[pdf] Espaço Vetorial - Álgebra Linear - Parte 2

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Notas de aula: Álgebra linear - Ciências da Computação
Turmas: CC3P30, CC3Q30, CC2P30
Prof a Evelize Ferracini
Data: 11/02/2014
Definição 1 Um espaço vetorial V sobre o corpo dos reais R é um conjunto
não vazio, cujos elementos são chamados vetores, no qual estão definidas duas
operações:
a adição, que a cada par de vetores u, v ∈ V , associa um novo vetor u+ v ∈ V ,
chamado a soma de u e v,
e a multiplicação, que a cada vetor u ∈ V e a cada número real a ∈ R, associa
um novo vetor a · u ∈ V , chamado o produto de a por u,
satisfazendo as seguintes condições:
(A1) u+ v = v + u, para todo u, v ∈ V (comutatividade da adição);
(A2) (u + v) + w = u + (v + w), para todo u, v, w ∈ V (associatividade da
adição);
(A3) existe um elemento em V , denotado por 0 e chamado de vetor nulo,
tal que 0 + u = u+ 0 = u, para todo u ∈ V ;
(A4) para cada vetor u ∈ V , existe um vetor em V , denotado por −u e
chamado de oposto de u (ou simétrico de u), tal que (−u) + u = u+ (−u) = 0;
(M1) (a · b) · u = a · (b · u), para todo a, b ∈ R e todo u ∈ V (associatividade
da multiplicação);
(M2) existe o número 1 ∈ R tal que 1 · u = u · 1 = u, para todo u ∈ V ;
(D1) (a+ b) · u = a · u+ b · u, para todo a, b ∈ R e para todo vetor u ∈ V ;
(D2) a · (u+ v) = a · u+ a · v, para todo a ∈ R e para todo vetor u, v ∈ V .
Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 1 Verifiquemos que o R2 = {(x, y);x, y ∈ R} é um espaço veto-
rial sobre R, com as operações usuais de R2, ou seja, (x1, y1) + (x2, y2) =
(x1 + x2, y1 + y2) e α · (x1, y1) = (α · x1, α · y1).
Para isso vamos considerar quaisquer u = (x1, y1), v = (x2, y2), w = (x3, y3) ∈
R2 e quaisquer α, β ∈ R. Logo, temos que
(A1) u+ v = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) = (x2 + x1, y2 + y1) =
(x2, y2) + (x1, y1) = v + u, pois x1, y1, x2, y2 ∈ R e no conjunto dos números
reais vale a propriedade comutativa;
(A2) [u+v]+w = [(x1, y1)+(x2, y2)]+(x3, y3) = ((x1+x2)+x3, (y1+y2)+
y3) = (x1+(x2+x3), y1+(y2+y3)) = (x1, y1)+[(x2, y2)+(x3, y3)] = u+[v+w],
pois x1, y1, x2, y2, x3, y3 ∈ R e no conjunto dos números reais vale a propriedade
associativa;
(A3) existe um vetor em R2, denotado por 0 e chamado de vetor nulo, tal
que 0 + u = u+ 0 = u, para todo u ∈ R2;
De fato, seja (a, b) ∈ R2 tal que (x1, y1) + (a, b) = (x1, y1) e (a, b) + (x1, y1) =
2
(x1, y1).
Da primeira igualdade, temos (x1 + a, y1 + b) = (x1, y1), logo pela igualdade
de vetores no R2, temos que
{
x1 + a = x1
y1 + b = y1
, donde segue que a = 0 e
b = 0. Assim, (a, b) = (0, 0).
Da segunda igualdade decorre fato análogo e de modo análogo.
Portanto, (0, 0) é o vetor nulo do R2.
(A4) para cada vetor u ∈ R2, existe um vetor em R2, denotado por −u e
chamado de oposto de u (ou simétrico de u), tal que (−u) + u = u+ (−u) = 0;
De fato, seja (a, b) ∈ R2 tal que (x1, y1)+(a, b) = (0, 0) e (a, b)+(x1, y1) = (0, 0).
Da primeira igualdade, temos (x1 + a, y1 + b) = (0, 0), logo pela igualdade de
vetores no R2, temos que
{
x1 + a = 0
y1 + b = 0
, donde segue que a = −x1 e
b = −y1. Assim, (a, b) = (−x1,−y1).
Da segunda igualdade decorre fato análogo e de modo análogo.
Portanto, (−x1,−y1) é o vetor oposto de u ∈ R2.
(M1) (α · β) ·u = (α · β) · (x1, y1) = ((α · β) ·x1, (α · β) · y1) = (α · (β ·x1), α ·
(β · y1)) = α · (β · x1, β · y1) = α · (β · (x1, y1)) = α · (β · u), pois x1, y1, α, β ∈ R
e no conjunto dos números reais vale a associatividade da multiplicação.
(M2) existe o número 1 ∈ R tal que 1 · u = u · 1 = u, para todo u ∈ R2;
De fato, 1 · u = 1 · (x1, y1) = (1 · x1, 1 · y1) = (x1, y1) = u e u · 1 = (x1, y1) · 1 =
(x1 · 1, y1 · 1) = (x1, y1) = u.
(D1) (α+β)·u = (α+β)·(x1, y1) = ((α+β)·x1, (α+β)·y1) = (α·x1+β ·x1, α·
y1+β ·y1) = (α ·x1, α ·y1)+(β ·x1, β ·y1) = α ·(x1, y1)+β ·(x1, y1) = α ·u+β ·u,
pois α, β, x1, y1 ∈ R e no conjunto dos números reais vale a distributividade.
(D2) α · (u+ v) = α · ((x1, y1)+ (x2, y2)) = α · (x1+x2, y1+ y2) = (α · (x1+
x2), α ·(y1+y2)) = (α ·x1+α ·x2, α ·y1+α ·y2) = (α ·x1, α ·y1)+(α ·x2, α ·y2) =
α · (x1, y1) +α · (x2, y2) = α · u+α · v, pois α, β, x1, y1, x2, y2 ∈ R e no conjunto
dos números reais vale a distributividade.
Exemplo 2 O conjunto das matrizes reais quadradas,Mn(R) é um espaço veto-
rial sobre R com as operações usuais das matrizes. Vamos verificar queM2(R) ={(
a b
c d
)
; a, b, c, d ∈ R
}
é um espaço vetorial sobre R com as operações
usuais das matrizes, ou seja,
(
a b
c d
)
+
(
x y
z w
)
=
(
a+ x b+ y
c+ z d+ w
)
e α ·
(
a b
c d
)
=
(
α · a α · b
α · c α · d
)
.
Para isso vamos considerar quaisquer u =
(
x1 y1
z1 w1
)
, v =
(
x2 y2
z2 w2
)
, w =(
x3 y3
z3 w3
)
∈M2(R) e quaisquer α, β ∈ R. Logo, temos que
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(A1) u + v =
(
x1 y1
z1 w1
)
+
(
x2 y2
z2 w2
)
=
(
x1 + x2 y1 + y2
z1 + z2 w1 + w2
)
=(
x2 + x1 y2 + y1
z2 + z1 w2 + w1
)
=
(
x2 y2
z2 w2
)
+
(
x1 y1
z1 w1
)
= v+u, pois x1, y1, z1, w1, x2, y2, z2, w2 ∈
R e no conjunto dos números reais vale a propriedade comutativa;
(A2) [u + v] + w =
[(
x1 y1
z1 w1
)
+
(
x2 y2
z2 w2
)]
+
(
x3 y3
z3 w3
)
=(
(x1 + x2) + x3 (y1 + y2) + y3
(z1 + z2) + z3 (w1 + w2) + w3
)
=
(
x1 + (x2 + x3) y1 + (y2 + y3)
z1 + (z2 + z3) w1 + (w2 + w3)
)
=(
x1 y1
z1 w1
)
+
[(
x2 y2
z2 w2
)
+
(
x3 y3
z3 w3
)]
= u+[v+w], pois x1, y1, z1, w1, x2, y2, z2, w2, x3, y3, z3, w3 ∈
R e no conjunto dos números reais vale a propriedade associativa;
(A3) existe um vetor em M2(R), denotado por 0 e chamado de vetor nulo,
tal que 0 + u = u+ 0 = u, para todo u ∈M2(R);
De fato, seja
(
a b
c d
)
∈ R2 tal que
(
x1 y1
z1 w1
)
+
(
a b
c d
)
=
(
x1 y1
z1 w1
)
e
(
a b
c d
)
+
(
x1 y1
z1 w1
)
=
(
x1 y1
z1 w1
)
.
Da primeira igualdade, temos
(
x1 + a y1 + b
z1 + c w1 + d
)
=
(
x1 y1
z1 w1
)
, logo pela
igualdade de vetores noM2(R), temos que

x1 + a = x1
y1 + b = y1
z1 + c = z1
w1 + d = w1
, donde segue
que a = b = c = d = 0. Assim,
(
a b
c d
)
=
(
0 0
0 0
)
.
Da segunda igualdade decorre fato análogo e de modo análogo.
Portanto,
(
0 0
0 0
)
é o vetor nulo do M2(R).
(A4) para cada vetor u ∈M2(R), existe um vetor em M2(R), denotado por
−u e chamado de oposto de u (ou simétrico de u), tal que (−u)+u = u+(−u) =
0;
De fato, seja
(
a b
c d
)
∈M2(R) tal que
(
x1 y1
z1 w1
)
+
(
a b
c d
)
=
(
0 0
0 0
)
e
(
a b
c d
)
+
(
x1 y1
z1 w1
)
=
(
0 0
0 0
)
.
Da primeira igualdade, temos
(
x1 + a y1 + b
z1 + c w1 + d
)
=
(
0 0
0 0
)
, logo pela
igualdade de vetores no M2(R), temos que

x1 + a = 0
y1 + b = 0
z1 + c = 0
w1 + d = 0
, donde segue
que a = −x1, b = −y1, c = −z1 e d = −w1. Assim,
(
a b
c d
)
=( −x1 −y1
−z1 −w1
)
.
Da segunda igualdade decorre fato análogo e de modo análogo.
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Portanto,
( −x1 −y1
−z1 −w1
)
é o vetor oposto de u ∈M2(R).
(M1) (α · β) · u = (α · β) ·
(
x1 y1
z1 w1
)
=
(
(α · β) · x1 (α · β) · y1
(α · β) · z1 (α · β) · w1
)
=(
α · (β · x1) α · (β · y1)
α · (β · z1) α · (β · w1)
)
= α·
(
(β · x1) (β · y1)
(β · z1) (β · w1)
)
= α·(β·
(
x1 y1
z1 w1
)
) =
α · (β · u), pois x1, y1, z1, w1, α, β ∈ R e no conjunto dos números reais vale a
associatividade da multiplicação.
(M2) existe o número 1 ∈ R tal que 1 · u = u · 1 = u, para todo u ∈ R2;
De fato, 1 · u = 1 ·
(
x1 y1
z1 w1
)
=
(
1 · x1 1 · y1
1 · z1 1 · w1
)
=
(
x1 y1
z1 w1
)
= u e
u · 1 =
(
x1 y1
z1 w1
)
· 1 =
(
x1 · 1 y1 · 1
z1 · 1 w1 · 1
)
=
(
x1 y1
z1 w1
)
= u.
(D1) (α+β) ·u = (α+β) ·
(
x1 y1
z1 w1
)
=
(
(α+ β) · x1 (α+ β) · y1
(α+ β) · z1 (α+ β) · w1
)
=(
α · x1 + β · x1 α · y1 + β · y1
α · z1 + β · z1 α · w1 + β ·w1
)
=
(
α · x1 α · y1
α · z1 α · w1
)
+
(
β · x1 β · y1
β · z1 β · w1
)
=
α ·
(
x1 y1
z1 w1
)
+ β ·
(
x1 y1
z1 w1
)
= α · u+ β · u, pois α, β, x1, y1, z1, w1,∈ R e
no conjunto dos números reais vale a distributividade.
(D2) α·(u+v) = α·
((
x1 y1
z1 w1
)
+
(
x2 y2
z2 w2
))
= α·
(
x1 + x2 y1 + y2
z1 + z2 w1 + w2
)
=(
α · (x1 + x2) α · (y1 + y2)
α · (z1 + z2) α · (w1 + w2)
)
=
(
α · x1 + α · x2 α · y1 + α · y2
α · z1 + α · z2 α · w1 + α · w2
)
= α ·(
x1 y1
z1 w1
)
+α·
(
x2 y2
z2 w2
)
= α·u+α·v, pois α, β, x1, y1, z1, w1, x2, y2, z2, w2 ∈
R e no conjunto dos números reais vale a distributividade.
Exemplo 3 Seja V o conjunto dos pares ordenados de números reais. V não é
um espaço vetorial em relação a nemhum dos dois seguintes pares de operações
sobre V :
(a) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) e α(x1, y1) = (x1, αy1).
(b) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1, y1) e α(x1, y1) = (αx1, αy1).
Diga em cada caso quais dos oito axiomas não se verifica.
Solução:
(a)
Para isso, vamos considerar quaisquer u = (x1, y1), v = (x2, y2), w = (x3, y3) ∈
R2 e quaisquer α, β ∈ R.
Notemos que a operação adição estabelecida no item (a) é a operação usual
do R2, logo, teremos a validade de todos os axiomas com relação a adição.
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Agora, verifiquemos a validade dos axiomas com relação a multiplicação.
(M1) (α · β) · u = (α · β) · (x1, y1) = (x1, (α · β) · y1) = (x1, α · (β · y1)) =
α · (x1, β · y1) = α · (β · (x1, y1)) = α · (β · u), pois x1, y1, α, β ∈ R e no conjunto
dos números reais vale a associatividade da multiplicação.
(M2) existe o número 1 ∈ R tal que 1 · u = u · 1 = u, para todo u ∈ R2;
De fato, 1 · u = 1 · (x1, y1) = (x1, 1 · y1) = (x1, y1) = u e u · 1 = (x1, y1) · 1 =
(x1, y1 · 1) = (x1, y1) = u.
E, agora, verifiquemos a validade dos axiomas com relação a distributividade.
(D1) (α+β) ·u = (α+β) · (x1, y1) = (x1, (α+β) ·y1) = (x1, α ·y1+β ·y1) =
(x1, α·y1)+(0, β ·y1) = α·(x1, y1)+β ·(0, y1) 6= α·u+β ·u, pois (x1, y1) 6= (0, y1).
Portanto, o axioma que não se verifica é o sétimo ou (D1).
(b)
Para isso, vamos considerar quaisquer u = (x1, y1), v = (x2, y2), w = (x3, y3) ∈
R2 e quaisquer α, β ∈ R.
Verifiquemos a validade dos axiomas com relação a adição.
(A1) Notemos que u + v = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1, y1) = u e que
v + u = (x2, y2) + (x1, y1) = (x2, y2) = v. Como u = (x1, y1) 6= (x2, y2) = v
então u+ v 6= v + u, ou seja, a comutatividade não é satisfeita.
Portanto, o axioma que não se verifica é o primeiro ou (A1).