1 TA Q. 
E ainda, , ié, o determinante de TA tem o mesmo valor do determinante de TB .
A matriz Q pode ser calculada, fazendo-se: Q = A-1.B. 
Exemplo 1: Sejam a função f : R2 R2 , duas bases A={(3,4), (5,7)} e B={(1,1), ( -1,1)} e TA =. Verifiquemos se . Para isso, precisamos calcular a matriz TB . Mas, TB = Q-1 TA . Não temos Q, mas podemos calculá-la: Q = A-1.B.
Então, se A= Q = A-1.B = 
TB = Q-1 TA Q= e Portanto, TA e TB são semelhantes.
Exemplo 2: Dado o operador linear f : R2 R2, definida por f(x,y) = (2x+9y , x+ 2y), a) determinar T, matriz canônica de f,
 b) calcular a matriz de f na base B={(3,1), ( -3, 1)}, utilizando a relação entre matrizes semelhantes.
Solução: a) a matriz canônica de f é identificável por meio dos coeficientes da lei de formação de f T = =TA
b) A matriz Q de mudança de base B para a canônica A, é Q = A-1.B = I-1.B = I.B = B = Q-1 = 
 TB = Q-1 TA Q= .=.=
Operador Ortogonal: é o operador f: V V, que preserva o módulo de cada vetor, isto é. I f(v) I = I v I. 
Propriedades: I) Se f : V V é um operador ortogonal e A a matriz de f numa base ortonormal qualquer, isto é, f(v) = Av, então A é uma matriz ortogonal, ou seja, At = A-1 . Assim, para verificar se uma matriz A é ortogonal, basta provar que sua transporta At se iguala com a inversa A-1.
 Propriedade II) As filas (colunas ou linhas) de uma matriz ortogonal são vetores ortonormais, ou seja, At .A=I. 
Propriedade III) O produto de duas matrizes ortogonais é uma matriz ortogonal. 
Propriedade IV) Num espaço vetorial euclidiano, a matriz de mudança de uma base ortonormal para outra base ortonormal é uma matriz ortogonal. 
Propriedade V) A matriz, numa base ortonormal, de um operador ortogonal f : V V é sempre ortogonal, independente da base ortonormal do espaço vetorial V. 
Propriedade VI) Todo operador ortogonal f : V V preserva o produto interno dos vetores. 
Propriedade VII) Se A é uma matriz ortogonal, o det A = Portanto todo operador ortogonal é inversível.
Operador Simétrico: f : V V é simétrico se a matriz A que o representa numa base ortonormal é simétrica, isto é, se A = At. Propriedade: Se f : V V é um operador simétrico, tem-se para quaisquer vetores u e v de V que: f(u).v = u . f(v). 
(Exercícios do livro-texto, páginas 151 a 155)