Como solucionar problemas de otimização em Cálculo 1

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MA111 - Ca´lculo I
Prof. Dr. Ricardo Miranda Martins
Problemas de otimizac¸a˜o
1 Problemas de otimizac¸a˜o
Sem saber, voceˆ resolve pequenos problemas de otimizac¸a˜o durante todo o dia. O primeiro deles e´ quando
o despertador toca pela primeira vez a`s 06:55 e voceˆ sabe que, como a aula de Ca´lculo so´ comec¸a a`s
08:00, pode ficar mais um pouco na cama. Mas na˜o pode ficar muito tempo. Conseguir determinar o
momento exato entre 06:55 e 08:00 no qual voceˆ deve pular da cama e´ uma tarefa bem dif´ıcil - e muitas
vezes erramos o ca´lculo e o cafe´ da manha˜ precisa ser sacrificado (supondo um mundo ideal onde sua
aula de ca´lculo e´ mais importante do que seu cafe´ da manha˜). Iremos considerar somente os problems
de otimizac¸a˜o cuja modelagem na˜o dependem do seu sono.
Todos os problemas de otimizac¸a˜o que trataremos neste curso sa˜o da seguinte forma: existe uma
func¸a˜o g que vincula duas varia´veis numa relac¸a˜o g(x, y) = 0 e e´ poss´ıvel isolar y nesta relac¸a˜o, obtendo
y = h(x). Desejamos obter o ma´ximo (ou mı´nimo) global de uma func¸a˜o f(x, y) dado que y satisfaz
g(x, y) = 0, ou seja, queremos encontrar o ma´ximo (ou mı´nimo) da func¸a˜o f(x, h(x)) para x num certo
domı´nio. Este ma´ximo (ou mı´nimo) sera´ sempre um ma´ximo (ou mı´nimo) local ou enta˜o um extremo
do intervalo que estamos considerando. Vejamos alguns exemplos.
2 Exemplos
Exemplo 1 Uma empresa de energe´ticos deseja reformular suas latas. Nutricionistas determinaram
que a dose ma´xima deste energe´tico que uma pessoa deve tomar no dia e´ de 300 ml, enta˜o esta sera´
a capacidade da lata. Quais devem ser as dimenso˜es da lata, supondo que ela tera´ o formato de um
cilindro circular reto (ou seja, uma lata usual de energe´tico), para que o custo de produc¸a˜o seja o menor
poss´ıvel?
Vamos supor que o custo de produc¸a˜o da lata dependa diretamente da quantidade de material uti-
lizado, o que e´ uma hipo´tese bem razoa´vel. Assim, devemos determinar a menor quantidade de material
que pode ser usada para construir uma lata cil´ındrica com volume 300 ml.
Lembre-se de que se um cilindro tem raio da base r e altura h, enta˜o a a´rea de sua superf´ıcie e´ dada
por A = 2pir2 + 2pirh (esta fo´rmula pode ser obtida facilmente planificando o cilindro) e o volume e´ dado
por V = pir2h (note que se o volume V for fixado, enta˜o existe uma relac¸a˜o entre r e h: h = V/(pir2)).
Desta forma, se o volume do cilindro e´ V , sua a´rea e´ dada por
A = 2pir2 + 2pirh = 2pir2 + 2pir
V
pir2
= 2pir2 +
2V
r
=
2(pir3 + V )
r
Precisamos determinar a menor a´rea, ou seja, o menor valor assumido por A, quando r > 0. Observe
que como limr→0+ A(r) =∞ e limr→∞A(r) =∞, deve existir um menor valor (concorda?).
Uma forma poss´ıvel de encontrar este menor valor e´ mostrar que esta func¸a˜o possui um u´nico ponto
cr´ıtico e que este ponto cr´ıtico e´ um mı´nimo local.
Temos que
dA
dr
=
2(2pir3 − V )
r2
, logo o u´nico ponto cr´ıtico de A e´ r0 =
(
V
2pi
)1/3
. Para este valor do
raio, teremos uma a´rea de A = 3(2pi)1/3V 2/3.
Observe que
d2A
dr2
=
4(pir3 + V )
r3
, logo a segunda derivada de A e´ sempre positiva. Portanto, o ponto
cr´ıtico r0 e´ o u´nico ponto de mı´nimo da func¸a˜o e encontramos o formato de nossa latinha: e´ um cilindro
de raio r = r0 e altura h =
3√
V 22/3
3
√
pi
. No caso em que V = 300 ml teremos um raio aproximado de 3, 63
cm e altura aproximada de 7, 2 cm.
�
No exemplo anterior, r poderia assumir qualquer valor positivo. Em muitos problemas de otimizac¸a˜o,
no entanto, a varia´vel esta´ restrita a algum intervalo fechado. Neste caso, o me´todo acima precisa ser
um pouco modificado, para incluir os extremos do intervalo.
Exemplo 2 Uma empresa que vende picole´s tem como func¸a˜o lucro L(n) = n3 − 6n2 + 11n − 5, onde
n e´ o nu´mero de picole´s vendidos no meˆs, dado em milho˜es de unidades e L e´ o lucro em reais. Por
exemplo, se a empresa na˜o vender nenhum picole´ no meˆs, tera´ preju´ızo de 5 milho˜es de reais. Se vender
1 milha˜o de unidades, tera´ lucro de 1 milha˜o de reais. A capacidade ma´xima de venda e´ de 4 milho˜es de
picole´s por meˆs.
a) Se a empresa quiser lucro ma´ximo, quantos picole´s devera´ vender no meˆs?
b) Se a capacidade de venda diminuir para 3 milho˜es de unidades por meˆs, quantos picole´s a empresa
devera´ vender para obter lucro ma´ximo?
Apesar do problema ser discreto, vamos considerar a varia´vel n como real e adaptar os resultados se
necessa´rio. Observe que L′(x) = 3x2−12x+11 e L′′(x) = 6x−12. Portanto, a func¸a˜o L possui dois pontos
cr´ıticos: x1 = 2− 13
√
3 e x2 = 2+
1
3
√
3, sendo que L′′(x1) > 0 (mı´nimo local) e L′′(x2) < 0 (ma´ximo local).
Para (a), note que n ∈ [0, 4]. Desta forma, mesmo com x2 sendo um ma´ximo local, para deter-
minar o maior valor assumido por L, devemos comparar L(x2) com L(0) e L(4). Neste caso, como
L(x2) = 1 +
2
9
√
3 (um nu´mero entre 1 e 2) e L(4) = 7, o maior lucro e´ obtido vendendo 4 milho˜es de
picole´s.
No entanto, se a capacidade de venda cair para 3 milho˜es de unidades, enta˜o devemos analisar nova-
mente a questa˜o para n ∈ [0, 3]. Neste caso, como L(3) = 1, para ter maior lucro a empresa deve vender
x2 milho˜es de picole´s, ou cerca de 2 577 350 picole´s.
Segue abaixo um gra´fico de L no intervalo [0, 4]. Perceba como realmente uma mudanc¸a no domı´nio
ira´ alterar os pontos de ma´ximo e mı´nimo globais.
�
Exemplo 3 (Na˜o deu tempo de fazer em sala) Batman esta´ andando sem seu Batmo´vel numa estrada
cuja trajeto´ria coincide com a do gra´fico da func¸a˜o S(x) =
√
x+ 1, para x ∈ [−1, 3]. O Coringa esta´
preso no ponto (1, 0) e quer acabar com o Batman. A arma do Coringa so´ ira´ atirar mais uma bala.
Para maximizar a chance de acertar o Batmo´vel, o Coringa ira´ atirar somente quando o Batman estiver
o mais pro´ximo poss´ıvel dele, mas ainda na trajeto´ria do gra´fico de f(x). Para qual direc¸a˜o o Coringa
deve apontar sua arma para esperar o Batmo´vel passar? Suponha que a bala do Coringa viaje numa
velocidade pro´xima a` da luz.
References
[1] J. Stewart, Ca´lculo, vol. 1, Cengage Learning.