Trabalho 1

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Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Diretoria de Graduação e Educação Profissional
Departamento Acadêmico de Matemática
Trabalho 1 de Cálculo Diferencial e Integral 2
Data de Entrega: 26/09/2013
Nome: Matrícula: Turma:
Apresente as contas de modo organizado e, se necessário, justifique sua resposta.
1. Determine se a integral converge ou diverge. Se possível, avalie aquelas que são convergentes.
(a)
ˆ +∞
1
x dx√
1 + x6
.
(b)
ˆ 3
0
dx
(3− x)√1 + x2 .
(c)
ˆ pi
0
secx dx.
(d)
ˆ 1
0
x lnx dx.
(e)
ˆ 1
−1
2arcsenx dx
1− x .
(f)
ˆ +∞
1
dx
x
√
x2 − 1 .
2. (a) Prove que
ˆ +∞
−∞
x dx é divergente.
(b) Mostre que lim
t→+∞
ˆ t
−t
x dx = 0.
(c) É possível definir
ˆ +∞
−∞
f(x) dx = lim
t→+∞
ˆ t
−t
f(x) dx ? Justifique.
3. Encontre todos os valores de p para os quais a integral converge e avalie a integral para aqueles
valores de p.
(a)
ˆ +∞
e
dx
x(lnx)p
.
(b)
ˆ 1
0
xp lnx dx.
4. Mostre que 2
ˆ +∞
0
x2e−x
2
dx =
ˆ +∞
0
e−x
2
dx =
ˆ 1
0
√− lnudvx2e−x2 du.
5. Encontre o(s) valor(es) que a constante k deve assumir para que a integral
ˆ +∞
0
(
x
x2 + 1
− k
3x+ 1
)
dx
seja convergente. Avalie o valor da integral para este(s) valor(es) de k.
6. Sejam f uma função de classe C1 em [0, pi] e a, b ∈ [0, pi]. Mostre que a área da superfície gerada
pela rotação da curva polar r = f(θ), a ≤ θ ≤ b, ao redor do eixo polar é
A =
ˆ b
a
2pir sen θ
√
r2 +
(
dr
dθ
)2
dθ
7. Encontre a área da região que está dentro:
(a) de r2 = 2 sen 2θ e ρ = 1.
(b) de r = sen 2θ e ρ = sen θ
(c) de r = 3 cos θ e fora de ρ = 2− cos θ.
8. Mostre que:
(a) A equação polar r = a sen θ + b cos θ, onde ab 6= 0, representa um círculo e calcule seu centro e
o raio.
(b) As curvas r = a cos θ e ρ = a sen θ se interceptam com ângulos retos.
9. Considere r = cos θ + sen θ uma curva em coordenadas polares.
(a) Calcule a inclinação da reta tangente à curva em θ = pi/4.
(b) Encontre os pontos da curva onde a reta tangente é horizontal ou vertical.
(c) Num mesmo sistema de coordenadas, esboce a curva e as retas tangentes obtidas nos itens (b)
e (c).
10. Calcule o comprimento da curva:
(a) r = 2θ, 0 ≤ θ ≤ 2pi.
(b) r = 1 + cos θ.
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