Álgebra Matrizes Inversas.

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1 
 
01 - (UNICAMP SP/2015) Considere a matriz 







1b
0a
A
, onde a e b são números reais. Se A
2
 = A e A é invertível, 
então 
a) a = 1 e b = 1 
b) a = 1 e b = 0 
c) a = 0 e b = 0 
d) a = 0 e b = 1 
 
02 - (UECE/2014) Uma matriz quadrada P = (aij) é simétrica quando aij = aji. Por exemplo, a matriz 












145
473
532 é 
simétrica. 
Se a matriz 














11x6
y2xy1
xyyxyx
M
 é simétrica, pode-se afirmar corretamente que o determinante de M é igual a 
a) –1. 
b) –2. 
c) 1. 
d) 2. 
 
03 - (UEG GO/2013) Dada a matriz 







52
73
A
, determine sua inversa e calcule 4.A
–1
. 
 
04 - (IFSC/2013) A condição para que uma matriz seja inversível é que seu determinante não seja nulo. Portanto, 
relativamente aos valores de x que possibilitam que a matriz 





 

xcossenx
senxxcos
A
 tenha inversa, é CORRETO afirmar: 
a) Nenhum valor real de x satisfaz. 
b) x deve pertencer ao primeiro quadrante. 
c) x não pode pertencer ao terceiro quadrante. 
d) Qualquer valor real de x satisfaz. 
e) x deve ser, obrigatoriamente, um número real positivo. 
 
05 - (UFPE/2013) Seja 






dc
ba
 a inversa da matriz 






411
13
. Indique |a| + |b| + |c| + |d|. 
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2 
 
 
06 - (FUVEST SP/2012) Considere a matriz 









1a1a
1a2a
A
, 
em que a é um número real. Sabendo que A admite inversa A
–1
 cuja primeira coluna é 








1
1a2
, 
a soma dos elementos da diagonal principal de A
–1
 é igual a 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
 
07 - (UFBA/2012) Uma rede consiste de um número finito de nós conectados por segmentos orientados, chamados 
de ramos. O estudo do fluxo através de uma rede baseia-se no chamado “princípio da conservação de fluxo” que 
afirma: em cada nó, o fluxo de entrada é igual ao fluxo de saída. 
A figura descreve fluxos não negativos, medidos em litros por minuto, através de parte de uma rede de encanamento 
em que os nós estão representados pelos pontos A, B e C. 
 
Aplicando-se o princípio da conservação do fluxo, é possível obter-se um sistema de equações lineares S: 








4zy2x2
20yx2
20zx — no qual cada equação representa a conservação do fluxo em um nó — cuja matriz dos coeficientes 
é M = 










 122
012
101 . 
Com base nessas informações e nos conhecimentos sobre matrizes e sistemas lineares, é correto afirmar: 
01. O sistema S pode ser representado pela equação matricial XT = D, em que X = (x y z), D = (20 20 4) e T é a 
transposta da matriz M. 
02. Se o terno ordenado (a, b, c) é solução do sistema S, então a = b – c. 
04. Sendo k = 2 e I, a matriz identidade de ordem 3, o determinante da matriz M – kI é igual a 1. 
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3 
 
08. A soma dos termos da segunda linha da matriz inversa de M é igual a –3. 
16. É impossível inverter-se, na parte da rede representada na figura, apenas a orientação do fluxo indicado por 
2y. 
32. O menor fluxo através de um ramo da parte de rede, representada na figura, é de quatro litros por minuto. 
 
08 - (UECE/2012) Se x e y são números reais distintos e não nulos, a matriz X = 






1
1
y
x
 admite inversa X
-1
. 
A soma dos elementos de X
-1
 é 
 
a) -2. 
b) -1. 
c) 1. 
d) 2. 
 
09 - (ESPM RJ/2012) A matriz 











x10
xx0
0x2
M
 não possui inversa se, e somente se, x for igual a: 
a) 0 ou 1 
b) 0 ou –1 
c) 1 ou –1 
d) 2 ou 1 
e) 2 ou –1 
 
10 - (UFES/2012) Seja A = 










caa
aa2
aab
3231
2322
1312 uma matriz real 3x3 invertível. 
a) Determine os elementos a12 e a13 da matriz A, sabendo que existe um número real x tal que a12 = cos(2x) + 
2 sen
2
(x) e que a13 = sec(9) + tg(-3) sen(3x). 
b) Calcule os elementos da segunda linha da matriz A, sabendo que 2, a22 e a23 formam, nessa ordem, uma 
progressão aritmética cuja soma é 3. 
c) Determine os elementos b e c da matriz A de modo que b = c = det(A), sabendo que os elementos a31 e a32, 
ambos positivos, são, respectivamente, a parte real e a parte imaginária de uma das raízes complexas da 
equação z
3
 – 4z
2
 + 5z = 0. 
 
11 - (UFG GO/2011) Uma técnica para criptografar mensagens utiliza a multiplicação de matrizes. Um codificador 
transforma sua mensagem numa matriz M, com duas linhas, substituindo cada letra pelo número correspondente à 
sua ordem no alfabeto, conforme modelo apresentado a seguir. 
1110987654321Número
KJIHGFEDCBALetra
 
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4 
 
21201918171615141312Número
UTSRQPONMLLetra
 
272625242322Número
_ZYXWVLetra
 
Por exemplo, a palavra SENHAS ficaria assim: 
M = 






SAH
NES
 = 






1918
14519
 
Para codificar, uma matriz 2×2, A, é multiplicada pela matriz M, resultando na matriz E = A  M, que é a mensagem 
codificada a ser enviada. 
Ao receber a mensagem, o decodificador precisa reobter M para descobrir a mensagem original. Para isso, utiliza 
uma matriz 2×2, B, tal que B  A = I, onde I é a matriz identidade (2×2). Assim, multiplicando B por E, obtém-se BE 
= B  A  M = M. 
Uma palavra codificada, segundo esse processo, por uma matriz A =






11
12
resultou na matriz 
E = 






222128
293047
 
Calcule a matriz B, decodifique a mensagem e identifique a palavra original. 
 
12 - (UFU MG/2011) Considere a matriz 





 

11
12
A
 e as afirmações a seguir. 
I. O sistema linear 












2
1
y
x
A
 possui uma única solução, onde x e y são valores reais. 
II. Existe um número real a tal que sen(a) = det (A). 
III. A matriz A
100
 é invertível. 
IV. Se B é uma matriz tal que o produto A
3
. B = 1, então 
9
1
)Bdet( 
, onde I é matriz identidade de ordem 2. 
Com relação a essas afirmações, assinale a alternativa correta. 
 
a) Apenas I e IV são falsas. 
b) Apenas II e IV são verdadeiras. 
c) Apenas II e III são falsas. 
d) Apenas I e III são verdadeiras. 
 
13 - (ITA SP/2011) Considere as afirmações abaixo: 
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5 
 
I. Se M é uma matriz quadrada de ordem n > 1, não-nula e não-inversível, então existe matriz não-nula N, de 
mesma ordem, tal que MN é matriz nula. 
II. Se M é uma matriz quadrada inversível de ordem n tal que det(M
2
 −M) = 0, então existe matriz não-nula X, 
de ordem n1, tal que MX = X. 
III. A matriz 













2
sen21
sec
tg
sencos
2
 é inversível,   
2

 + k, k  Z. 
Destas, é(são) verdadeira(s) 
a) apenas II. 
b) apenas I e II. 
c) apenas I e III. 
d) apenas II e III. 
e) todas. 
 
14 - (UFV MG/2011) Considere os seguintes comandos que podem ser aplicados a uma matriz quadrada invertível 
A de ordem 2: 
1º: trocar entre si os elementos da diagonal principal; 
2º: trocar os sinais dos elementos da diagonal secundária; 
3º: dividir cada elemento pelo determinante da matriz. 
A inversa A–1
 da matriz A pode ser obtida pela execução desses comandos, conforme o seguinte esquema de 
matrizes: 
1º3
2
º2
1
º1
AAAA 
 
sendo cada matriz obtida da anterior pela aplicação do comando indicado. 
No esquema abaixo, 












 












....1
........
........
4....
........
....2
........
....5 º3º2º1
 
os três comandos foram executados na transformação de uma matriz na sua inversa. A observação e análise das 
matrizes, antes e depois da execução de cada comando, contribuem para determinar os elementos que estão 
faltando nas matrizes. Assim, é CORRETO afirmar que os elementos da primeira linha da matriz inversa são: 
a) –1 e 2 . 
b) –2 e 1. 
c) –5 e 2 . 
d) –2 e 4 . 
 
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6 
 
15 - (UFPE/2010) Para cada número real α, defina a matriz 
 
 
Analise as afirmações seguintes acerca de M(α): 
00. M(0) é a matriz identidade 3 x 3 
01. M(α)
2
 = M(2α) 
02. M(α) tem determinante 1 
03. M(α) é invertível, e sua inversa é M(-α) 
04. Se M(α)
t
 é a transposta de M(α), então, M(α)M(α)
t
 = M(0). 
 
16 - (UNICAMP SP/2010) Considere a matriz 













333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
, cujos coeficientes são números reais. 
a) Suponha que exatamente seis elementos dessa matriz são iguais a zero. Supondo também que não há 
nenhuma informação adicional sobre A, calcule a probabilidade de que o determinante dessa matriz não seja 
nulo. 
b) Suponha, agora, que aij = 0 para todo elemento em que j > i, e que aij = i − j + 1 para os elementos em que j ≤ 
i. Determine a matriz A, nesse caso, e calcule sua inversa, A
−1
. 
 
17 - (FGV /2010) Uma matriz 4 x 4 que admite inversa é 
a) 














8765
8642
1234
4321
 
b) 














81165
20862
16541
4321
 
c) 














4444
3333
2222
1111
 
d) 














16151413
1211109
8765
4321
 
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7 
 
e) 


















16151413
1211109
8765
4321
 
 
18 - (UEM PR/2010) Assinale a(s) alternativa(s) correta(s). 
01. O único número real x para o qual 





























 
243
2 
xlog
1 
0 03
3xlog0
3
81
1
x
4
3
 é um número primo. 
02. Os valores reais de x para os quais a matriz 













8
7
5x
1x3
A
2
 satisfaz A
t
 = A, em que A
t
 transposta da matriz 
A, têm produto igual a - 5. 
04. Existe uma única matriz do tipo 







 
ac
ba
, em que a, b e c são números reais, cuja inversa seja a própria 
matriz. 
08. A matriz quadrada A = (aij), de ordem 2 × 2, definida por aij = 2
2 j-i
, para todo i = 1, 2 e para todo j = 1, 2, é 
solução da equação matricial A
2
 - kA = 0 para alguma constante real k. 
16. O determinante da matriz 












 xsec2senx
senxtgxxsec
xcos1senx
 é igual a cos2x, para todo x real e 


 k
2
x
 (k número inteiro). 
 
19 - (UFSC/2010) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 
01. O ortocentro de qualquer triângulo é equidistante dos três vértices. 
02. O valor numérico de t na figura abaixo é 
13
60
t 
. 
 
 
04. A razão da progressão aritmética (log 10, log 100 e log 1000) é igual a 10. 
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8 
 
08. Resolvendo o sistema matricial 

























352130
7115
Y2X3
211117
593
YX2
 obtém-se 











714
371
X
. 
16. Sendo 









35
12
A
 e 









95
31
B
, então o produto entre a matriz inversa de A e a matriz transposta de B é a 
matriz 










71
60
B A t1
. 
 
20 - (UDESC SC/2009) Seja 
 ijaA 
 uma matriz quadrada de ordem 3 tal que 
j iaij 
. Analise as afirmações 
dadas abaixo, classificando-as como verdadeiras (V) ou falsas (F). 
( ) A é uma matriz inversível e igual a sua transposta. 
( ) Os elementos de cada uma das linhas de A estão dispostos em progressão aritmética, cuja razão é igual ao 
número da linha correspondente. 
( ) Os elementos de pelo menos uma das colunas de A estão dispostos em progressão geométrica. 
Assinale a alternativa que contém a sequência correta, de cima para baixo. 
a) VVF 
b) VFV 
c) FVF 
d) FFF 
e) FVV 
 
21 - (UEM PR/2009) Assinale o que for correto, considerando as matrizes 
3x3ij )a(A 
 e 
 
3x3ij
bB 
, em que os 
elementos aij e bij são números reais, para 
3i1 
 e 
3j1 
. 
01. Se A é tal que seus elementos aij são definidos por 






j i se 1
j i se 0
a ij
, para 
3i1 
 e 
3j1 
, então A.B=B. 
02. 
22 BA)BA)(BA( 
. 
04. Se B é a matriz inversa da matriz A, então 
ij
ij
a
1
b 
, para 
3i1 
 e 
3j1 
. 
08. Se 
jibij 
, para 
3i1 
 e 
3j1 
, então B
t
 = B. 
16. Se 
jibij 
, para 
3i1 
 e 
3j1 
, então det B = 0 . 
 
22 - (UEPG PR/2009) Considerando A e B matrizes quadradas de ordem 2 tais que 





0 1
2 1
BA eA B.A
, assinale 
o que for correto. 
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9 
 
01. 





4 1-
2 2 
 A2
 
02. B  A = B 
04. 







0 2
1 1
 BA tt
 
08. det A = – 2 
16. 









0 
1 
 A
2
1
2
1
1-
 
 
23 - (UFSC/2009) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 
01. O elemento 
64a
 da matriz 
)a(A ij
 de ordem 8, onde 
j
i2
.)1(a jiij

 é 3. 
02. O triângulo ABC, cujas coordenadas dos vértices são A(0,0), B(0,2) e C(10,20), tem 20 unidades de área. 
04. Para duas matrizes A e B de mesma ordem, vale sempre: 
ttt BA)AB( 
. 
08. A matriz inversa da matriz 
1 5-
2 1 
 A 
 é a matriz 
1 
5
1
2
1
 1 
A 1


. 
16. O elemento 
23b
 da matriz 
tAB 
, onde 
2x3ij )a(A 
, e 
ji2a ij 
, é 8. 
 
24 - (UFS/2009) Analise as afirmações seguintes: 
00. Se na matriz 










... 16 10 4
... 15 9 3
... 14 8 2
... 13 7 1 os elementos de cada linha formam uma progressão aritmética infinita, então o 
número 447 é o elemento da 3
a
 linha e 75
a
 coluna. 
01. Se 





4 3
2 1
A
 e 





2 1
1 2
B
, a equação 
0 xB)-(A det 
, em que 
IR x
, admite duas raízes racionais. 
02. Se A
–1
 é a matriz inversa de 





2 1 
0 1
A
, então 
2
13
- )A(A det 1- 
. 
03. Se A
t
 é a matriz transposta de 









2 0 1 
1 3- x 
 x1 x2
A
, com 
0x 
 e det (A
t
) = 12, entãox = 1. 
04. Se 





1y 
 x1
A
 é tal que 





 10- 22 
2- 10
A2
, então 
10yx 
. 
 
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10 
 
25 - (UFBA/2008) Considerando-se a matriz 







0 1
1- 0
kM
, sendo k um número real, é correto afirmar: 
01. M é uma matriz simétrica, para qualquer k. 
02. M é uma matriz inversível se e somente se 
0k 
 e, nesse caso, 







0 1-
1 0 
k
1
M 1
 
04. Para algum valor de k, M é a matriz identidade de ordem 2. 
08. Identificando-se um ponto genérico (x, y) do plano cartesiano com a matriz-linha (x y) de ordem 1 x 2, se 
1k 
 e 
)0,0()y,x( 
, então os pontos identificados por 
y)M(x e y)(x 0), 0(
 são vértices de um triângulo retângulo 
isósceles. 
16. Dados dois números reais a e b, se 
0k 
, então o sistema de equações 












b
a
y
x
M
 tem uma única solução 
k
a
-y ,
k
b
x 
. 
 
26 - (UFSCar SP/2008) Admita que a matriz cuja inversa seja formada apenas por elementos inteiros pares receba 
o nome de EVEN. 
Seja M uma matriz 2x2, com elementos reais, tal que 








 x1x
3x 2 
M
. 
Admita que M seja EVEN, e que sua inversa tenha o elemento da primeira linha e primeira coluna igual a 2. 
a) Determine o valor de x nas condições dadas. 
b) Determine a inversa de M nas condições dadas. 
 
27 - (UFU MG/2008) Sobre a matriz 







d c
b a
A
 sabe-se que: 

os elementos a, b, c e d são números inteiros não negativos; 

A comuta com a matriz 






1 1
0 0
; 

det (A) = 2. 
Considere as informações fornecidas acima e calcule o valor do determinante det (X), sendo que 
t1 AAX  
. 
 
28 - (UEM PR/2008) Considere a matriz 







10
03
A
x
, em que 
Rx
. 
Assinale a alternativa correta. 
a) 
AA2 
 para todo 
Rx
. 
b) A matriz A é invertível para todo 
Rx
. 
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11 
 
c) A inversa da matriz A é distinta da matriz A para todo 
Rx
. 
d) O determinante da matriz A
2
 é 2.3
x
. 
e) Se 







dc
ba
B
, com a,b,c,d

R, então AB = BA se, e somente se, x = 0. 
 
29 - (UFC CE/2008) A matriz quadrada A de ordem 3 é tal que 









1 1 1
1 2 1
1 1 2
A2
. 
a) Calcule 
I3A2 
, em que I é a matriz identidade de ordem 3. 
b) Sabendo-se que A cumpre a propriedade 
I2A3A3 
, determine a matriz inversa de A . 
 
30 - (UEMG/2008) Sendo 







 tansec
sec tan
A
 com 


 k
2
. Quais os valores de 

, sabendo que 
1AA 
? 
a) 
 Zk ,
2
k3


 
b) Não existem valores de 

 que satisfaçam 
1AA 
 
c) Todos os números reais 
d) 
 Zk ,k 
 
e) 
 Zk ,
2
k


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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12 
 
GABARITO: 
 
1) B 
2) B 
3) 









32
75
A 1
 









128
2820
A.4 1
 
4) D 
5) 19 
6) A 
7) 53 
8) C 
9) A 
10) a) a13 = -1 e a12 = 1. 
b) a22 = 1 e a23 = 0. 
c) c = 3. Assim, b = c = 3. 
 
11) 









21
11
B
 
BE = 






15129
7919
 = 






OLI
GIS
 
A palavra original é SIGILO. 
12) D 
13) E 
14) A 
15) VVVVV 
16) a) A probabilidade de que o determinante não 
seja nulo é igual a 1/14. 
b) 



























121
012
001
A e 
123
012
001
A 1-
 
17) E 
18) 24 
19) 18 
20) C 
21) 25 
22) 28 
23) 17 
24) VVFFV 
25) 26 
26) a) 
2
1
x 
, pois 
0x 
. 
b) 









82
62
M 1
 
27) 
2
11
)Xdet( 
 
28) B 
29) a) 



























1- 1 1 
1 1- 1 
1 1 1-
1 0 0
0 1 0
0 0 1
3
2 1 1
1 2 1
1 1 2
I3A2
 
b) 















 

2
1-
 
2
1
 
2
1
2
1
 
2
1-
 
2
1
2
1
 
2
1
 
2
1
A 1 
30) D