3 Métodos Clássicos para Modelagem(1)

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Engenharia da Computação
Tópicos Especiais II
Métodos Clássicos para Modelagem 
de Processos
Prof. Jan Erik – Natal, 2015.2
Modelagem de processo de primeira ordem
Estudaremos a resposta degrau para obtenção de modelos aproximados de
primeira ordem com atraso de processos. E com base na resposta temporal e
a medição de pontos da resposta dos sistema poderemos aplicar diversos
métodos de estimação deste parâmetros (K, 𝜏 e D) para um sistema de
primeira ordem:
2 - Método gráfico de Ziegler-Nichols
3 - Método de Smith
4 - Método de Sundaresan e Krishnaswamy
1 - Método gráfico
𝑮𝒑 𝒔 =
𝑲
𝝉𝒔 + 𝟏
𝒆−𝑫𝒔
Baseia-se na simples observação do gráfico de resposta ao degrau do
sistema.
1 - Método gráfico
𝑦 𝜏 = 𝑦 ∞ ∗ 0.6321
D 𝜏
𝑲 =
∆𝒚(𝒕)
∆𝒖(𝒕)
= 𝟐
𝑫 = 𝟑
𝝉 = 𝟕 − 𝟑 = 𝟒
𝑮 𝒔 =
𝟐
𝟒𝒔 + 𝟏
𝒆−𝟑𝒔
Modelagem de processo de primeira ordem
∆𝐲 𝐭 = 𝐲𝐟𝐢𝐧𝐚𝐥 − 𝐲𝐢𝐧𝐢𝐜𝐢𝐚𝐥
∆𝐮 𝐭 = 𝐮𝐟𝐢𝐧𝐚𝐥 − 𝐮𝐢𝐧𝐢𝐜𝐢𝐚𝐥
É baseado na informação do processo na forma da resposta ao degrau do
sistema em malha aberta. Para se obter esta resposta, o controlador é posto
em manual para logo após gerar-se uma variação em degrau na saída do
controlador.
2 - Método gráfico de Ziegler-Nichols (1942)
𝑲 =
∆𝒚(𝒕)
∆𝒖(𝒕)
Modelagem de processo de primeira ordem
D
2 - Método gráfico de Ziegler-Nichols (1942) – exemplo
𝑫 𝝉
𝑲 =
∆𝒚(𝒕)
∆𝒖(𝒕)
= 𝟏
𝑫 ≅ 𝟏. 𝟒
𝝉 = 𝟔. 𝟒 − 𝟏. 𝟒 = 𝟓
𝑮 𝒔 =
𝟏
𝟓𝒔 + 𝟏
𝒆−𝟏.𝟒𝒔
Modelagem de processo de primeira ordem
3 - Método de Smith (1985)
No método de Smith, sobre a curva de reação são marcados os instantes
de tempo t1 e t2 correspondentes às respostas nos pontos y(∞)*0,283 e
y(∞)*0,632, respectivamente, conforme figura.
𝑲 =
∆𝒚(𝒕)
∆𝒖(𝒕)
𝑫 = 𝒕𝟐 − 𝝉
𝝉 = 𝟏. 𝟓(𝒕𝟐 − 𝒕𝟏)
Modelagem de processo de primeira ordem
3 - Método de Smith - exemplo
𝒕𝟏 𝒕𝟐
𝑲 =
∆𝒚(𝒕)
∆𝒖(𝒕)
= 𝟐
𝑫 = 𝟕 − 𝟒. 𝟐 = 𝟐. 𝟖
𝝉 = 𝟏. 𝟓 𝟕 − 𝟒. 𝟐 = 𝟒. 𝟐
𝑮 𝒔 =
𝟐
𝟒. 𝟐𝒔 + 𝟏
𝒆−𝟐.𝟖𝒔
𝑦 𝑡2 = 𝑦 ∞ ∗ 0.6321
𝑦 𝑡1 = 𝑦 ∞ ∗ 0.283
Modelagem de processo de primeira ordem
O método de Sundaresan e Krishnaswamy é semelhante ao método de
Smith, entretanto os pontos (t1 e t2) da curva serão: y(∞)*0,353 e y(∞)*0,853,
respectivamente, conforme figura.
𝑲 =
∆𝒚(𝒕)
∆𝒖(𝒕)
𝑫 = 𝟏. 𝟑𝒕𝟏 − 𝟎. 𝟐𝟗𝒕𝟐
𝝉 = 𝟎. 𝟔𝟕(𝒕𝟐 − 𝒕𝟏)
4 - Método de Sundaresan e Krishnaswamy (1977)
Modelagem de processo de primeira ordem
4 - Método de Sundaresan e Krishnaswamy - exemplo
𝑦 𝑡1 = 𝑦 ∞ ∗ 0.353
𝑦 𝑡2 = 𝑦 ∞ ∗ 0.853
𝒕𝟏 𝒕𝟐
𝑲 =
∆𝒚(𝒕)
∆𝒖(𝒕)
= 𝟐
𝑫 = 𝟏. 𝟑 𝟒. 𝟖 − 𝟎. 𝟐𝟗 𝟏𝟎. 𝟖 = 𝟑. 𝟏
𝝉 = 𝟎. 𝟔𝟕 𝟏𝟎. 𝟖 − 𝟒. 𝟖 = 𝟒. 𝟎𝟐
𝑮 𝒔 =
𝟐
𝟒. 𝟎𝟐𝒔 + 𝟏
𝒆−𝟑.𝟏𝒔
Modelagem de processo de primeira ordem
Modelagem de processo de primeira ordem
Utilizando o modelo do Simulink abaixo, e a partir dos seus dados (saída,
entrada e tempo), estime uma planta de primeira ordem com atraso de
transporte conforme um dos métodos citados. Utilize o Simulink e Matlab.
Modelagem de processo de primeira ordem
Modelagem de processo de primeira ordem
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Tempo (s)
Te
m
pe
ra
tu
ra
 (º
C)
Resposta ao Degrau
Para levantar a característica dinâmica de um sistema de temperatura, um
engenheiro aplicou um degrau de 0V a 10V no instante de 3 segundos, com
vazão de água constante, obtendo a resposta de temperatura mostrada na
figura a seguir.
𝐆 𝐬 =
𝟎, 𝟔
𝟒𝐬 + 𝟏
𝒆−𝟐𝒔
𝐲 𝛕 = ∆𝐲 ∗ 𝟎, 𝟔𝟑𝟐𝟏 + 𝐲𝐢 = 𝟏𝟑, 𝟖
K =
∆𝑦(𝑡)
∆𝑢(𝑡)
=
16 − 10
10 − 0
=
6
10
= 0,6
𝜏
𝑮 𝒔 =
𝑲
𝝉𝒔 + 𝟏
Forma padrão de plantas de 2a Ordem
em 𝜻 (lê-se: zéta) é o coeficiente de amortecimento da planta, n (lê-se: ômega ene) é a
frequência de oscilação natural da planta.
𝑮 𝒔 =
𝝎𝒏
𝟐
𝒔𝟐 + 𝟐𝜻𝝎𝒏𝒔 + 𝝎𝒏𝟐
Modelagem de processo de segunda ordem
A análise do comportamento transitório de uma planta de 2a ordem dada pela
forma usual, é feito levando em consideração somente o valor do coeficiente
de amortecimento (𝜻) da planta, conforme os tipos mostrados a seguir.
 Planta superamortecida (𝜻 1)
Uma planta é superamortecida quando o seu coeficiente de amortecimento é
maior que 1. Seu gráfico será:
Tipos de Plantas de 2a Ordem
Modelagem de processo de segunda ordem
 Planta criticamente amortecida (𝜻 =1)
Uma planta é criticamente amortecida quando o seu coeficiente de
amortecimento é igual a 1. Seu gráfico será:
O gráfico de uma planta criticamente amortecida tem a maior inclinação antes
que ultrapasse a reta que fixa o valor da saída permanente (“steady state”);
caso a inclinação aumente, certamente a curva irá ultrapassar a saída
permanente, daí o termo criticamente usado.
Modelagem de processo de segunda ordem
 Planta subamortecida (01)
Uma planta é subamortecida quando o seu coeficiente de amortecimento é entre
0 e 1. Seu gráfico será:
O gráfico de uma planta subamortecida é caracterizado pela ultrapassagem do
valor de saída permanente, pela existência de um sobressinal (“overshoot”).
Modelagem de processo de segunda ordem
 Planta oscilatória pura (=0)
Uma planta é oscilatória pura quando o seu coeficiente de amortecimento é
igual a 0. Seu gráfico será:
em que A é a amplitude e T é o período da oscilação.
Modelagem de processo de segunda ordem
Resumo dos tipos de plantas de 2a ordem
Modelagem de processo de segunda ordem
Análise de resposta de sistemas dinâmicos
Desempenho de Plantas de 2a Ordem subamortecidas
Os índices de desempenho que serão apresentados somente se
aplicam à plantas de 2a ordem com comportamento do tipo
subamortecido. Os demais tipos não apresentados (superamortecido,
criticamente amortecido e oscilatório puro) têm características
peculiares que podem ser facilmente analisadas considerando tratar-se
de formas gráficas já bastante explorados matematicamente (sinais
exponencial e periódico). Portanto, para os índices de desempenho
tratados a seguir, supõe-se que o sistema seja submortecido.
 Tempo de subida tR (do inglês: “Rise Time”)
É o intervalo de tempo que o sistema leva para ir de 0 a 100% do valor final
para sistemas subamortecidos . Para sistemas sobreamortecidos utiliza-se o
intervalo de tempo de 0% a 90% de yss.
𝒕𝑹 ≅
𝟐, 𝟏
𝝎𝒏
 Tempo de acomodação tS (do inglês: “Settling Time”)
É o tempo que uma planta gasta para atingir uma faixa próxima do valor da
saída de estado permanente (yss) e desta faixa não sair mais, normalmente
estabelecida em 2% ou 5%.
𝒕𝑺𝟐% ≅
𝟒
𝜻𝝎𝒏
𝒕𝑺𝟓% ≅
𝟑
𝜻𝝎𝒏
Modelagem de processo de segunda ordem
 Sobressinal máximo (“Overshoot”) ou 𝑴𝒑 (“Maximum Point”)
É o máximo valor de pico medido a partir do valor da saída de estado
permanente (yss).
𝜻 =
|𝒍𝒏 𝑴𝒑 |
𝝅𝟐 + [𝒍𝒏(𝑴𝒑)]𝟐
𝑴𝒑 = 𝒆
−𝜻𝝅/ 𝟏−𝜻𝟐
 Tempo de pico tP
É o tempo que uma planta gasta para ir de 0 (repouso) até o valor do primeiro
pico de sobressinal.
𝒕𝑷 =
𝝅
𝝎𝒏 𝟏 − 𝜻𝟐
Modelagem de processo de segunda ordem
Modelagem de processo de segunda ordem
(Enade 2014 – adaptado) diversos parâmetros podem ser obtidos a partir da resposta de
um sistema de controle de segunda ordem a uma entrada do tipo degrau unitário,
conforme mostrado no gráfico a seguir.
Considerando que a função de
transferência G(s) do sistema de
segunda ordem é dada por:
𝐺 𝑠 =
1
𝑠2 + 2𝑠 + 4
O valor do tempo de acomodação Ts
para que a resposta do sistema esteja
dentro da faixa
de ±2% do valor final
será de
a) 2,85 s.
b) 3,75 s.
c) 4,00 s.
d) 5,00 s.
e) 10,00 s.
DORF, R.C.; BISHOP, R.H. Sistema de controle moderno, 8ª Ed. Rio de 
Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 2001 (Adaptado).
Modelagem de processo de segunda ordem
Método de Mollenkamp (1988)
Neste método, são identificados 3 pontos intermediários a partir da 
curva de reação de uma equação de segunda ordem. O tempo 1 (t1) é 
o tempo quando a saída alcança 15% do valor de estado permanente 
(Yss), o tempo 2 (t2) é o tempo quando a saída alcança 45% do valor 
de estado permanente e o tempo 3 (t3) é o tempo quando a saída 
alcança 75% do valor de estados permanente, ou seja o valor final.
A partir deste três tempos, os parâmetros do modelo paramétrico 
de segunda ordem são calculados pelo seguinte algoritmo:
Modelagem de processo de segunda ordem
i) x =
t2 − t1
t3 − t1
ii)𝜁 =
0.0805 − 5.547 0.475 − 𝑥 2
(x − 0.356)
iii)𝑓2 𝜁 = 0.708 2.811
𝜁 se 𝜁 < 1
𝑓2 𝜁 = 2.6𝜁 − 0.60 𝑠𝑒 𝜁 ≥ 1
iv) 𝜔𝑛 =
f2(𝜁)
t3 − t1
v)𝑓3 𝜁 = 0.922 1.66
𝜁
vi) 𝜃 = 𝑡2 −
f3(𝜁)
𝜔n
vii) 𝜏1 =
𝜁 + 𝜁2 − 1
𝜔n
viii) 𝜏2 =
𝜁 − 𝜁2 − 1
𝜔n
Se 𝜁 ≥1
ix) τ =
1
𝜔n
Se 𝜁<1
Modelagem de processo de segunda ordem
 Se 𝜁 ≥1
𝐺𝑝 𝑠 =
𝐾
(𝜏1 + 1)(𝜏2 + 1)
𝑒−𝜃𝑠
 Se 𝜁 <1
𝐺𝑝 𝑠 =
𝐾
𝜏2𝑠2 + 2𝜁𝜏𝑠 + 1
𝑒−𝜃𝑠
𝐺𝑝 𝑠 =
𝜔𝑛
2
𝑠2 + 2𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛
2 𝑒
−𝜃𝑠
Ou
Modelagem de processo de segunda ordem
Modelagem de processo de segunda ordem
Modelagem de processo de segunda ordem
Modelagem de processo de segunda ordem
Modelagem de processo de segunda ordem