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ME´TODOS ESTATI´STICOS I EXERCI´CIO PROGRAMADO 11 1o Semestre de 2017 Prof. Moise´s Lima de Menezes Versa˜o Tutor 1. No lanc¸amento de dois dados, considere as seguintes varia´veis aleato´rias: X : nu´mero de pontos obtidos no primeiro dado; Y : nu´mero de pontos obtidos no segundo dado. a) Cosntrua a distribuic¸a˜o de probabilidade das seguintes varia´veis: I) W = X − Y ; II) A = 2Y ; III) Z = XY ; IV) B = ma´ximo de (X, Y ) . b) Cosntrua a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada das varia´veis W , Z e B ; c) Calcule as segunites probabilidades: I) P (−3 < W ≤ 3) ; II) P (0 ≤ W ≤ 4, 5) ; III) P (A > 6) ; IV) P (Z ≤ 5, 5) ; V) P (Z = 3) ; VI) P (1 ≤ B ≤ 4) ; VII) P (W ≤ −8) ; VIII) P (A ≥ 11) ; IX) P (20 ≤ Z ≤ 35) ; X) P (B = 8) ; XI) P (−1 < A < 8) ; XII) P (3, 5 < Z < 34) . 2. Uma varia´vel aleato´ria discreta tem a distribuic¸a˜o de probabilidade dada por: fX(x) = K x , para x = 1, 3, 5, 7 . a) Determine K ; b) Determine P (x = 5) . 3. Seja Z a varia´vel aleato´ria que corresponde ao nu´mero de pontos de domino´. a) Cosntrua a distribuic¸a˜o de probabilidades de Z ; b) Determine a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada de Z , FZ(z) ; c) Calcular P (2 ≤ Z < 6) ; d) Calcular FZ(8) . 4. (AD2 - Questa˜o 4) - (2,5 pontos)* Considere uma varia´vel aleato´ria discreta X com a seguinte distribuic¸a˜o de probabilidades: X 0 1 2 3 4 5 6 p(x) 0,10 0,15 p 0,20 0,05 0,06 0,04 a) Determineo o valor de p ; b) Deterimne P (X ≤ 3) ; c) Determine P (1 < X ≤ 5) ; d) Determine P (X ≥ 4) ; e) Determine P (5 ≤ X ≤ 8) . 1 Soluc¸o˜es: 1. O espac¸o amostral do lanc¸amento de dois dados e´: (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) Ω= (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) a) I) O espac¸o amostral de X − Y e´: 0 -1 -2 -3 -4 -5 1 0 -1 -2 -3 -4 W = X − Y = 2 1 0 -1 -2 -3 3 2 1 0 -1 -2 4 3 2 1 0 -1 5 4 3 2 1 0 Logo: W = w -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 fW (w) 1 36 2 36 3 36 4 36 5 36 6 36 5 36 4 36 3 36 2 36 1 36 II) O espac¸o amostral de 2Y e´: 2 4 6 8 10 12 2 4 6 8 10 12 A = 2Y = 2 4 6 8 10 12 2 4 6 8 10 12 2 4 6 8 10 12 2 4 6 8 10 12 Logo: A = a 2 4 6 8 10 12 fA(a) 6 36 6 36 6 36 6 36 6 36 6 36 III) O espac¸o amostral de XY e´: 1 2 3 4 5 6 2 4 6 8 10 12 Z = XY = 3 6 9 12 15 18 4 8 12 16 20 24 5 10 15 20 25 30 6 12 18 24 30 36 2 Logo: Z = z 1 2 3 4 5 6 8 9 10 12 15 16 18 20 24 25 30 36 fZ(z) 1 36 2 36 2 36 3 36 2 36 4 36 2 36 1 36 2 36 4 36 2 36 1 36 2 36 2 36 2 36 1 36 2 36 1 36 IV) O espac¸o amostral de ma´ximo de (X, Y ) e´: 1 2 3 4 5 6 2 2 3 4 5 6 B = ma´ximo de (X, Y ) = 3 3 3 4 5 6 4 4 4 4 5 6 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 Logo: B = b 1 2 3 4 5 6 fB(b) 1 36 3 36 5 36 7 36 9 36 11 36 b) FW (w) = 0, se w < −5 1/36, se −5 ≤ w < −4 3/36, se −4 ≤ w < −3 6/36, se −3 ≤ w < −2 10/36, se −2 ≤ w < −1 15/36, se −1 ≤ w < 0 21/36, se 0 ≤ w < 1 26/36, se 1 ≤ w < 2 30/36, se 2 ≤ w < 3 33/36, se 3 ≤ w < 4 35/36, se 4 ≤ w < 5 1, se w ≥ 5 FB(b) = 0, se b < 1 1/36, se 1 ≤ b < 2 4/36, se 2 ≤ b < 3 9/36, se 3 ≤ b < 4 16/36, se 4 ≤ b < 5 25/36, se 5 ≤ b < 6 1, se b ≥ 6 3 FZ(z) = 0, se z < 1 1/36, se 1 ≤ z < 2 3/36, se 2 ≤ z < 3 5/36, se 3 ≤ z < 4 8/36, se 4 ≤ z < 5 10/36, se 5 ≤ z < 6 14/36, se 6 ≤ z < 8 16/36, se 8 ≤ z < 9 17/36, se 9 ≤ z < 10 19/36, se 10 ≤ z < 12 23/36, se 12 ≤ z < 15 25/36, se 15 ≤ z < 16 26/36, se 16 ≤ z < 18 28/36, se 18 ≤ z < 20 30/36, se 20 ≤ z < 24 32/36, se 24 ≤ z < 25 33/36, se 25 ≤ z < 30 35/36, se 30 ≤ z < 36 1, se z ≥ 36 c) I) P (−3 < W ≤ 3) = FW (3)− FW (−3) = 33 36 − 6 36 = 27 36 = 3 4 . II) P (0 ≤ W ≤ 4, 5) = FW (4, 5)− FW (0) + fW (0) = 35 36 − 21 36 + 6 36 = 20 36 = 5 9 . III) P (A > 6) = fA(8) + fA(10) + fA(12) = 6 36 + 6 36 + 6 36 = 18 36 = 1 2 . IV) P (Z ≤ 5, 5) = FZ(5, 5) = 10 36 = 5 18 . V) P (Z = 3) = 2 36 = 1 18 . VI) 4 P (1 ≤ B ≤ 4) = FB(4)− FB(1) + fB(1) = 16 36 − 1 36 + 1 36 = 16 36 = 4 9 . VII) P (W ≤ −8) = FW (−8) = 0. VIII) P (A ≥ 11) = fA(12) = 6 36 = 1 6 . IX) P (20 ≤ Z ≤ 35) = FZ(35)− FZ(20) + fZ(20) = 35 36 − 30 36 + 2 36 = 7 36 . X) P (B = 8) = fB(8) = 0. XI) P (−1 < A < 8) = FA(0) + fA(1) + fA(2) + fA(3) + fA(4) + fA(5) + fA(6) + fA(7) = fA(2) + fA(4) + fA(6) = 6 36 + 6 36 + 6 36 = 18 36 = 1 2 . XII) P (3, 5 < Z < 34) = FZ(34)− FZ(3, 5)− fZ(34) = 35 36 − 5 36 − 0 = 30 36 = 5 6 . 2. a) Temos que ∑ fX(x) = 1. Assim, K + K 3 + K 5 + K 7 = 1⇒ 105K + 35K + 21K + 15K 105 = 1⇒ 176K = 105⇒ K = 105 176 . b) P (x = 5) = 105 176 × 1 5 = 21 176 . 5 3. As pec¸as do domino´ sa˜o: o nu´mero de pontos das pec¸as sa˜o: 0 1 2 2 3 4 3 4 5 6 4 5 6 7 8 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 11 12 a) A distribic¸a˜o de probabilidade de Z e´: Z = z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 fZ(z) 1 28 1 28 2 28 2 28 3 28 3 28 4 28 3 28 3 28 2 28 2 28 1 28 1 28 6 b) FZ(z) = 0, se z < 0 1/28, se 0 ≤ z < 1 2/28, se 1 ≤ z < 2 4/28, se 2 ≤ z < 3 6/28, se 3 ≤ z < 4 9/28, se 4 ≤ z < 5 12/28, se 5 ≤ z < 6 16/28, se 6 ≤ z < 7 19/28, se 7 ≤ z < 8 22/28, se 8 ≤ z < 9 24/28, se 9 ≤ z < 10 26/28, se 10 ≤ z < 11 27/28, se 11 ≤ z < 12 1, se z ≥ 12 c) P (2 ≤ Z < 6) = fZ(2) + fZ(3) + fZ(4) + fZ(5) = 2 28 + 2 28 + 3 28 + 3 28 = 10 28 = 5 14 . d) FZ(8) = 22 28 = 11 14 . 7
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