ProvaFinal AL 9 7 2012

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UFRJ
Instituto de Matemática
Disciplina: Álgebra Linear II
Professor: Bruno, Luiz Carlos, Mário, Milton, Mo-
nique e Paulo
Data: 9 de julho de 2012
Prova FINAL
1. A soma de dois autovetores quaisquer de A é um au-
tovetor de A.
(a) A afirmativa é Verdadeira.
(b) A afirmativa é Falsa.
(c) Não sei.
2. Se A~x = ~b não tem solução então ~b não está na ima-
gem de A.
(a) A afirmativa é Falsa.
(b) A afirmativa é Verdadeira.
(c) Não sei.
3. Considere os vetores {(1,−4,−1), (1, 0, 1), (1,−2, 0)}.
Encontre um vetor de norma 1 ortogonal aos 3 vetores
acima. O módulo da soma de suas entradas é igual a:
(a) 1√
3
(b) 5
3
(c) 1
3
(d) 1
6
(e) Não sei.
4. O sistema linear A~x = ~b, A =


1 2 3
0 1 5
1 1 −2
1 0 −6

 e
~b =


0
−3
3
5

, possui solução única, cuja soma das
entradas é
(a) 2
(b) 1
(c) −1
(d) 0
(e) Não sei.
5. Considere vetores ~u,~v, ~w, não nulos, tais que 〈~u,~v〉 =
0 e 〈~v, ~w〉 = 0. Então o espaço gerado por ~u,~v, ~w tem
dimensão 3.
(a) A afirmativa é Verdadeira.
(b) A afirmativa é Falsa.
(c) Não sei.
6. Seja β = {x + 1, x − 1, x2 + 1} uma base de P2 (es-
paço dos polinômios de grau menor ou igual a 2). O
polinômio cujas coordenadas na base β são (2, 3, 3) é
(a) 3x2 + x− 2
(b) 3x2 + 5x+ 2
(c) 3x2 − x+ 8
(d) 3x2 − 5x− 2
(e) Não sei.
7. Sejam α = {(1, 0), (0, 1)} e β = {(1,−4), (−3, 13)}
duas bases de R2. A matriz de mudança da base α
para a base β é igual a:
(a)
[
1 −4
−3 13
]
(b)
[
1 −3
−4 13
]
(c)
[
13 3
4 1
]
(d)
[
13 4
3 1
]
(e) Não sei.
8. Se A é uma matriz 5× 3 então a dimensão do núcleo
de A é menor ou igual a 3.
(a) A afirmativa é Verdadeira.
(b) A afirmativa é Falsa.
(c) Não sei.
9. Seja a matriz A =


1 2 0 1
0 0 1 1
0 0 0 0
0 0 0 0

 .
Uma base para o núcleo de A deve ser formada por:
(a) 3 vetores linearmente independentes.
(b) 1 vetor não nulo.
(c) 4 vetores linearmente independentes.
(d) 2 vetores linearmente independentes.
(e) Não sei.
10. Calcule a área do paralelogramo dado pelos pontos
{(−1, 1), (1, 0), (2, 3), (0, 4)}.
(a) 4
(b) 3
(c) 6
(d) 7
(e) Não sei.
Nome: Teste 328, pág. 1
11. O polinômio característico de

 2 −5 32 −9 6
3 −15 10

 é
pC(λ) = −(λ − 1)
3. Os autovetores de A formam
um espaço de dimensão:
(a) 0
(b) 2
(c) 1
(d) 3
(e) Não sei.
12. Os autovalores de AT são iguais aos de A.
(a) A afirmativa é Verdadeira.
(b) A afirmativa é Falsa.
(c) Não sei.
13. Seja A =

 1 2 30 0 4
0 0 0

 .
Então a núcleo da transposta de A tem dimensão 1.
(a) A afirmativa é Falsa.
(b) A afirmativa é Verdadeira.
(c) Não sei.
14. Os autovalores da transformação
T (x, y) = (−x+ 3 y, x+ y) são:
(a) {−3, 3}
(b) {−4, 4}
(c) {−2, 2}
(d) {−1, 1}
(e) Não sei.
15. O conjunto
{
(a, b, c) ∈ R3|b = a+ c+ 1
}
, munido da
soma vetorial e multiplicação por escalar usuais, é um
espaço vetorial.
(a) A afirmativa é Falsa.
(b) A afirmativa é Verdadeira.
(c) Não sei.
16. Existe uma transformação linear T : R7 → R3 inje-
tiva.
(a) A afirmativa é Falsa.
(b) A afirmativa é Verdadeira.
(c) Não sei.
17. A reta que melhor ajusta os dados da tabela:
x y
1 2
2 -4
5 4
,
no sentido dos mínimos quadrados é y = x − 2.
Usando este fato, a projeção ortogonal do vetor
(2,−4, 4) sobre 〈(1, 2, 5), (1, 1, 1)〉 é:
(a) (3,−4, 1)
(b) (−6, 8,−2)
(c) (1,−2)
(d) (−1, 0, 3)
(e) Não sei.
18. Seja r a reta que passa pela origem e tem a direção
do vetor (−1, 0). A matriz (na base canônica) da
projeção ortogonal sobre r é:
(a)
[
−1 0
0 0
]
(b)
[
0 1
0 0
]
(c)
[
0 −1
0 0
]
(d)
[
1 0
0 0
]
(e) Não sei.
Nome: Teste 328, pág. 2