4 Identificação de sistemas por equações a diferenças

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Engenharia da Computação
Tópicos Especiais II
Identificação de sistemas por 
equações a diferenças – Mínimos 
Quadrados (MQ)
Prof. Jan Erik, Msc. – Natal, 2015.2
Introdução
 Métodos para estimação de parâmetros de modelos lineares discretos são
apresentados.
 Ênfase é dada ao estimador dos mínimos quadrados (MQ) uma vez que
é a base para o desenvolvimento de outros métodos de identificação.
 A qualidade da estimação é dependente da natureza do ruído, da estrutura
do modelo, do tipo de aplicação e da “riqueza” da informação contida
nas medidas.
 Ambas as implementações off-line e on-line do estimador são apresentadas
e os aspectos computacionais são avaliados.
 Considerar a Priori que a ordem do modelo é conhecida.
 As amostras das medidas de entrada e saída estão disponíveis a cada
período de amostragem no universo da experimentação.
Formalismo histórico dos mínimos quadrados
Karl Friedrich Gauss formulou o Principio dos Mínimos Quadrados ao final
do século 18 para rever a trajetória de planetas e cometas a partir de
observações realizadas. Gauss estabeleceu que os parâmetros
desconhecidos de um modelo matemático deveriam ser selecionados de
modo que:
“O valor mais provável das grandezas desconhecidas é a que minimiza a
soma dos quadrados da diferença entre os valores atualmente observados e
os valores calculados multiplicados por números que medem o grau de
precisão. Quanto mais precisa a medida maior a sua ponderação.”
x
yp
yr
Min Σ
Estimador dos mínimos quadrados não-recursivo
Vimos que:
 
 nan
nb
m
zazaza
zbzbzbb
zU
zY
zG





 ... 1
 ... 
)(
)(
)(
2
2
1
1
2
2
1
10
)()(...)2()1()(...)2()1()( 2121 kenbkubkubkubnakyakyakyaky nbna 
Cuja representação por equações a diferenças discreta (K) será:
)()(...)2()1()(...)2()1()( 2121 kenbkubkubkubnakyakyakyaky nbna 
    )( ... )( ... 1 221102211 zUzbzbzbbzYzazaza nbmnan  
 na e nb determinam a ordem do modelo.
 𝑎𝑖 e 𝑏𝑗 são os parâmetros a ser determinado e serão usados as medidas de
entradas (u[k]´s) e saídas (y[k]´s).
 O termo e(k) pode representar o erro de modelagem, o erro de medição ou
o ruído na saída do processo.
Estimador dos mínimos quadrados não-recursivo
Pode-se separar os parâmetros (𝑎𝑖 e 𝑏𝑗 ) do sistemas do seus regressores
(amostras). Supondo que foram feitas N medidas de entrada e saída:
 )N(u),....,1(u),0(u  )N(y),....,1(y),0(y





























nb
na
b
b
b
a
a
a


1
0
2
1














)N(y
)2(y
)1(y
Y

















)()1()()1(
)2()1()2()1(
)1()0()1()0(
nbNuNunaNyNy
nbuunayy
nbuunayy
X

















)N(e
)2(e
)1(e
e

)()()()( tettxty T  
Tem-se:  Modelo de regressão Linear
Modelo ARX
eXY 
 Representação Matricial
Estimador dos mínimos quadrados não-recursivo
Por exemplo:
)()1()1()( kekbukayky 














































)N(e
)2(e
)1(e
b
a
)1N(u)1N(y
)1(u)1(y
)0(u)0(y
)N(y
)2(y
)1(y

eXY 
Vetor de medidas / Matriz de 
observação Ruído, erro de medição,...Vetor de saídas
Vetor de parâmetros
Estimador dos mínimos quadrados não-recursivo
Se X for não-singular, é possível determinar o vetor de parâmetros (𝜽 )
invertendo tal matriz, ou seja,:
𝜽 = 𝑿−𝟏𝒚
Como a matriz X não é quadrada, ela não pode ser invertida. Entretanto, pré-
multiplicando a equação 𝒚 = 𝑿𝜽 por 𝑿𝑻 em ambos os lados tem-se:
𝑿𝑻𝒚 = 𝑿𝑻𝑿𝜽
Agora como 𝑿𝑻𝑿 pode ser invertido, podemos isolar a matriz de parâmetros:
𝜽 = [𝑿𝑻𝑿]−𝟏𝑿𝑻𝒚
Estimador dos mínimos quadrados não-recursivo
Problema a ser resolvido: Dados Y e X, obter θ
Solução: utilizar método dos mínimos quadrados. Escolher θ que minimize a
função erro J:



N
1k
T2 ee)k(eJ
    XYXYJ T
Mínimo quando:
0
J
ˆ




  0XXYXXYYY TTTTTT 


0ˆXX2YX2 TT 
 𝜽 = [𝑿𝑻𝑿]−𝟏𝑿𝑻𝒚  Estimador dos mínimos quadrados
Estimador dos mínimos quadrados não-recursivo
)1()1(8.0)(  kukyky
Suponha y(0)=0 e que foi aplicada a seguinte entrada: u(0)=1 e 
u(1)=-1
Logo: y(1)= -0.8y(0)+u(0)= 1
y(2)= -0.8y(1)+u(1)= -1.8








8.1
1
Y 







11
10
X




















21
11
11
10
11
10
XXT
  









11
12
XX
1T


































0.1
8.0
8.1
1
11
10
11
12
b
aˆ
Dado o sistema:
Estimador dos mínimos quadrados não-recursivo
Observações sobre MQ:
 A solução existe se (XTX)-1, a chamada pseudo-inversa, for
não-singular;
 A sequência escolhida de entradas {u(k)} deve garantir a
existência da não-singularidade;
 Se não houver a presença de incertezas (ruídos) podemos
achar em N=na+nb passos;
 A matriz X cresce a medida que N cresce;
 O estimador é não-polarizado (os parâmetros estimados
convergem para os parâmetros verdadeiros quando o número
de iterações aumenta) se a perturbação é um ruído branco
(média nula e variância 1) e y(t), u(t) são estatisticamente
independentes de e(t).
Estimador dos mínimos quadrados não-recursivo
N=30;
n=2; %na=nb=2
y=zeros(1,N);
u = idinput(N,'prbs',[0,0.1])'; %Entrada randomica
a1=-0.7889; a2=0.01832; b0=0.4443; b1=0.1292;
X=[]; Y=[];
for k=n+1:N
y(k)= -a1*y(k-1)-a2*y(k-2)+b0*u(k-1)+b1*u(k-2); %equação a diferenças.
X=[X; -y(k-1) -y(k-2) u(k-1) u(k-2)]; %montar a matriz de regressores. Modelo ARX
Y=[Y;y(k)]; %Montar o vetor de saída
end
Theta = (X'*X)^-1*X'*Y
plot(y);grid;