exercicios de calculo 1

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CEFET-RJ UnED NOVA FRIBURGO
Curso de Licenciatura em F´ısica
6a Lista de Ca´lculo Diferencial e Integral I - Profa Danielle Rezende
1. Considere f(x) = x3. Utilizando o Teorema da Func¸a˜o Inversa, determine a
derivada da func¸a˜o inversa f−1(x) = 3
√
x, para x 6= 0. Esboce o gra´fico de f−1.
2. Considere f : R→ R, definida por f(x) = 3 x5 + 2 x3 + 8 x− 6. Sabendo que f e´
invers´ıvel, determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f−1 em x = −6.
3. Sabendo que y = 2 x + 3 e´ a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de uma func¸a˜o
invers´ıvel f , em x = 1, determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f−1
em x = 5.
4. Seja f(x) = x+ ex e seja g a func¸a˜o inversa de f . Mostre que
g
′
(x) =
1
1 + eg(x)
.
Calcule g
′
(1) e g
′′
(1).
5. Considere h uma func¸a˜o real de varia´vel real, tal que h′(x) = sen (sen (x + 1)),
h(0) = 3 e g(x) = h(2x+ 1). Calcule g−1(3).
6. Calcule a derivada da func¸a˜o dada.
(a) y = arcsen (2 x)
(b) y = arctg (x2)
(c) y = e−3x + ln(arctg (x))
(d) y = arctg
(
3
x
)
(e) y = x2 arccos
(
2
x
)
7. Calcule:
(a) ln(e4)
(b) e3 ln 2
(c) ln((e2/3)3)
(d) lim
x→0+
√
x 3sen(
pi
x )
(e) lim
x→+∞
e−x cos x
(f) lim
x→0
e−x cosx
(g) lim
x→−∞
e−x senx
8. Resolva as seguintes equac¸o˜es:
(a) ex − 4 e−x = 3
(b) 5x = 7
(c) log2(x
2) + log2 x = 4
(d) log2(2
4x) = 20
9. Calcule a derivada da func¸a˜o dada.
(a) f(x) = ln((x3 + 2) (x2 + 3))
(b) f(x) = ln(sen (5x))
(c) f(x) = ln(x+
√
1 + x2)
(d) f(x) = e−x cosx
(e) f(x) = 3−x
2
(f) f(x) = arcsen (ex)
(g) f(x) =
2x cos x
x+ 1
(h) f(x) =
x arcsen x
ex
(i) f(x) =
x ln(x2 + 1)
x ex
(j) f(x) =
(
1
2
)x2−2x
cosx
(k) f(x) = ex arccos(x2 + 1)
10. Determine f
′
, f
′′
e f
′′′
para cada func¸a˜o f abaixo.
(a) f(x) = 3x2 − 2x+ 7 (c) f(x) = √2 x+ 1
(b) f(x) =
−2 x+ 1
x3
(d) f(x) = ex
2
11. Determine a derivada de ordem n da func¸a˜o f(x) = ln x.
12. Considere a func¸a˜o f definida por
f(x) =
{
x2, x ≥ 0
−x2, x < 0
Esboce o gra´fico de f , mostre que f
′
(x) = 2 |x|, e mostre que f ′′(0) na˜o existe.
13. Seja f uma func¸a˜o duas vezes deriva´vel e g(x) = f(2x2+2). Supondo f
′
(1) = −1,
calcule g
′′
(0).
14. Suponha que f(x) =
√
1− g(x), g(−2) = −3, g′(−2) = 3 e
g
′′
(−2) = 5. Calcule f ′′(−2).
15. Uma part´ıcula se move sobre uma linha reta de acordo com a equac¸a˜o s =
√
t,
sendo s a distaˆncia (em metros) da part´ıcula ao seu ponto de partida, apo´s de-
corridos t segundos da partida.
(a) Calcule a velocidade me´dia da part´ıcula de t = 9 ate´ t = 16.
(b) Calcule a velocidade instantaˆnea da part´ıcula quando t = 9.
16. Uma carga de dinamite lanc¸a uma pedra pesada para cima com uma velocidade
de lanc¸amento de 160 pe´s/s (aproximadamente 109 mi/h). A pedra atinge uma
altura de s = 160− 16 t2 pe´s apo´s t segundos.
(a) Qual e´ a altura ma´xima atingida pela pedra?
(b) Qual e´ a velocidade da pedra quando ela esta´ a 256 pe´s do solo na subida?
E na descida?
(c) Quando a pedra atingira´ o solo novamente?
17. Um corpo se desloca ao longo de uma reta coordenada com velocidade
v(t) = 9, 8 t + 5 e posic¸a˜o inicial s(0) = 10. Determine a posic¸a˜o do corpo no
instante t. Determine tambe´m o deslocamento do corpo no intervalo de t = 1 e
t = 3.
18. Uma part´ıcula se desloca sobre uma reta coordenada com acelerac¸a˜o a(t) = et,
velocidade inicial v(0) = 20 e posic¸a˜o inicial s(0) = 5. Determine a posic¸a˜o da
part´ıcula no instante t.
Respostas:
1. y =
1
3
3
√
x2
2. y =
x+ 6
8
3. y =
x− 3
2
4. g
′
(1) =
1
2
g
′′
(1) = −1
8
5. g−1(3) =
1
2 sen (sen 1)
6. (a)
dy
dx
=
2√
1− 4 x2 (b)
dy
dx
=
2 x
x4 + 1
(c)
dy
dx
= −3 e−3x + 1
(x2 + 1) arctg x
(d)
dy
dx
=
−3
x2 + 9
(e)
dy
dx
= 2 x
(
arccos
(
2
x
)
+
1√
x2 − 4
)
7. (a) 4 (b) 8 (c) 2 (d) 0 (e) 0 (f) 1 (g) na˜o existe
8. (a) 2 ln 2 (b) log5 7 (c)
3
√
16 (d) 5
9.
(a) f ′(x) =
3 x2
x3 + 2
+
2 x
x2 + 3
(b) f ′(x) = 5 cotg (5x)
(c) f ′(x) =
1√
x2 + 1
(d) f ′(x) = −e−x (cosx+ sen x)
(e) f ′(x) = −2 x (ln 3) 3−x2
(f) f ′(x) =
ex√
1− e2x
(g) f ′(x) =
2x cos x (ln 2 (x+ 1)− 1)− 2x (x+ 1)sen x
(x+ 1)2
(h) f ′(x) =
arcsenx
√
1− x2 (−x+ 1) + x√
1− x2 ex
(i) f ′(x) =
−(x2 + 1) ln(x2 + 1) + 2x
(x2 + 1) ex
(j) f ′(x) =
ln 2 (−2 x+ 2) (1/2)x2 cos x− (1/2)x2 sen x
(1/2)2x
(k) f ′(x) =
ex |x|√−x2 − 2 arccos (x2 + 1)− 2x ex
|x| √−x2 − 2
10. (a) f ′(x) = 6 x− 2 f ′′(x) = 6 f (3)(x) = 0
(b) f ′(x) =
4x− 3
x4
f ′′(x) =
−12x+ 12
x5
f (3)(x) =
48x− 60
x6
(c) f ′(x) =
1√
2 x+ 1
f ′′(x) =
−1√
(2x+ 1)3
f (3)(x) =
3√
(2x+ 1)5
(d) f ′(x) = 2 x ex
2
f ′′(x) = 2 ex
2
+ 4 x2 ex
2
f (3)(x) = ex
2
(12x+ 8x3)
11. f (n)(x) = (−1)n+1 (n− 1)!x−n, x > 0
12.
13. g′′(0) = −4
14. f ′′(−2) = −49
32
.
15. (a)
1
7
m/s (b)
1
6
m/s
16. (a) 400 pe´s (b) 96 pe´s/s e -96 pe´s/s (c) 10 s apo´s
17. s(t) = 4, 9 t2 + 5 t+ 10 ∆s = 49, 2 m
18. s(t) = et + 19 t+ 4
Refereˆncias:
• Ca´lculo vol 1
George B. Thomas
• Ca´lculo vol 1
James Stewart
• Um curso de ca´lculo vol 1
Hamilton Luiz Guidorizzi
• Ca´lculo a uma varia´vel vol 2
Iaci Malta, Sine´sio Pesco, He´lio Lopes
• Ca´lculo
Frank Ayres Jr., Elliot Mendelson
• O ca´lculo com geometria anal´ıtica
Louis Leithold