Apostila 1

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Prof a Rita de Cassia S. Paz 1
Func¸o˜es de duas varia´veis reais a valores reais
Uma func¸a˜o f de duas varia´veis x e y com domı´nio D ⊂ R2 e´ uma regra que
associa a cada ponto (x, y) ∈ D um nu´mero real z = f(x, y).
Exemplos:
a) Seja f : R2 −→ R definida por f(x, y) = 2x+x2y3. Calcule f(1, 0), f(0, 1),
f(−2, 3) e f(a + 1, b).
b) Um estudo da demanda de leite feito por R.Frisch e T. Haavelmo encontrou
a relac¸a˜o:
x = A
r2,08
p1,5
(A e´ uma constante positiva)
onde x e´ o consumo de leite, p e´ seu prec¸o relativo e r e´ a renda por famı´lia.
Essa equac¸a˜o define x como func¸a˜o de p e r. Note que o consumo de leite
aumenta quando r cresce e diminui quando o prec¸o aumenta, o que e´ razoa´vel.
c) Uma func¸a˜o de duas varia´veis que aparece em muitos modelos econoˆmicos
e´:
f(x, y) = Axayb (A, a, b constantes)
Esta func¸a˜o se chama func¸a˜o de Cobb-Douglas. Observe que a func¸a˜o do
exemplo anterior e´ uma func¸a˜o de Cobb-Douglas, porque pode ser escrita da
forma x = Ap−1,5r2,08.
d) Func¸o˜es de demanda: Se existem dois bens relacionados (concorrentes
ou complementares) para os quais as quantidades demandadas sa˜o x e y e
os respectivos prec¸os sa˜o p e q, enta˜o as func¸o˜es de demanda podem ser
representadas por:
x = f(p, q) y = g(p, q)
e) Func¸o˜es de utilidade: Considere o caso em que as compras do consumidor
sa˜o limitadas a alimento (A) e vestua´rio (V ) e a func¸a˜o utilidade de um
indiv´ıduo e´:
u(A, V ) = AV
u e´ func¸a˜o das varia´veis A e V .
f) Func¸o˜es de produc¸a˜o: A produc¸a˜o da maior parte dos bens requer o em-
prego de ao menos 2 insumos. Por exemplo: trabalho, terra, capital, ma-
teriais, ma´quinas, etc. Suponhamos que a produc¸a˜o seja determinada por
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quantidades de capital (K) e trabalho (L) empregadas, enta˜o, podemos es-
crever uma func¸a˜o de produc¸a˜o na forma geral
q = F (K,L)
Domı´nio de uma func¸a˜o de duas varia´veis
O domı´nio de uma func¸a˜o de duas varia´veis e´ um subconjunto do R2.
Exemplos: Represente graficamente o domı´nio da func¸a˜o f dada.
a) f(x, y) = x+y
x−y
b) f(x, y) =
√
y − x
c) f(x, y) = x−y√
1−x2−y2
d) f(x, y) = ln(x2 − y)
Gra´ficos e curvas de n´ıvel
Seja z = f(x, y), (x, y) ∈ D, uma func¸a˜o real de duas varia´veis reais. O
conjunto
Gf = {(x, y, z) ∈ R3/z = f(x, y), (x, y) ∈ D}
chama-se gra´fico de f .
O gra´fico de f e´ uma superf´ıcie no R3. Para ajudar a fazer o gra´fico usamos
as curvas de n´ıvel.
Sejam z = f(x, y) uma func¸a˜o e c ∈ Imf . O conjunto de todos os pontos
(x, y) ∈ D tais que f(x, y) = c denomina-se curva de n´ıvel de f correspon-
dente ao n´ıvel z = c.
Obs: As curvas de n´ıvel na˜o se intersectam.
Exemplos: 1) Desenhe as curvas de n´ıvel e esboce o gra´fico das func¸o˜es.
a) f(x, y) = x2 + y2
b) f(x, y) =
√
1− x2 − y2
c) f(x, y) = xy
2) Seja q = F (K,L) uma func¸a˜o de produc¸a˜o, onde q e´ a quantidade produ-
zida de um bem, K e´ o capital e L e´ o trabalho. Enta˜o as curvas de n´ıvel
F (K,L) = c = constante sa˜o denominadas curvas de produto constante, cur-
vas de igual produc¸a˜o ou isoquantas.
3) Seja u(A, V ) = AV a func¸a˜o utilidade de um indiv´ıduo, onde A representa
alimento e V , vestua´rio. Enta˜o as curvas de n´ıvel u(A, V ) = c = contante
sa˜o chamadas curvas de indiferenc¸a. Um conjunto de curvas de indiferenc¸a
correspondentes a diferentes n´ıveis de utilidade constitui um mapa de indi-
ferenc¸a.
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4) Seja a func¸a˜o custo total
C(K,L) = wK + rL (w, r constantes)
onde K e´ o capital e L o trabalho. A curva de n´ıvel wK+rL = c = constante
e´ chamada linha de isocusto.
Func¸o˜es de treˆs varia´veis reais a valores reais
Uma func¸a˜o f de treˆs varia´veis x, y e z com domı´nio D ⊂ R3 e´ uma regra
que associa a cada ponto (x, y, z) ∈ D um nu´mero real w = f(x, y, z).
Exemplos:
a) f(x, y, z) = xy + 2xz − y
b) f(x, y, z) = xeyz
Superf´ıcies de n´ıvel
Seja c ∈ Imf . O conjunto
{(x, y, z) ∈ D/f(x, y, z) = c}
denomina-se superf´ıcie de n´ıvel correspondente ao n´ıvel w = c.
Exemplos: Desenhe a superf´ıcie de n´ıvel correspondente a c = 1.
a) f(x, y, z) = y
b) f(x, y, z) = x2 + y2 + z2
Limite de func¸o˜es de duas varia´veis
Intuitivamente, dizer que
lim
(x,y)→(a,b)
f(x, y) = L
significa que, quando (x, y) se aproxima de (a, b), a imagem f(x, y) se apro-
xima de L.
Exemplos: Calcule os limites, se existir.
a) lim
(x,y)→(1,2)
(x2y3 − x3y2 + 3x + 2y)
b) lim
(x,y)→(0,0)
x2−y2
x2+y2
c) lim
(x,y)→(0,0)
x2
x2+y2
O pro´ximo teorema nos da´ uma forma de verificar se um limite existe.
Teorema: Se lim
(x,y)→(a,b)
f(x, y) = 0 e se |g(x, y)| ≤ M , para todo (x, y) 6=
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(a, b), enta˜o lim
(x,y)→(a,b)
f(x, y)g(x, y) = 0.
Exemplos: Calcule os limites, se existir.
a) lim
(x,y)→(0,0)
xsen
(
1
x2+y2
)
b) lim
(x,y)→(0,0)
x3
x2+y2
Continuidade de uma func¸a˜o de duas varia´veis
Uma func¸a˜o f : D ⊂ R2 −→ R e´ cont´ınua em (a, b) ∈ D se
lim
(x,y)→(a,b)
f(x, y) = f(a, b)
Observe que o limite tem que existir e ser igual ao valor da func¸a˜o no ponto
(a, b).
Exemplos:
a) A func¸a˜o f(x, y) = 3x2 + 2xy − 3y + 2 e´ cont´ınua em (1,−1)? Justifique
sua resposta.
b) A func¸a˜o f(x, y) =
{
x2−y2
x2+y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0 , se (x, y) = (0, 0)
e´ cont´ınua em (0, 0)?
Justifique.
c) A func¸a˜o f(x, y) =
{
x3
x2+y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
1 , se (x, y) = (0, 0)
e´ cont´ınua em (0, 0)?
Justifique.
d) A func¸a˜o f(x, y) =
{
x3
x2+y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0 , se (x, y) = (0, 0)
e´ cont´ınua em (0, 0)?
Justifique.
Derivadas parciais
Sejam f : D ⊂ R2 −→ R e (a, b) ∈ D. Fixado b, podemos considerar a
func¸a˜o g(x) = f(x, b).
A derivada parcial de f , em relac¸a˜o a x, no ponto (a, b) e´
∂f
∂x
(a, b) = g′(a) = lim
x→a
g(x)− g(a)
x− a = limx→a
f(x, b)− f(a, b)
x− a
quando esse limite existe.
ou, ainda, fazendo h = x− a:
∂f
∂x
(a, b) = lim
h→0
f(a + h, b)− f(a, b)
h
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De modo ana´logo, fixado a, define-se a derivada parcial de f , em relac¸a˜o a
y, no ponto (a, b):
∂f
∂y
(a, b) = lim
y→b
f(a, y)− f(a, b)
y − b
quando esse limite existe.
ou, ainda, fazendo h = y − b:
∂f
∂y
(a, b) = lim
h→0
f(a, b + h)− f(a, b)
h
Notac¸o˜es:
Para a derivada da f em relac¸a˜o a x:
∂f
∂x
(a, b) ou ∂z
∂x
∣∣∣∣∣
x = a
y = b
ou Dxf(a, b) ou fx(a, b).
Para a derivada da f em relac¸a˜o a y:
∂f
∂y
(a, b) ou ∂z
∂y
∣∣∣∣∣
x = a
y = b
ou Dyf(a, b) ou fy(a, b).
Observe que ∂f
∂x
e´ a taxa de variac¸a˜o de f(x, y), com relac¸a˜o a x, quando y e´
constante, e de forma ana´loga para ∂f
∂y
.
Portanto, para se calcular ∂f
∂x
, deriva-se em relac¸a˜o a x, mantendo y cons-
tante. Analogamente para ∂f
∂y
.
Exemplos:
1) Calcular as derivadas parciais das seguintes func¸o˜es:
a) f(x, y) = x3y + x2y2 + x + y2
b) f(x, y) = xexy
c) f(x, y) = x
y
d) f(x, y) = xy
x2+y2
e) f(x, y) = ln(x2 + y2)
f) f(x, y) = x
√
2x + y2
2) Dada a func¸a˜o x = Ap−1,5r2,08, calcular as derivadas parciais de x com
relac¸a˜o a p e r, discutindo seus sinais.
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3) Seja f(x, y) =
{
x3−y2
x2+y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0 , se (x, y) = (0, 0)
Existem ∂f
∂x
(0, 0) e ∂f
∂y
(0, 0)? Justifique.
4) Calcule ∂f
∂x
(1, 0) e ∂f
∂y
(1, 1), pela definic¸a˜o, sendo f(x, y) = x2 +y2−xy+2.
5) Dada a func¸a˜o f(x, y) = 3x+5xy−x2+y2−3, calcule ∂f
∂x
(2, 1) e ∂f
∂y
(1,−1).
6) Dada a func¸a˜o f(x, y) =
{ xy
x2+y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0 , se (x, y) = (0, 0)
Calcule ∂f
∂x
e ∂f
∂y
. f e´ cont´ınua em (0, 0)?
Derivadas parciais de ordem superior
Seja z = f(x, y), enta˜o ∂f
∂x
e ∂f
∂y
se chamam as derivadas parciais de primeiraordem. Essas derivadas parciais sa˜o, por sua vez, func¸o˜es de duas varia´veis.
Portanto podemos calcular as derivadas parciais de ∂f
∂x
e ∂f
∂y
com relac¸a˜o a
x e a y. As quatro func¸o˜es assim obtidas chamam-se derivadas parciais de
segunda ordem de f e se designa por:
∂
∂x
(
∂f
∂x
)
= ∂
2f
∂x2
∂
∂y
(
∂f
∂x
)
= ∂
2f
∂y∂x
∂
∂x
(
∂f
∂y
)
= ∂
2f
∂x∂y
∂
∂y
(
∂f
∂y
)
= ∂
2f
∂y2
Outras notac¸o˜es para derivadas parciais de segunda ordem:
∂2f
∂x2
= fxx = Dxxf
∂2f
∂x∂y
= fxy = Dxyf
∂2f
∂y∂x
= fyx = Dyxf
∂2f
∂y2
= fyy = Dyyf
Exemplo: Determine as derivadas parciais de segunda ordem de f(x, y) =
x3 + x2y3 − 2y2.
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No exemplo anterior, as derivadas parciais de segunda ordem cruzadas (ou
mistas) ∂
2f
∂x∂y
e ∂
2f
∂y∂x
sa˜o iguais. Este sera´ o caso para a maioria das func¸o˜es
z = f(x, y). O pro´ximo teorema nos da´ uma condic¸a˜o suficiente para que
estas derivadas sejam iguais.
Definic¸a˜o: Uma func¸a˜o z = f(x, y) e´ de classe Cn se todas as derivadas
parciais de ordem menor ou igual que n existem e sa˜o cont´ınuas.
Teorema: Se z = f(x, y) e´ de classe C2, enta˜o
∂2f
∂x∂y
=
∂2f
∂y∂x
De maneira similar, definimos as derivadas parciais terceiras, quartas, assim
como as de ordem superiores. Por exemplo, escrevemos ∂
3z
∂x∂y2
para indicar
que derivamos z duas vezes em relac¸a˜o a y e depois derivamos o resultado
em relac¸a˜o a x.
Exemplos:
a) Se f(x, y) = x3ey
2
, achar as derivadas parciais de primeira e segunda or-
dem em (x, y) = (1, 0).
b) Dada a func¸a˜o f(x, y) =
{
xy(x2−y2)
x2+y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0 , se (x, y) = (0, 0)
, mostre que
∂2f
∂x∂y
(0, 0) = 1 e ∂
2f
∂y∂x
(0, 0) = −1. Porque isso na˜o contradiz o teorema acima?
Aproximac¸o˜es das derivadas parciais
Como ∂f
∂x
e´ a derivada de f(x, y) com relac¸a˜o a x, considerando y constante,
obtemos uma aproximac¸a˜o dessa derivada escrevendo:
∂f
∂x
≈ f(x + 1, y)− f(x, y)
Analogamente:
∂f
∂y
≈ f(x, y + 1)− f(x, y)
Em outras palavras:
A derivada parcial ∂f
∂x
e´ aproximadamente igual a variac¸a˜o de f(x, y) resultante
ao aumentar x em uma unidade, mantendo y constante.
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A derivada parcial ∂f
∂y
e´ aproximadamente igual a variac¸a˜o de f(x, y) resultante
ao aumentar y em uma unidade, mantendo x constante.
Usando a aproximac¸a˜o acima, temos que:
∂f
∂x
> 0 significa que um aumento unita´rio em x produz um aumento de
f(x, y). De maneira ana´loga, ∂f
∂x
< 0 significa que um aumento unita´rio de x
produz uma diminuic¸a˜o de f(x, y).
Exemplos:
a) Seja Y = F (K,L) o nu´mero de unidades produzidas quando se empregam
K unidades de capital e L unidades de trabalho em certo processo produtivo.
Qual e´ a interpretac¸a˜o econoˆmica de ∂F
∂K
(100, 50) = 5?
b) Consideremos a func¸a˜o de produc¸a˜o agr´ıcola Y = F (K,L, T ), onde Y e´ o
nu´mero de unidades produzidas, K e´ o capital investido, L e´ o trabalho e T
a superf´ıcie de terra. Enta˜o ∂Y
∂K
se chama a produtividade marginal do capital
e e´ a taxa de variac¸a˜o da produc¸a˜o Y com relac¸a˜o a K quando L e T se
mante´m constantes. De maneira ana´loga, ∂Y
∂L
e´ a produtividade marginal do
trabalho e ∂Y
∂T
e´ a produtividade marginal da terra. Por exemplo, se se mede
o capital K em do´lares e ∂Y
∂K
= 5, enta˜o um aumento do capital em um do´lar
dara´ um aumento da produc¸a˜o de cinco unidades.
c) Sejam x = f(p, q) e y = g(p, q) as demandas de dois bens quando os prec¸os
unita´rios sa˜o p e q, respectivamente. Suponhamos que os bens sa˜o substi-
tutos, por exemplo, manteiga e margarina. Qual devem ser normalmente os
sinais das derivadas parciais ∂f
∂p
, ∂f
∂q
, ∂g
∂p
, ∂g
∂q
?
A diferencial
Seja z = f(x, y) um func¸a˜o de duas varia´veis com derivadas parciais. Se dx e
dy sa˜o nu´meros reais arbitra´rios (na˜o necessariamente pequenos), definimos
a diferencial de z = f(x, y) em (x, y), e se designa por dz ou df , da seguinte
forma:
dz =
∂f
∂x
dx +
∂f
∂y
dy
O s´ımbolo ∆z e´ usado para representar a variac¸a˜o em f , quando se passa de
(x, y) a (x + dx, y + dy):
∆z = f(x + dx, y + dy)− f(x, y)
Se dx e dy sa˜o pequenos em valor absoluto, enta˜o ∆z e´ aproximadamente
igual a dz:
∆z ≈ dz = ∂f
∂x
dx +
∂f
∂y
dy
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Essa aproximac¸a˜o tem uma interpretac¸a˜o geome´trica. O erro que se comete
ao substituir ∆z por dz resulta de seguir o plano tangente em vez da su-
perf´ıcie.
Para uma func¸a˜o de treˆs varia´veis w = f(x, y, z) a diferencial e´ dada por:
dw =
∂f
∂x
dx +
∂f
∂y
dy +
∂f
∂z
dz
Exemplos:
1) Calcule a diferencial.
a) z = x2 + 3xy − y2
b) f(x, y) = ex
2+y
c) f(x, y) = x−y
x2+y2
d) f(x, y) = xey
2
2) Seja z = xex
2−y2 .
a) Calcule um valor aproximado para a variac¸a˜o ∆z em z, quando se passa
de x = 1 e y = 1 para x = 1, 01 e y = 1, 002.
b) Calcule um valor aproximado para z, correspondente a x = 1, 01 e y =
1, 002.
3) A produc¸a˜o dia´ria de determinada indu´stria e´ de Q(K,L) = 120K1/2L1/3
unidades, onde K representa o capital investido (em mil) e L o nu´mero
de opera´rios-hora. O capital investido atualmente e´ de R$ 900.000, 00, e
empregam-se por dia 1.000 opera´rios-hora. Determine a variac¸a˜o na produc¸a˜o
decorrente de um acre´scimo de R$ 1.000, 00 no capital investido e um decre´scimo
de 2 opera´rios-hora.
Regra da cadeia
1o caso:
Se z = f(x, y), x = g(t) e y = h(t), enta˜o:
dz
dt
=
∂z
∂x
dx
dt
+
∂z
∂y
dy
dt
Obs: dz
dt
= z′(t)
Exemplos:
a) Usar a regra da cadeia para calcular dz
dt
em t = 0, sendo z = x2y + 3xy4,
x = sen 2t e y = cos t.
b) Seja a func¸a˜o de produc¸a˜o Y = 10KL−√K −√L, onde Y representa a
quantidade produzida, K o capital e L o trabalho. Suponhamos que K e L
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sa˜o func¸o˜es do tempo t, dadas por K = 0, 2t + 5 e L = 5e0,1t. Achar dY
dt
em
t = 0.
2o caso:
Seja z = f(x, y) com x = g(t, s) e y = h(t, s), enta˜o:
a) ∂z
∂t
= ∂z
∂x
∂x
∂t
+ ∂z
∂y
∂y
∂t
b) ∂z
∂s
= ∂z
∂x
∂x
∂s
+ ∂z
∂y
∂y
∂s
Exemplo: Calcular ∂z
∂t
e ∂z
∂s
para z = exsen y, x = st2 e y = s2t.
Derivada da func¸a˜o impl´ıcita
1o caso:
Seja y = g(x) definida implicitamente pela equac¸a˜o f(x, y) = 0, onde f e´
uma func¸a˜o diferencia´vel. Enta˜o
g′(x) =
dy
dx
= −fx
fy
onde fx =
∂f
∂x
e fy =
∂f
∂y
Exemplo: Calcule y′ quando y3 + xy + x3 = 3.
2o caso:
Seja z = g(x, y) definida implicitamente pela equac¸a˜o f(x, y, z) = 0, onde f
e´ uma func¸a˜o diferencia´vel. Enta˜o:
∂z
∂x
= −fx
fz
e
∂z
∂y
= −fy
fz
onde fx =
∂f
∂x
, fy =
∂f
∂y
e fz =
∂f
∂z
Exemplo: Calcular ∂z
∂x
e ∂z
∂y
, quando xyz + x3 + y3 + z3 = 5.
Vetor gradiente de uma func¸a˜o de duas varia´veis
Seja z = f(x, y) uma func¸a˜o diferencia´vel. O vetor
∇f(a, b) =
(
∂f
∂x
(a, b),
∂f
∂y
(a, b)
)
denomina-se gradiente de f em (a, b).
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Notac¸a˜o: ∇f ou grad f
Propriedade do gradiente
Se ∇f(a, b) 6= (0, 0), enta˜o ∇f(a, b) e´ ortogonal a` curva de n´ıvel f(x, y) = c.
A equac¸a˜o da reta tangente a` curva de n´ıvel f(x, y) = c em (a, b) e´ dada por:
∇f(a, b) · (x− a, y − b) = 0
Exemplos:
a) Seja f(x, y) = x2 + y2. Calcule ∇f(1, 1).
b) Determine a equac¸a˜o da reta tangente a` curva x3y3−xy− 6 = 0 no ponto
(1, 2).
Vetor gradiente de uma func¸a˜o de treˆs varia´veis
Seja w = f(x, y, z) uma func¸a˜o diferencia´vel. O vetor
∇f(a, b, c) =
(
∂f
∂x
(a, b, c),
∂f
∂y
(a, b, c),
∂f
∂z
(a, b, c)
)
denomina-se gradiente de f em (a, b, c).
Propriedade:
Se ∇f(a, b, c) 6= (0, 0, 0), enta˜o ∇f(a, b, c) e´ ortogonal a`superf´ıcie de n´ıvel
f(x, y, z) = c.
A equac¸a˜o do plano tangente a` superf´ıcie de n´ıvel f(x, y, z) = c em (a, b, c)
e´ dada por:
∇f(a, b, c) · (x− a, y − b, z − c)
Exemplo: Determine a equac¸a˜o do plano tangente a` superf´ıcie z = 3x2y−x
no ponto (1, 2, 5).
Elasticidades parciais
Seja z = f(x, y). Definimos a elasticidade parcial de z com relac¸a˜o a x por:
Ez
Ex
=
x
z
∂z
∂x
De forma ana´loga, definimos a elasticidade parcial de z com relac¸a˜o a y por:
Ez
Ey
=
y
z
∂z
∂y
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O nu´mero Ez
Ex
e´ aproximadamente igual a` variac¸a˜o percentual de z produzida
por um aumento de 1 % em x, enquanto as demais varia´veis sa˜o constantes.
Exemplo: Achar as elasticidades parciais de z = xyex+y.
Bibliografia:
1) CHIANG, A.C.; WAINWRIGHT, K. Matema´tica para economistas. Rio
de Janeiro: Elsevier, 2006.
2) GUIDORIZZI, L.H. Um Curso de Ca´lculo. Vol.2. 5 ed. Rio de Janeiro:
LTC, 2012.
3) SILVA, L. M. O. da Matema´tica aplicada a` administrac¸a˜o, economia e
contabilidade: func¸o˜es de uma e mais varia´veis. Sa˜o Paulo: Learning, 2010.
4) WEBER, J. E. Matema´tica para economia e administrac¸a˜o. Sa˜o Paulo:
Harbra, 2001.