Listas de exercícios_Quântica_ 2-2017

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Primeira Lista de Exercícios de Química Quântica – Prof. Alexandre – 2017/2
Questão 1
Quais das funções abaixo seguem os requisitos mínimos para ser função de onda de uma partícula 
quântica (contínua, primeira derivada contínua e tem quadrado integrável)?
a) =x2 em ]­,+[ 
b) =cos x  em [­,]
c) =ex em [0,+[
d) =e−x em ]­,+[
e) =e−x em [0,+[
f) =e−x
2
em [0,+[
Questão 2
Normalize as seguintes funções de onda:
a)  =e−im com 0 2 
b) =e−2x
2
com ­ < x  
Questão 3
Mostre   que   as   funções   f 1=Asen mx  e f 1=Bcos mx  são   ortogonais   no   intervalo   [­
,]para valores inteiros e positivos de m (A e B são constantes quaisquer).
Segunda Lista de Exercícios de Química Quântica – Prof. Alexandre – 2017/2
Questão 1
A função  Ae−ax com A e a constantes reais positivas, é autofunção do operador 
d 2
dx2
? Em caso 
afirmativo, qual seu autovalor?
Questão 2
Usando a definição de comutador mostre que:
a) [ A , B]=[ A , B] (onde  é uma constante)
b) [ A , B C]=[ A , B][ A , C ]
c) [ A , B C ]=[ A , B] C B [ A , C ]
d) [ A , An]=0 ( onde n é um número natural)
Questão 3
Calcule os comutadores:
a)  [ px , px
2 ]         b)    [ x , px ]   c)  [ x , px
2 ]
Dica: as propriedades provadas na questão 2  são úteis aqui.
Terceira Lista de Exercícios de Química Quântica – Prof. Alexandre – 2017/2
Questão 1
Considere um operador Hermitiano linear Â, tal que  A∣ 〉=a∣ 〉 . Prove que  〈n∣m 〉=0 se 
an  am. 
Questão 2
Considere uma partícula de massa m sujeita a um potencial  V r , t = V r  .
a)   Partindo   da   equação   de   Shrödinger   dependente   do   tempo,   mostre   que   suas   autofunções 
r , t  podem ser  r , t =r u t  .
b) Determine u(t).
c) Mostre que ∣ r , t ∣2=∣r ∣2 e discuta as conseqüências desse fato.
Questão 3
Considere uma partícula de massa m sujeita, numa caixa tridimensional, com o potencial:
V=0 para 0 < x < a;  0 < y < b e  0 < z < c; 
V=∞ para x < 0 e x > a;   y < 0 e y > b e  z < 0 e z > c;
sendo a, b e c constantes reais positivas.
a) Determine a função de onda e os autovalores de energia quando abc. Faça um diagrama de 
neveis de energia em função dos números quânticos (para os 10 primeiros estados).
b) Determine a função de onda e os autovalores de energia quando abc. Faça um diagrama de 
neveis de energia em função dos números quânticos (para os 10 primeiros estados) e indique as 
degenerescências.
Quarta Lista de Exercícios de Química Quântica – Prof. Alexandre – 2017/2
Sejam os operadores:
H=
pq
2
2  
1
2 
2 q2 ; e A+=
1
2 
[ pqi q ]  e  A-=
1
2 
[ pq−i q ]  
Questão 1
Calcule  A + A- e A- A+
Dica1: use  [ q , pq]
Questão 2
Calcule  [ A + , A-]
Questão 3
Prove que  [ H , A+ ]=ℏ A+
Dica2:  [ A B , C D ]=[ A , C ][ A , D ][ B , C ][ B , D ]
Questão 4
Prove que  [ H , A- ]=−ℏ A-
Quinta Lista de Exercícios de Química Quântica – Prof. Alexandre – 2017/2
Questão 1
Prove que  [ J z , J+
k ]=k ℏ J+
k e  [ J z , J -
k ]=−k ℏ J -
k (sendo k=1,2,3...)
Dica: tal como feito em sala para  [ H , A+
k ]=kℏ A+
k
Questão 2
Prove que  J z J+
k∣Y 〉=bk ℏ  J+
k∣Y 〉 e  J z J -
k∣Y 〉=b−k ℏ J -
k∣Y 〉 , sendo que  J z∣Y 〉=b∣Y 〉
Sexta Lista de Exercícios de Química Quântica – Prof. Alexandre – 2017/2
Questão 1
As estados possíveis para o átomo de hidrogênio podem ser representados na forma  ∣n , l , ml 〉 . 
Coloque os estados abaixo num diagrama de energia e indique as possíveis degenerescências.
∣3,2 ,1 〉 ;  ∣1,0,0 〉 ;  ∣2,1,0 〉 ;  ∣2,0,0 〉 ;  ∣3,1,−1 〉 ;  ∣2,1,−1 〉 ;  ∣4,2,0 〉
Questão 2
Prove que, no caso de funções hidrogenóides,  〈 py∣ H∣px 〉=0
Questão 3
Um dos orbitais hidrogenóides é  2pz=r e
−Zr
2a cos  sendo Z e a constantes.
a) Normalize o orbital 2pz.
b) Calcule a distância média elétron­núcleo de um elétron nesse orbital.
Dica1: não esqueça de usar o elemento de integração correto, em coordenadas esféricas!!!
Sétima Lista de Exercícios de Química Quântica – Prof. Alexandre – 2017/2
Sejam para um sistema de n elétrons:   A=
1
n!∣1 1  21  ⋯  n1 1 2  22  ⋯  n2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
 1n  2n  ⋯ n n 
∣ , 
H=∑
i=1
n − ℏ22 m ∇ i2− Zeri ∑i=1
n−1
∑
j=i1
n e2
∣r i−r j∣
;  H A=E A A ;
F i=− ℏ22 m ∇ i2− Ze2r i  ∑j=1 , j≠i
n 〈 j  j ∣ e2∣r i−r j∣∣ j  j 〉− j i  ii  〈i j ∣ e2∣r i−r j∣∣ j j 〉 ;
F i ii=ii i ; h i=〈i k ∣− ℏ22 m ∇ i2− Zer i ∣ik 〉
J i , j=〈ik ∣〈 jl ∣
e2
∣rk−r l∣
∣i l 〉∣ jk 〉
K i , j=〈i k ∣〈 j l ∣
e2
∣r k−rl∣
∣il 〉∣ jk 〉
Questão 1
Prove que  E A=∑
i=1
n
hi∑
i=1
n−1
∑
j=i1
n
Ji , j−K i , j msi ,m sj
Dica1: começar por  E A=〈 A∣ H∣A〉
Dica2: quaisquer bra e ket de função onde um dado elétron k não esteja sendo operado podem ser 
agrupados como  〈l k ∣ lk 〉=1
Questão 2
Prove que E A=∑
i=1
n
i−∑
i=1
n−1
∑
j=i1
n
J i , j−K i , jmsi , msj   e discuta brevemente a diferença entre: (i) 
energia do spin­orbital;  (ii) soma das energias dos spin­orbitais e   (iii) energia total.  Dica: cada 
operador Fi é aplicado no seu respectivo spin­orbital e não na função total.