Efeitos da Aritmética Digital

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Universidade Federal do Acre
PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS
Universidade Federal do Acre
PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS
Efeitos da Aritmética 
Digital
Docente:
Roberto Chura Chambri
Discentes:
Daví Vale das Neves
Hilberto Filho
Lucas Costa Vichinsky
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PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS
CAPA
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Representação numérica
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REPRESENTAÇÃO NUMÉRICA
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Arredondamento
2
ARREDONDAMENTO
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Truncamento
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TRUNCAMENTO
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Overflow
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OVERFLOW
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Saturação
2
SATURAÇÃO
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Exemplo de sistema
2
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Sistema quantizado não linear
2
QUANTIZAÇÃO NÃO LINEAR
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Sistema quantizado linear
2
QUANTIZAÇÃO LINEAR
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INTRODUÇÃO - CAP. 8
Sistemas LIT são 
utilizados geralmente para 
realizar operações de 
filtragem. 
G e r a l m e n t e e m 
s i s t e m a s c o m e s s a 
c a r a c t e r í s t i c a s ã o 
util izador em filtros de 
resposta inf inita ao 
impulso un i tár io ou 
filtros de resposta finita 
ao impulso unitário.
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INTRODUÇÃO - CAP. 8
Desenvolver um sistema 
para esse filtro é teoricamente 
s imples,mas os problemas 
surgem na implementação. 
Até o momento foram ditos 
fatores como custo e como era 
r e a l i z a d a a c o n c e p ç ã o 
esquemática do fi ltro. Esta 
a p r e s e n t a ç ã o t e m c o m o 
objetivo explicitar os efeitos 
d a d i g i t a l i z a ç ã o d o s 
coeficientes.
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DIGITALIZAÇÃO IIR
EFEITOS DA DIGITALIZAÇÃO DE 
SISTEMAS IIR
Q u a n d o o s 
p a r â m e t r o s d e u m a 
f u n ç ã o d e s i s t e m a 
r a c i o n a l s ã o 
digitalizados, os polos e 
os zeros da função de 
sistema se movem para 
novas posições do plano z.
A r e s p o s t a e m 
frequência sofre uma 
perturbação em relação 
ao seu valor original.
Se a estrutura do 
sistema for altamente 
sensível a perturbações 
d o s c o e f i c i e n t e s , o 
sistema resultante pode 
n ã o m a i s a t e n d e r à s 
e s p e c i f i c a ç õ e s d e 
projetos originais, ou 
em sistemas IIR pode 
até tornar-se instável.
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EFEITOS DA DIGITALIZAÇÃO DE 
SISTEMAS IIR
Analises detalhadas de sensibilidade é algo complicado, 
o mais viável é digitalizar os coeficientes das E.D, calcular 
a resposta em frequência e depois comparar com a 
resposta em frequência desejada. 
Um modo viável e muito utilizado de analisar o efeito 
da digitalização é analisar o modo como a função do 
sistema é afetada pela digitalização.
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DIGITALIZAÇÃO IIR
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Represen tação do 
sistema como combinação 
de coeficientes ideais em 
precisão infinita. Após a 
digitalização, temos novos 
coeficientes que diferem 
dos anteriores pelo erro 
de digitalização:
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EFEITOS DA DIGITALIZAÇÃO DE 
SISTEMAS IIR
DIGITALIZAÇÃO IIR
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Considerando o modo que os polos e os zeros são 
afetados:Cada polo ou zero é afetado pelos erros de 
todos os outros coeficientes digitalizados, visto que 
cada polo ou zero está em função de todos os 
outros coeficientes , sejam do numerador ou 
denominador.
Assim, cada polo e cada zero serão afetados por 
todos os erros de digitalizações.
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EFEITOS DA DIGITALIZAÇÃO DE 
SISTEMAS IIR
DIGITALIZAÇÃO IIR
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Sistema representados na forma cascata ou em paralelo são 
combinações de sistemas na forma direta. Nesses casos, cada par de 
polos conjugados complexos é realizado independentemente dos 
outros polos; Resultando em erros independentes de todos os 
outros polos. Isto é, nessas representações, os sistemas são menos 
sensíveis às digitalizações
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EFEITOS DA DIGITALIZAÇÃO DE 
SISTEMAS IIR
DIGITALIZAÇÃO IIR
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Na prática, a forma 
paralela é muito menos 
sensível à digitalização dos 
coe f i c ientes do que as 
f o r m a s d i r e t a s 
equivalentes;
S u b s i s t e m a s d e 
segunda ordem não são 
extremamente sensíveis a 
digitalização.
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EFEITOS DA DIGITALIZAÇÃO DE 
SISTEMAS IIR
DIGITALIZAÇÃO IIR
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EFEITOS EM POLOS DE SECÇÕES DE 
SEGUNDA ORDEM
POLOS E SECÇÕES 2ª ORDEM
Considere um par de polos complexos conjugados 
que tenham sido implementados usando a forma direta 
como exibido na figura abaixo:
])cos(2[1
1
)(
2rr
zH  
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EFEITOS EM POLOS DE SECÇÕES DE 
SEGUNDA ORDEM
POLOS E SECÇÕES 2ª ORDEM
O s p o l o s 
deverão estar em uma 
g r a d e n o p l a n o z 
d e f i n i d a p e l a 
i n t e r s e c ç ã o d e 
c i r c u n f e r ê n c i a 
cocêntricas e linhas 
verticais (esquerda).
A f i g u r a ( à 
direita) mostra uma 
g r a d e m a i s d e n s a 
o b t i d a c o m a 
digitalização em sete 
bits.
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EFEITOS EM POLOS DE SECÇÕES DE 
SEGUNDA ORDEM
POLOS E SECÇÕES 2ª ORDEM
Uma estrutura 
a l t e r n a t i v a d e 
segunda o rd e m é 
mostrada na figura ao 
lado.
Essa estrutura é 
chamada de forma de 
acoplamento para 
sistema de segunda 
ordem.
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EFEITOS DA DIGITALIZAÇÃO DE 
SISTEMAS FIR
DIGITALIZAÇÃO DE SISTEMAS FIR
x[z] y[z]
A função para digitalização 
de filtros de resposta ao impulso 
finito é dada por:
)()(][ˆ)()(ˆ
][)(
][)(
0
0
0
zHzHznhzHzH
znhzH
znhzH
nM
n
nM
n
nM
n












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EXEMPLO - DIGITALIZAÇÃO FIR
EXEMPLO - DIGITALIZAÇÃO FIR
Considere o o seguinte filtro passa baixa FIR de faze linear com as 
seguintes especificações:
)60(001.0)(
01.1)(99.0
dBeH
eH
j
j








6.0
4.00
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EXEMPLO - DIGITALIZAÇÃO FIR
EXEMPLO - DIGITALIZAÇÃO FIR
O tipo de filtro em questão é um filtro FIR projetado utilizando a técnica de 
projeção de Parks Mc-Klein. Os detalhes da projeção não serão destacados nesse 
tópico, porém serão destados os problemas que existem na projeção do filtro. Ou 
melhor dizendo na digitalização dos coeficientes. Os erros são relacionados, em 
grande parte, a aproximação e truncamentos, coisas que ocorrem devido a 
natureza do hardware que possui uma memória finita. A próxima tabela mostra os 
valores dos coeficientes para o filtro em questão. Notem que existem alguns 
coeficientes com valores iguais, portanto esse filtro possui um total de 28 
coeficientes.
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EXEMPLO - DIGITALIZAÇÃO FIR
EXEMPLO - DIGITALIZAÇÃO FIR
Coeficiente Não Digitalizado 16 Bits 14 bits 13 bits 8 Bits
h[0]=h[27] 1.359657*10^(-3)45*2^(-15) 11*2^(-13) 6*2^(-12) 0*2^(-7)
h[1]=h[26] -1.615993*10^(-3) -53*2^(-15) -13*2^(-13) -7*2^(-12) 0*2^(-7)
h[2]=h[25] -7.78032*10^(-3) -254*2^(-15) -63*2^(-13) -32*2^(-12) -1*2^(-7)
h[3]=h[24] -2.686841*10^(-3) -88*2^(-15) -22*2^(-13) -11*2^(-12) 0*2^(-7)
h[4]=h[23] 1.255246*10^(-2) 411*2^(-15) 103*2^(-13) 51*2^(-12) 2*2^(-7)
h[5]=h[22] 6.591530*10^(-3) 216*2^(-15) 54*2^(-13) 27*2^(-12) 1*2^(-7)
h[6]=h[21] -2.217952*10^(-2) -717*2^(-15) -182*2^(-13) -91*2^(-12) -3*2^(-7)
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EXEMPLO - DIGITALIZAÇÃO FIR
EXEMPLO - DIGITALIZAÇÃO FIR
Coeficiente Não Digitalizado 16 Bits 14 bits 13 bits 8 Bits
h[7]=h[h20] -1.524663*10^(-2) -500*2^(-15) -125*2^(-13) -62*2^(-12) -2*2^(-7)
h[8]=h[19] 3.720668*10^(-2) 1219*2^(-15) 305*2^(-13) 152*2^(-12) 5*2^(-7)
h[9]=h[18] 3.233332*10^(-2) 1059*2^(-15) 265*2^(-13) 132*2^(-12) 4*2^(-7)
h[10]=h[17] -6.537057*10^(-2) -2142*2^(-15) -536*2^(-13) -268*2^(-12) -8*2^(-7)
h[11]=h[16] -7.528754*10^(-2) -2467*2^(-15) -617*2^(-13) -308*2^(-12) -10*2^(-7)
h[12]=h[15] 1.56097*10^(-1) 5115*2^(-15) 1279*2^(-13) 639*2^(-12) 20*2^(-7)
h[13]=h[14] 4394094*10^(-1) 14399*2^(-15) 3600*2^(-13) 1800*2^(-12) 56*2^(-7)
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PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS2
EXEMPLO - DIGITALIZAÇÃO FIR
EXEMPLO - DIGITALIZAÇÃO FIR
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PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS2
EXEMPLO - DIGITALIZAÇÃO FIR
EXEMPLO - DIGITALIZAÇÃO FIR
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EXEMPLO - DIGITALIZAÇÃO FIR
EXEMPLO - DIGITALIZAÇÃO FIR
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PRESERVANDO A FASE LINEAR
Uma das principais vantagens do filtro FIR é que ele 
possui uma fase linear generalizada. Anteriormente foi 
discutido que para um sistema FIR de fase linear com 
resposta ao impulso, obtem-se a seguinte resposta para 
sistemas simétricos {h[M-n]=h[n]} ou para sistemas 
antissimétricos {h[M-n]=-h[n]}. Assim o sistema que foi 
discutido antes preserva a fase mantendo ela linear para 
qualquer condição de coeficientes. 
Para sistemas cuja digitalização é grosseira ou 
possuem uma ordem de polos muito grandes, pode se 
realizar a utilização de um sistema FIR em cascata. 
2
PRESERVANDO A FASE LINEAR
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Para o sistema como exemplo (mais detalhes 
serão discutidos depois como se realizam sistemas FIR 
em cascata de Herrmann e Schussler).
PRESERVANDO A FASE LINEAR
PRESERVANDO A FASE LINEAR
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FENÔMENO DE GIBBS 
2
FENÔMENO DE GIBBS
Quando se trata de uma função contínua, a tendência é que quando é 
aumentada a amostragem o ruído e a ondulação diminuam, porém isso só é válido 
para funções contínuas. Para funções cuja característica é a descontinuidade esses 
efeitos não tendem a diminuir e permanecem constantes, porém a onda ainda 
possuirá valores maiores de amostragem, que por sua vez destacarão a quantidade 
de ruído e ondulação. Esse efeito é conhecido como o Fenômeno de Gibbs.
Fonte: LucasVB Public Domain, 
https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=1213511 
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Porém, ele é um fenômeno típico de funções periódicas. Para transformar uma 
função aleatória em uma função periódica, basta tomarmos seus termos relacionados à 
transformada de Fourrier. Porém a periodicidade implica que se a função não for contínua 
ela sofrerá perturbações dentre as mais visíveis os harmônicos.
FENÔMENO DE GIBBS 
Fonte: Cmglee 
https://commons.wi
kimedia.org/w/inde
x.php?curid=32504
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FENÔMENO DE GIBBS
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FENÔMENO DE GIBBS
FENÔMENO DE GIBBS 
Fonte: Jadysfeijo 
https://commons.wi
kimedia.org/w/inde
x.php?curid=41200
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Para processamento 
digital de sinais esse efeito 
é indesejado pois altera a 
l e i t u r a d o s i n a l p o r 
equipamentos seja ele por 
erros de pico atribuidos ao 
ruído ou devido a erros 
oscilatórios.
A solução em baixas 
frequências é a aplicação 
de um filtro Passa-Baixa.
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FENÔMENO DE GIBBS
FENÔMENO DE GIBBS 
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Fonte: Peretuset 
https://commons.wikimedia.org/w/ind
ex.php?curid=9901845
Oppenheim, Alan V.; Schafer, R. 
W.; and Buck, J . R . (1999) . 
Discrete-time signal processing. 
Upper Saddle River, N.J.: Prentice 
Hall
Chen, Chi-Tsong; Digital Signal 
Processing: spectral computation 
and filter design. Oxford Publisher. 
(2001)