LISTA DE CÁLCULO I Derivadas

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LISTA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I – 2ª AVALIAÇÃO 
PROFESSOR: Paulo Estéfano 
 
CONTEÚDO: Derivada 
 
1) Determinar a equação da reta tangente e normal ás seguintes curvas, nos pontos 
indicados. 
a) f (x) = x² - 1; x = 1, x = 0. 
b) f (x) = x² - 3x + 6; x = -1, x = 2. 
 
2) Encontrar a equação da reta tangente à curva y = 
2𝑥 + 1
3𝑥−4
 no ponto de abscissa x = 
-1. 
 
3) Encontrar as equações das retas tangente e normal à curva y = x² - 2x + 1 no 
ponto (-2,9). 
 
4) Calcule a derivada das funções dadas. 
a) f (r) = πr² 
b) f (x) = 3x² + 6x – 10 
c) f (x) = ax² + b 
d) f (x) = 14 – 
1
2
𝑥−3 
e) f (x) = (3x² + 6)(2x + 1) 
f) f (x) = (3𝑥5- 1)(2 - 𝑥4) 
g) f (x) = 
2
3
 (5𝑥 − 3)−1(5x + 3) 
h) f (x) = 
2𝑥 + 4
3𝑥−1
 
i) f (x) = 
3𝑡² +5𝑡−1
𝑡−1
 
j) f (x) = 
𝑥 + 1
𝑥+2
 (3x² + 6x) 
 
5) Seja p(x) = (x - a)(x - b), a e b constantes. Mostrar que se a ≠ b, então p(a) = p(b) 
= 0, mas p’(a) ≠ 0 e p’(b) ≠ 0. 
 
6) Dadas às funções f(x) = x² + Ax e g(x) = Bx, determinar A e B, tal que: 
{
𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥) = 1 + 2𝑥
𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = 𝑥2
 
 
7) Encontrar as equações das retas tangentes à curva y = 
𝑥−1
𝑥+1
 que sejam paralelas à 
reta y = x. 
 
8) Determinar a equação da reta tangente á curva y = 1 – x², que seja paralela à reta 
y = 1 – x. 
 
9) Seja y = ax² + bx. Encontrar os valores de a e b sabendo que a tangente a curva 
no ponto (1, 5) tem inclinação m = 8. 
 
10) Calcule a derivada das funções: 
a) F(x) = 10(3𝑥2 + 7𝑥 − 3)10 
b) F(x) = 
1
3
(2𝑥5 + 6𝑥−3)5 
c) F(x) = 
1
3
(2𝑥5 + 6𝑥−3)5 
d) F(x) = (3𝑥2 + 6𝑥)10 −
1
𝑥2
 
e) F(t) = (
7𝑡+1
2𝑡2+3
)
3
 
f) F(t) = (7𝑡2 + 6𝑡)7(3𝑡 − 1)4 
g) F(x) = (5𝑥 − 2)6(3𝑥 − 1)3 
h) F(t) = √
2𝑡+1
𝑡−1
 
i) F(x) = 2𝑒3𝑥
2+6𝑥+7 
j) F(x) = 
1
3
𝑒3−𝑥 
k) F(x) = 𝑒√𝑥 
l) F(x) = 23𝑥
2+6𝑥 
m) F(x) = Log2(2𝑥 + 4) 
n) F(x) = Log3 √𝑠 + 1 
o) F(x) = 
1
𝑎
(𝑏𝑥2 + 𝑐) − 𝑙𝑛 𝑥 
p) F(x) = ln (
1+𝑥
1−𝑥
) 
q) F(x) = Sen (2𝑥 + 4) 
r) F(x) = Cos (
𝜋
2−𝑢
) 
s) F(𝛼) = 
1+cos 2𝛼
2
 
t) F(x) = Sen3 (3𝑥2 + 6𝑥) 
u) F(𝜃) = Sen2 𝜃 Cos2 𝜃 
v) F(x) = Tg (2𝑥 + 1) + √𝑥 
w) F(𝛼) = 
3.Sec2 𝑥
𝑥
 
x) F(𝛼) = (
1
𝑠𝑒𝑛 𝑥
)2 
y) F(x) = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2(x²) 
z) F(x) = 𝑐𝑜𝑡𝑔4 (2𝑠 − 3)2 
 
11) Calcular f’(0), se f(x) = 𝑒−𝑥.cos 3x. 
 
12) Dada f(x) = 𝑒−𝑥, calcular f(0) + xf’(0). 
 
13) Calcular as derivadas sucessivas até a n-ésima ordem indicada: 
a) Y = 3𝑥4- 2x ; n = 5 
b) Y = a𝑥3 + b𝑥2 + cx + d ; n = 3 
c) Y = 𝑒2𝑥+1; n = 3 
d) Y = 
1
𝑥−1
 ; n = 4 
e) Y = 
1
𝑒𝑥
 ; n = 4 
f) Y = ln 2x ; n = 2 
g) Y = sen ax ; n = 7 
h) Y = -2.cos 
𝑥
2
 ; n = 5 
i) Y = tg x ; n = 3 
 
14) Ache a derivada de ordem 102 das funções: 
a) Y = sen x 
b) Y = cos x 
 
15) Mostre que a derivada de ordem n da função y = 𝑒𝑎𝑥 É dada por 𝑦(𝑛) = 𝑎𝑛𝑒𝑎𝑥. 
 
16) Calcule y’ = 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 , das seguintes funções definidas implicitamente. 
a) 𝑥3 + 𝑦3 = 𝑎3 
b) 𝑥3 + 𝑥2𝑦 + 𝑦2 = 0 
c) √𝑥 + √𝑦 = √𝑎 
d) 𝑦3 =
𝑥−𝑦
𝑥+𝑦
 
e) 𝑒𝑦 = x + y 
f) 𝑡𝑔 𝑦 = 𝑥𝑦