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CÁLCULO IV Aula 3: Integrais Múltiplas INTEGRAIS MÚLTIPLAS Objetivos da aula: Objetivo 1 Apresentar Mudança de Variáveis na Integral Tripla; Objetivo 2 Resolver as primeiras integrais triplas com mudança de variável. Verificação da integral sen4x. MUDANÇA DE VARIÁVEL NA INTEGRAl TRIPLA O problema da mudança de variáveis em integrais triplas é inteiramente análogo ao problema de mudança de variáveis em integrais duplas. Veremos dois casos particulares de mudança de variáveis em integrais tripla: Sistemas de coordenadas cilíndricas Sistema de coordenadas esféricas Definição de variáveis: CASOS ESPECIAIS DE MUDANÇA DE VARIÁVEIS 1) Mudança de Variáveis Cilíndricas Um ponto P com coordenadas retangulares (x,y,z) tem coordenadas cilíndricas (r,ϴ,z), onde r é a distância do ponto P a origem e ϴ é o ângulo formado pelo eixo positivo dos x e o segmento de reta que liga a origem a P. Veja que r e ϴ são as coordenadas polares da projeção de P no plano xy. As coordenadas retangulares e polares do ponto P estão relacionas por: x = rcos ϴ, y = rsen ϴ, z = z e x2 + y2 = r2 O jacobiano de x, y e z em relação às novas variáveis r, Ө e z é: x = rcos ϴ, y = rsen ϴ e z = z EXEMPLO 1 Calcule a integral sendo Q o sólido limitado pelo cilindro x2+ y2 ≤ 1 e pelo plano z = 0 e pelo paraboloide z = 4 - y2 - x2. Observe geometricamente o sólido: Observemos que da equações z = 4 - y2 - x2 e x2+ y2=1, concluímos que z = 3, ou seja, a interseção ocorre no plano z =3. As coordenadas cilíndricas serão: Considere as equações z = 4 - y2 - x2 e x2+ y2=1 Podemos escrever as equações como: z = 4 -( y2 + x2) = 4 - r2 Temos então z = 0 e z = 4 - r2. Portanto o limite de z será: 0 ≤ z ≤ 4 - r2 Observando a projeção do solido no plano xy podemos afirmar que teremos um disco x2+ y2≤1. Então o intervalo de r e ϴ podem ser definidos como 0 ≤ r ≤ 1 e 0 ≤ ϴ ≤ 2. Concluímos que os limites de integração do sólido serão: Escreveremos a integral tripla como: Observe que trocamos a ordem de integração para começar por z, pois o limite de z contém uma função que depende de r. Integrando primeiramente em z obtemos: Observe que r3 não é integrado, pois ele é considerado uma constante. Estamos integrando em relação a z e os limites de integração serão aplicados apenas em z. A próxima integral que será resolvida será em ϴ: EXEMPLO 2 Calcule O sólido esta contido dentro do cilindro x2 + y2 = 4 e entre os planos z = 1 e z = 4. Observe a região D formada pelo sólido na figura abaixo: Mudança de Variáveis Esféricas Um ponto P com coordenadas retangulares (x,y,z) tem coordenadas esféricas (,ϴ,), onde: é a distância do ponto P a origem ϴ é o angulo formado pelo eixo positivo dos x e o segmento de reta que liga a origem a P é o angulo formado pelo eixo positivo dos z e o segmento de reta que liga P a origem. EXEMPLO 5
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