Física 3-07

Prévia do material em texto

www.profafguimaraes.net 
1 
 Prof. A.F.Guimarães 
Física 3 – Questões 7 
 Questão 1
A corrente que passa através de uma 
associação de resistores conectados em série é 
igual a 2 A. Liga-se, em série com este conjunto, 
um novo resistor cuja resistência vale Ͷ�ȳ. 
Verifica-se que a corrente que passa através dos 
resistores torna-se igual a 1,5 A. Encontre o valor 
inicial da resistência total, antes da introdução da 
resistência de Ͷ�ȳ. 
Resolução: 
A intensidade de corrente (ou simplesmente 
corrente) que passa através da associação será: ݅ଵ ൌ ʹ ൌ ܴߝ௘௤ 
(1.1) 
Com a associação (em série) do resistor de Ͷ�ȳ, a 
nova corrente do circuito será: ݅ଶ ൌ ͳǡͷ ൌ ߝܴ௘௤ ൅ Ͷ 
(1.2) 
Utilizando as equações (1.1) e (1.2), teremos: ͳǡͷ ൌ ʹܴ௘௤ܴ௘௤ ൅ Ͷ �׵ ܴ௘௤ ൌ ͳʹȳ 
(1.3) 
 Questão 2
Uma bateria possui f.e.m. ߝ ൌ ͳͲǡͲܸ e 
resistência interna ݎ ൌ ͳȳ. A bateria está ligada a 
um motor que levanta um peso ݌ ൌ Ͷܰ com 
velocidade constante ݒ ൌ ͳǡͷ݉ ή ݏିଵ. Suponha que 
não haja perda de potência por efeito Joule. Ache 
(a) a corrente i no circuito, (b) a diferença de 
potencial nos terminais do motor. 
Resolução: 
a) A potência fornecida pela bateria é dada por: 
௙ܲ ൌ ߝ ή ݅ െ ݎ ή ݅ଶ 
(2.1) 
Porém, como não há perdas por efeito Joule, a 
equação (2.1), se torna: 
 ௙ܲ ൌ ߝ ή ݅ 
(2.2) 
 
A potência média relacionada ao trabalho do 
motor é dada por: 
 ௠ܲ ൌ ݌ ή ݒ� ֜ ௠ܲ ൌ Ͷ ή ͳǡͷ ൌ ͸�ܹ 
(2.3) 
 
Assim, utilizando (2.2) e (2.3), teremos: 
 ͳͲ݅ ൌ ͸ ׵ ݅ ൌ Ͳǡ͸ܣ 
(2.4) 
 
b) Desprezando as perdas na resistência interna 
da bateria, podemos concluir que a d.d.p. nos 
terminais do motor vale: 
 ௠ܸ ൌ ͳͲǡͲܸ 
(2.5) 
 
No entanto, se considerarmos a queda de tensão 
na resistência interna da bateria (porém 
desprezando as perdas por efeito Joule), teremos 
para o motor uma d.d.p. dada por: 
 ܸԢ௠ ൌ ௕ܸ ൌ ߝ െ ݎ݅ ൌ ͳͲ െ ͳ ή Ͳǡ͸ ൌ ͻǡͶܸ 
(2.6) 
 
 Questão 3
 
Considere os mesmos dados do problema 
anterior. Suponha, no entanto, que exista perda de 
potência por efeito Joule. (a) Escreva a equação 
para o balanço da potência (conservação da 
potência). (b) Suponha que a potência dissipada 
por efeito Joule na resistência interna da bateria e 
na resistência interna do motor seja igual a 2 W; 
calcule a corrente que flui no circuito; determine, 
também, para este caso, (c) a resistência interna 
do motor, (d) a diferença de potencial nos 
terminais do motor. 
 
www.profafguimaraes.net 
2 
Resolução: 
a) A potência fornecida pela bateria é dada pela 
expressão (2.1), a potência consumida pelo motor 
será: 
௠ܲ ൌ ݌ ή ݒ ൅ ݎ௠݅ଶ 
(3.1) 
Assim, utilizando a conservação de potência, 
teremos: 
௙ܲ ൌ ௠ܲ�� ߝ݅ െ ݎ݅ଶ ൌ ݌ݒ െ ݎ௠݅ଶ �� ׵ ߝ݅ ൌ ݎ௧݅ଶ ൅ ݌ݒ 
(3.2) 
Em que ݎ௧ é a resistência equivalente da 
associação da resistência da bateria com a 
resistência do motor. 
b) Utilizando o resultado de (3.2), teremos: ͳͲ݅ ൌ ͸ ൅ ʹ� ׵ ݅ ൌ Ͳǡͺܣ 
(3.3) 
c) Utilizando o fato de que as potências dissipadas 
pelas resistências internas juntas totalizam em 
2W, teremos: ሺݎ ൅ ݎ௠ሻ݅ଶ ൌ ʹ� ͳ ൅ ݎ௠ ൌ ʹͲǡͺଶ �� ׵ ݎ௠ ൌ ʹǡͳʹͷ�ȳ 
(3.4) 
d) A d.d.p. nos terminais do motor é dada por: 
௠ܸ ൌ ௕ܸ ൌ ߝ െ ݎ݅ ൌ ͳͲ െ ͳ ή Ͳǡͺ ൌ ͻǡʹܸ 
(3.5) 
 Questão 4
Generalize a lei das malhas para um número N 
qualquer de baterias e de resistores em série. 
Resolução: 
 
Seja o circuito de malha única representado na 
figura a seguir. 
 
Figura 4.1 
 
Utilizando a lei das malhas, teremos: 
 ߝଵ െ ݎଵ݅ ൅ ߝଶ െ ݎଶ݅ ൅ ڮߝே െ ݎே݅ െ ሺܴଵ ൅ ܴଶ ൅ڮܴேሻ݅ ൌ Ͳ�� ߝଵ ൅ ߝଶ ൅ڮߝே െ ሺݎଵ ൅ ݎଶ ൅ڮݎேሻ݅ െ ሺܴଵ ൅ ܴଶ ൅ڮܴேሻ݅ ൌ Ͳ� ׵ ݅ ൌ σ ߝ௜ே௜ୀଵσ ݎ௜ ൅ σ ܴ௜ே௜ୀଵே௜ୀଵ 
(4.1) 
 
 Questão 5
 
(a) Mostre que a potência dissipada pelo efeito 
Joule na resistência R do circuito representado na 
figura 5.1 é máxima quando R é igual à resistência 
interna r da bateria. (b) Mostre que o valor P 
dessa potência máxima é dado por ܲ ൌ ߝଶ ͶݎΤ . 
Resolução: 
 
 
 
 
 
Figura 5.1 
 
a) A potência fornecida pela bateria é dada pela 
expressão (2.1). Para obtermos o ponto de 
máxima potência, efetuamos a derivada e 
posteriormente determinaremos o ponto cuja 
derivada se anula. Logo: 
 ݀ ௙ܲ݀݅ ൌ ߝ െ ʹݎ݅ ݀ ௙ܲ݀݅ ൌ Ͳ ֜ ݅ ൌ ʹߝݎ 
(5.1) 
 
A corrente no circuito é dada por: 
 ݅ ൌ ߝܴ ൅ ݎ 
(5.2) 
 
Assim, utilizando o resultado de (5.1) em (5.2), 
teremos: 
ڮ ڮ ߝଵ ߝʹ ߝே ݎଵ ڮݎଶ ݎܰ ܴଵ ܴʹ ڮܴ͵ ܴܰ 
ߝ ݎ ܴ 
 
www.profafguimaraes.net 
3 
ʹߝݎ ൌ ߝܴ ൅ ݎ �� ׵ ܴ ൌ ݎ 
(5.3) 
b) Agora, substituindo o resultado de (5.1) em 
(2.1), temos: 
௙ܲ ൌ ߝ ቀ ʹߝݎቁ െ ݎ ቀ ʹߝݎቁଶ ׵ ௙ܲ ൌ ߳ଶͶݎ 
(5.4) 
Obs.: O resultado de (5.1), também pode ser 
encontrado se analisarmos a equação do 2º grau 
em um gráfico por exemplo. 
 Questão 6
Um fio de resistência igual a ʹǡͲ�ȳ é ligada aos 
terminais de uma bateria de 1,5 V de f.e.m. e cuja 
resistência interna vale ݎ ൌ Ͳǡͳ�ȳ. Supondo a 
corrente constante, estimar, para um intervalo de 
tempo de 30 s, as seguintes grandezas: (a) a 
energia química fornecida pela bateria, (b) a 
energia dissipada por efeito Joule no fio, (c) a 
energia dissipada por efeito Joule na bateria. (d) 
Verifique a validade da lei de conservação da 
energia. 
Resolução: 
a) Previamente, vamos encontrar a corrente que 
percorre o circuito: ݅ ൌ ߝܴ ൅ ݎ ֜ ݅ ൌ ͳǡͷʹǡͳܣ 
(6.1) 
Utilizando o resultado de (6.1), teremos para a 
taxa de energia gerada (potência gerada) pela 
bateria: 
௚ܲ ൌ ߝ݅ ֜ ௚ܲ ൌ ͳǡͷ ൬ͳǡͷʹǡͳ൰ ؆ ͳǡͲ͹ͳ�ܹ 
(6.2) 
Logo, a energia química gerada pela bateria será: ܧ௚ ൌ ௚ܲοݐ ൌ ͳǡͲ͹ͳ ή ͵Ͳ ؆ ͵ʹǡͳ�ܬ 
(6.3) 
b) A energia dissipada no fio será: 
ܧ஽ ൌ ܴ݅ଶοݐ ൌ ʹ ή ൬ͳǡͷʹǡͳ൰ଶ ή ͵Ͳ ؆ ͵Ͳǡ͸�ܬ 
(6.4) 
 
c) A energia dissipada no interior da bateria será: 
 ܧௗ ൌ ݎ݅ଶοݐ ൌ Ͳǡͳ ή ൬ͳǡͷʹǡͳ൰ଶ ή ͵Ͳ ൌ ͳǡͷ�ܬ 
(6.5) 
 
d) Utilizando os resultados de (6.3), (6.4) e (6.5), 
teremos: 
 ͵ʹǡͳ ൌ ͵Ͳǡ͸ ൅ ͳǡͷ ׵ ܧ௚ ൌ ܧ஽ ൅ ܧௗ 
(6.6) 
 
 Questão 7
 
Introduz no circuito da figura 7.1 um 
amperímetro de ͲǡͲͷͲ�ȳ de resistência. Qual será 
a variação percentual da corrente devida à 
presença do amperímetro? 
 
 
 
 
 
 
Figura 7.1 
 
Resolução: 
 
A intensidade de corrente neste circuito vale: 
 ݅ ൌ ͶǡͲͲ െ ʹǡͲͲͳǡͲͲ ൅ ʹǡͲͲ ൅ ͷǡͲͲ ൌ ͲǡʹͷͲܣ 
(7.1) 
 
Com a presença do amperímetro (obviamente 
ligado em série com a resistência de ͷȳ) a 
corrente então: 
 ݅ᇱ ൌ ͶǡͲͲ െ ʹǡͲͲͳǡͲͲ ൅ ʹǡͲͲ ൅ ͷǡͲͲ ൅ ͲǡͲͷ ൌ ͲǡʹͶͺܣ 
(7.2) 
 
Assim, a variação percentual será: 
 
 
ʹǡͲͲܸ ͳǡͲͲȳ ͷǡͲͲȳ ͶǡͲͲܸ ܸ ʹǡͲͲȳ 
 
www.profafguimaraes.net 
4 
ͲǡʹͷͲ െ ͲǡʹͶͺͲǡʹͷͲ ൌ ͲǡͲͲͺ ൌ ͲǡͺΨ 
(7.3) 
 Questão 8
O trecho do circuito AB da figura 8.1 absorve 
uma potência ܲ ൌ ͷͲǡͲ�ܹ, sendo percorrido por 
uma corrente ݅ ൌ ͳǡͲ�ܣ, no sentido indicado. (a) 
Qual é a diferença de potencial A e B? (b) Se o 
elemento C não tem resistência interna, qual é 
então a sua f.e.m.? (c) Qual a sua polaridade? 
Figura 8.1 
Resolução: 
a) A potência transferida ao circuito é dada por: ܲ ൌ ݅ ஺ܸ஻ 
(8.1) 
 
Assim, substituindo os valores fornecidos teremos 
para a d.d.p. entre A e B: 
 ͷͲ ൌ ͳ ή ஺ܸ஻ ׵ ஺ܸ஻ ൌ ͷͲ�ܸ 
(8.2) 
b) A d.d.p. total é dada por: 
஺ܸ஻ ൌ ோܸ ൅ ߝ஼ 
(8.3) 
Com o resultado de (8.2), teremos: ͷͲ ൌ ʹ ή ͳ ൅ ߝ஼ ׵ ߝ஼ ൌ Ͷͺ�ܸ 
(8.4) 
c) A polaridade de B é negativa. 
 Questão 9
Calcule a diferença de potencial entre os pontos c 
e d do circuito da figura 9.1, utilizando para isso o 
maio número de percursos diferentes. Considere ߝଵ ൌ ͶǡͲ�ܸǢ�ߝଶ ൌ ͳǡͲ�ܸǢ�ܴଵ ൌ ܴଶ ൌ ͳͲȳ�݁�ܴଷ ൌ ͷȳ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.1 
 
Resolução: 
Previamente se faz necessário conhecer as 
correntes que percorrem o referido circuito. 
Assim, vamos aplicar as leis das Malhas e também 
a lei dos nós. Utilizandoa lei dos nós, teremos: 
 ݅ଵ ൅ ݅ଷ ൌ ݅ଶ 
(9.1) 
 
Agora, utilizando a lei das malhas para a malha da 
direita, percorrendo-a no sentido adba: 
 ߝଵ െ ݅ଵܴଵ ൅ ݅ଷܴଷ ൌ Ͳ 
(9.2) 
 
E para a malha da esquerda, sentido cbdc: 
 െߝଶ െ ݅ଷܴଷ െ ݅ଶܴଶ ൌ Ͳ 
(9.3) 
 
Substituindo os valores nas equações (9.2) e (9.3) 
e também utilizando (9.1), teremos o seguinte 
sistema: 
 ൜ͷ݅ଶ െ ͳͷ݅ଵ ൌ െͶͳͷ݅ଶ െ ͷ݅ଵ ൌ െͳ 
(9.4) 
 
Resolvendo (9.4), teremos: 
 ݅ଵ ൌ ͳͳͶͲܣǢ�݅ଶ ൌ ͳͶܣ 
(9.5) 
 
Substituindo os resultados de (9.5) em (9.1), 
teremos: 
 
ߝǡ ݎ ʹȳ A B C i 
ߝଵ ߝଶ ܴଵ ܴʹ ܴ͵ 
a b c 
d 
݅ͳ ݅͵ ݅ʹ 
 
www.profafguimaraes.net 
5 
݅ଷ ൌ െͳͶܣ 
(9.6) 
O sinal negativo em (9.6), indica que a corrente 
está invertida. Agora, podemos determinar a d.d.p. 
entre os pontos c e d. O primeiro percurso 
fornece: 
௖ܸ ൅ ݅ଶܴଶ ൌ ௗܸ ֜ ௖ܸ െ ௗܸ ൌ െͲǡʹͷܸ 
(9.7) 
O segundo percurso: 
௖ܸ െ ߝଶ ൅ ݅ଷܴଷ ൌ ௗܸ ֜ ௖ܸ െ ௗܸ ൌ ͳ െ ͷͶ ൌ െͲǡʹͷܸ 
(9.8) 
O terceiro percurso: 
௖ܸ െ ߝଶ ൅ ߝଵ െ ݅ଵܴଵ ൌ ௗܸ ֜ ௖ܸ െ ௗܸ ൌ െ͵ ൅ ͳͳͶൌ െͲǡʹͷܸ 
(9.9) 
 Questão 10
A potência dissipada por duas resistências 
ligadas em série é n vezes menor do que a 
potência dissipada pelas mesmas resistências 
quando elas são ligadas em paralelo (com a 
mesma fonte). Conhecendo-se uma das 
resistências ሺܴଵሻ obtenha uma equação para a 
determinação da outra resistência ሺܴଶሻ. Despreze 
a resistência interna da fonte. 
Resolução: 
Para a associação em série, a tensão elétrica é 
dada por: ݅ሺܴଵ ൅ ܴଶሻ ൌ ܸ 
(10.1) 
E a potência dissipada: 
௦ܲ ൌ ݅ଶሺܴଵ ൅ ܴଶሻ 
(10.2) 
Para a associação em paralelo, a potência 
dissipada vale: 
௣ܲ ൌ ܸଶ ൬ ͳܴଵ ൅ ͳܴଶ൰ 
(10.3) 
 
De acordo com a questão, temos a seguinte 
relação entre as potências: 
 ௣ܲ ൌ ݊ ௦ܲ 
(10.4) 
 
Utilizando (10.1), (10.2) e (10.3) em (10.4), 
teremos: 
 ሺܴଵ ൅ ܴଶሻଶܴଵܴଶ ൌ ݊�� ܴଶଶ ൅ ሺʹ െ ݊ሻܴଵܴଶ ൅ ܴଵଶ ൌ Ͳ 
(10.5) 
 
A equação final de (10.5), pode ser resolvida pela 
fórmula de Bhaskara. Assim, temos: 
 ܴଶ ൌ െሺʹ െ ݊ሻܴଵ േඥሺʹ െ ݊ሻଶܴଵଶ െ Ͷܴଵଶʹ ׵ ܴଶ ൌ ቈെሺʹ െ ݊ሻ േ ξ݊ଶ െ Ͷ݊ʹ ቉ܴଵ 
(10.6) 
 
Em que ݊ ൐ Ͷ. 
 
 Questão 11
 
Um fio de cobre maciço possui raio ܽ ൌ ͲǡʹͲ�݉݉. Este fio é encapado por uma 
camada cilíndrica de alumínio de raio externo ܾ ൌ Ͳǡ͵ͷ�݉݉. Na seção reta deste fio composto 
passa uma corrente ݅ ൌ ʹǡͷ�ܣ. O fio é ligado a uma 
fonte cuja tensão de saída é constante e igual a V. 
Determine: (a) a expressão das correntes que 
passam na seção reta de cada metal, (b) os valores 
de ݅ଵ e ݅ଶ, (c) o valor de V supondo que o 
comprimento total do fio seja igual 400 m e que as 
correntes sejam aquelas calculadas no item 
anterior, (d) a resistência equivalente e a 
resistência de cada metal nas condições do item 
(c). 
Resolução: 
a) Tanto o fio de cobre como a capa cilíndrica de 
alumínio, formam uma associação em paralelo de 
resistores. Assim, teremos: 
 
www.profafguimaraes.net 
6 
݅஼௨ ൌ ܸܴ஼௨ �݁�݅஺௟ ൌ ܸܴ஺௟ 
(11.1) 
b) Previamente, determinaremos as resistências 
do fio de cobre e da capa de alumínio. Assim, 
teremos: ܴ஼௨ ൌ ߩ஼௨݈ܣ஼௨ �݁�ܴ஺௟ ൌ ߩ஺௟݈ܣ஺௟ 
(11.2) 
Como se trata de uma associação em paralelo, 
temos: ݅஼௨ܴ஼௨ ൌ ݅஺௟ܴ஺௟ 
(11.3) 
E, além disso, ainda temos: ݅஼௨ ൅ ݅஺௟ ൌ ʹǡͷ 
(11.4) 
As resistividades são respectivamente: ߩ஼௨ ൌ ͳǡ͹ ή ͳͲି଼�ȳ ή ݉ e ߩ஺௟ ൌ ʹǡͺ ή ͳͲି଼�ȳ ή ݉. 
Assim, utilizando os valores das resistividades, os 
respectivos raios juntamente com (11.2), então 
(11.3) se torna: ݅஼௨ ή ͳǡ͹Ͳǡʹଶ ൌ ݅஺௟ ή ʹǡͺͲǡ͵ͷଶ െ Ͳǡʹଶ�� ׵ ݅஼௨ ൌ ͵͵ǡͻͶʹǡͷ ή ݅஺௟ 
(11.5) 
Utilizando o resultado de (11.5) em (11.4), 
teremos: ൬͵͵ǡͶ ൅ ͶʹǡͷͶʹǡͷ ൰ ݅஺௟ ൌ ʹǡͷ�� ׵ ݅஺௟ ൌ ͳǡ͵ͻ�ܣ 
(11.6) 
Utilizando o resultado de (11.6) em (11.5), 
teremos: ݅஼௨ ൌ ͳǡͳͳ�ܣ 
(11.7) 
c) Vamos determinar pelo menos uma das 
resistências. Por exemplo, a resistência do fio de 
cobre. Logo, de (11.2): 
 ܴ஼௨ ൌ ߩ஼௨݈ߨܽଶ � ܴ஼௨ ൌ ͳǡ͹ ή ͳͲି଼ ή ͶͲͲ͵ǡͳͶ ή ሺͲǡʹ ή ͳͲିଷሻଶ ׵ ܴ஼௨ ؆ ͷ͵ǡͻ͹�ȳ 
(11.8) 
 
Logo, utilizando os resultados de (11.7) e (11.8), a 
d.d.p. para o fio de cobre será: 
 ܸ ൌ ͷ͵ǡͻ͹ ή ͳǡͳͳ ؆ ͷͻǡͻ�ܸ 
(11.9) 
 
d) A resistência do cilindro de alumínio pode ser 
obtida por meio de (11.2) ou como se segue: 
 ܴ஺௟ ൌ ܸ݅஺௟ 
(11.10) 
 
Como os resultados de (11.6) e (11.9), teremos 
para (11.10): 
 ܴ஺௟ ؆ Ͷ͵ǡͳ�ȳ 
(11.11) 
 
A resistência equivalente será: 
 ܴ௘௤ ൌ ܴ஼௨ ή ܴ஺௟ܴ஼௨ ൅ ܴ஺௟ ׵ ܴ௘௤ ؆ ʹͶ�ȳ 
(11.12) 
 
 Questão 12
 
Usando somente dois resistores, 
separadamente, em série ou em paralelo, 
desejamos obter resistências de 3, 4, 12 e 16 Ω. 
Que valores devem ter as resistências desses dois 
resistores? 
Resolução: 
 
Quando dois resistores são associados, para 
obter o maio valor da resistência equivalente os 
resistores devem estar associados em série. Logo: 
 
 
www.profafguimaraes.net 
7 
ݎଵ ൅ ݎଶ ൌ ͳ͸ 
(12.1) 
Para se obter um valor para a resistência 
equivalente menor do que o menor valor das 
resistências associadas, deve-se efetuar uma 
associação em parelo. Logo: ݎଵ ή ݎଶݎଵ ൅ ݎଶ ൌ ͵ 
(12.2) 
Utilizando (12.1) em (12.2), teremos: ݎଵ ή ݎଶ ൌ Ͷͺ 
(12.3) 
Agora é achar dois números que somados 
resultam em 16 e multiplicados resultam em 48. 
Os canditados são 12 e 4. Mas podemos encontrar 
uma equação para isso. Utilizando (12.1) em 
(12.3), teremos: ݎଶሺͳ͸ െ ݎଶሻ ൌ Ͷͺ� െݎଶଶ ൅ ͳ͸ݎଶ െ Ͷͺ ൌ Ͳ 
(12.4) 
Agora é só resolver com auxílio da fórmula de 
Bhaskara. 
 Questão 13
Tome como referência a figura 13.1. Considere 
os valores: ߝଶ ൌ ͷߝଵǡ ܴଵ ൌ ܴଶ ൌ Ͷ�ȳǡ ܴଷ ൌ ͸�ȳǡߝଵ ൌ ͳͲ�ܸ. Calcule: (a) a potência consumida em 
cada resistor, (b) a potência total consumida no 
circuito, (c) a potência total fornecida ao circuito. 
(d) Verifique qual das duas baterias fornece e qual 
das duas consome energia; verifique se existe 
conservação da potência total. 
Figura 13.1 
Resolução: 
a) Para calcular a potência em cada resistor, 
devemos conhecer previamente as intensidades 
de correntes para cada resistor. Assim, 
utilizaremos as leis de Kirchhoff. Da lei dos nós, 
temos: 
 ݅ଵ ൌ ݅ଶ ൅ ݅ଷ 
(13.1) 
 
Da lei das malhas: 
Malha da esquerda 
 ߝଵ െ ݅ଷܴଷ െ ݅ଵܴଵ ൌ Ͳ 
(13.2) 
 
Malha da direita 
 ߝଶ െ ݅ଶܴଶ െ ݅ଵܴଵ ൌ Ͳ 
(13.3) 
 
Substituindo os dados numéricos nas equações 
(13.2) e (13.3), teremos respectivamente: 
 Ͷ݅ଶ ൅ ͳͲ݅ଷ ൌ ͳͲ 
(13.4) 
 ݅ଵ ൅ ݅ଶ ൌ ͷͲͶ 
(13.5) 
 
Utilizando (13.1) em (13.4) e (13.5), teremos o 
seguinte sistema de equações: 
 ൝Ͷ݅ଶ ൅ ͳͲ݅ଷ ൌ ͳͲʹ݅ଶ ൅ ݅ଷ ൌ ͷͲͶ 
(13.6) 
 
Temos como soluções de (13.6): 
 ݅ଶ ൌ ʹ͵Ͳ͵ʹ �ܣǢ�݅ଷ ൌ െͳͷͺ �ܣ 
(13.7) 
 
De (13.1) teremos: 
 ݅ଵ ൌ ͳ͹Ͳ͵ʹ �ܣ 
(13.8) 
ߝଵ ߝଶ 
ܴଷ ܴʹ ܴଵ ݅ଵ ݅ଶ ݅ଷ 
 
www.profafguimaraes.net 
8 
Assim, a potência em cada resistor será: 
ଵܲ ൌ ܴଵ݅ଵଶ ؆ ͳͳʹǡͺͻ�ܹଶܲ ൌ ܴଶ݅ଶଶ ؆ ʹͲ͸ǡ͸Ͷ�ܹଷܲ ൌ ܴଷ݅ଷଶ ؆ ʹͳǡͳͲ�ܹ 
(13.9) 
b) A bateria 1 recebe energia, pois a corrente 3 
está invertida. A potência da bateria 1 vale: 
௕ܲଵ ൌ ߝଵ݅ଷ ؆ ͳͺǡ͹ͷ�ܹ 
(13.10) 
Assim, juntando os resultados de (13.9) e (13.10), 
temos para a potência total consumida: 
௧ܲ௖ ؆ ͵ͷͻǡ͵ͺ�ܹ 
(13.11) 
c) Então, a bateria 2 fornece energia para o 
circuito, a uma taxa dada por: 
௙ܲ ൌ ߝଶ݅ଶ ؆ ͵ͷͻǡ͵ͺ�ܹ 
(13.12) 
d) Vide itens “b” e “c”. 
 Questão 14
Considere os seguintes valores na figura 14.1. ܴଵ ൌ ܴଶ ൌ ʹ�ȳǡ ߝଵ ൌ Ͷ�ܸǡ ߝଶ ൌ ͸�ܸǡ ߝଷ ൌ ͳʹ�ܸ. (a) 
Calcule o valor da potência de cada bateria, 
indicando se a bateria fornece ou se consome 
energia. (b) Ache a potência dissipada por efeito 
Joule em cada resistor. (c) Verifique se existe 
conservação da potência total. 
Figura 14.1 
Resolução: 
a) Vamos previamente determinar os valores das 
intensidades das correntes do circuito. E para isso 
vamos recorrer às leis de Kirchhoff. Da lei dos nósteremos: 
 ݅ଶ ൌ ݅ଵ ൅ ݅ଷ 
(14.1) 
 
Da lei das malhas: 
 
· Malha maior 
 ߝଵ െ ߝଶ െ ߝଷ െ ݅ଶܴଶ ൌ Ͳ 
(14.2) 
 
· Malha menor 
 ߝଶ െ ݅ଵܴଵ ൌ Ͳ 
(14.3) 
 
Substituindo os dados numéricos em (14.2) e 
(14.3), teremos: 
 ݅ଵ ൌ ͵�ܣǡ ݅ଶ ൌ െ͹�ܣ�݁�݅ଷ ൌ െͳͲ�ܣ 
(14.4) 
 
Como as correntes 2 e 3 estão invertidas, então as 
baterias 2 e 3 fornecem energias e a bateria 1 
consome. Assim, teremos: 
 ௕ܲଵ ൌ ߝଵ݅ଶ ൌ ʹͺ�ܹ௕ܲଶ ൌ ߝଶ݅ଷ ൌ ͸Ͳ�ܹ௕ܲଷ ൌ ߝଷ݅ଶ ൌ ͺͶ�ܹ 
(14.5) 
 
b) As potências dissipadas: 
 ଵܲ ൌ ܴଵ݅ଵଶ ൌ ͳͺ�ܹଶܲ ൌ ܴଶ݅ଶଶ ൌ ͻͺ�ܹ 
(14.6) 
 
c) Para conferir se houve conservação da 
potência, tomamos a soma das potências 
fornecidas e das potências consumidas: 
 ͸Ͳ ൅ ͺͶ ൌ ʹͺ ൅ ͳͺ ൅ ͻͺ ֜ ௙ܲ ൌ ௖ܲ 
(14.7) 
 
 Questão 15
 
Um amperímetro é introduzido no ramo do 
circuito da figura 15.1 que contém o resistor ܴଷ. 
ߝଵ 
ܴଵ 
ܴʹ ߝʹ ߝ͵ ߝ݅ଵ 
݅ʹ ݅͵ 
 
www.profafguimaraes.net 
9 
(a) Qual o valor indicado pelo aparelho se ߝ ൌ ͺǡͲ�ܸǡ ܴଵ ൌ ʹǡͲ�ȳǡ ܴଶ ൌ ͶǡͲ�ȳ�‡�ܴଷ ൌ ͸ǡͲ�ȳ? (b) 
Suponha, agora que trocamos de posição o 
amperímetro e a fonte de f.e.m., de modo que o 
primeiro passa a ocupar o lugar do segundo e 
vice-versa. Mostre que o amperímetro ainda 
marca o mesmo valor da corrente. Esta relação de 
reciprocidade é válida para qualquer circuito que 
contenha uma única fonte de f.e.m. 
Figura 15.1 
Resolução: 
a) Previamente vamos determinar a corrente do 
circuito. Para isso, vamos determinar a resistência 
equivalente do circuito. Os resistores ܴଶ�݁�ܴଷ 
estão associados em paralelo (considerando que o 
amperímetro é ideal, ܴ஺ ൌ Ͳ). Assim, para essa 
associação teremos: ܴ௘௤ଶǡଷ ൌ ܴଶܴଷܴଶ ൅ ܴଷ ൌ ʹǡͶ�ȳ 
(15.1) 
O resistor ܴଵ está associado em série com ܴ௘௤ଶǡଷ. 
Assim, para o circuito a resistência equivalente 
será: ܴ௘௤ ൌ ܴଵ ൅ ܴ௘௤ଶǡଷ ൌ ͶǡͶ�ȳ 
(15.2) 
A corrente na bateria vale então: ݅ ൌ ܴߝ௘௤ ؆ ͳǡͺʹ�ܣ 
(15.3) 
A d.d.p. para a associação dos resistores ܴଶ�݁�ܴଷ 
vale: 
ଶܸǡଷ ൌ ܴ௘௤ଶǡଷ݅ ؆ ͶǡͶ�ܸ 
(15.4) 
Assim, a corrente no amperímetro será: 
݅஺ ൌ ଶܸǡଷܴଷ ؆ Ͳǡ͹͵�ܣ 
(15.5) 
 
b) Trocando a posição do amperímetro com a 
posição da fonte, os resistores ܴଵ�݁�ܴଶ estarão 
associados em paralelo. A resistência equivalente 
para essa associação será: 
 ܴ௘௤ଵǡଶ ൌ ܴଵܴଶܴଵ ൅ ܴଶ ؆ ͳǡ͵͵�ȳ 
(15.6) 
 
O resistor ܴଷ está associado em série com ܴ௘௤ଵǡଶ. 
Assim, a resistência equivalente do circuito será: 
 ܴ௘௤ ൌ ܴଷ ൅ ܴ௘௤ଵǡଶ ൌ ͹ǡ͵͵�ȳ 
(15.7) 
 
A corrente do circuito será: 
 ݅ ൌ ܴߝ௘௤ ؆ ͳǡͲͻ�ܣ 
(15.8) 
 
Em que ܴ௘௤ é dado por (15.7). A d.d.p. para a 
associação dos resistores ܴଵ�݁�ܴଶ, será: 
 ଵܸǡଶ ൌ ܴ௘௤ଵǡଶ݅ ؆ ͳǡͶͷ�ܸ 
(15.9) 
 
Logo, a corrente no amperímetro será: 
 ݅஺ ൌ ଵܸǡଶܴଵ ؆ Ͳǡ͹͵�ܣ 
(15.10) 
 
 Questão 16
 
A Ponte de Wheatstone. A resistência variável 
da figura 16.1 pode ser ajustada de modo que os 
pontos a e b tenham exatamente o mesmo 
potencial. (Verifique essa situação ligando 
momentaneamente um medidor sensível entre os 
pontos a e b. Não havendo diferença de potencial, 
não haverá deslocamento no ponteiro do 
medidor.) Mostre que, após essa ajustagem, a 
seguinte relação torna-se verdadeira 
 
ߝ ܴଷ ܴʹ ܴଵ A 
 
www.profafguimaraes.net 
10 
ܴ௫ ൌ ܴ௦ ோమோభ. 
 
A resistência ሺܴ௫ሻ de um resistor pode ser medida 
por este processo (chamado de Ponte de 
Wheatstone), em função das resistências ሺܴଵǡ ܴଶ�݁�ܴ௦ሻ de outros resistores calibrados 
anteriormente. 
Figura 16.1 
Resolução: 
A d.d.p. entre x e a é dada por: 
௫ܸ െ ௔ܸ ൌ ܴଵ ή ݅ଵ 
(16.1) 
A d.d.p. entre x e b é dada por: 
௫ܸ െ ௕ܸ ൌ ܴ௦ ή ݅ଶ 
(16.2) 
Supondo que ௔ܸ௕ ൌ Ͳ, temos: 
௫ܸ െ ௔ܸ ൌ ௫ܸ െ ௕ܸ� ׵ ܴଵ ή ݅ଵ ൌ�ܴ௦ ή ݅ଶ 
(16.3) 
De forma semelhante teremos: 
௔ܸ െ ௬ܸ ൌ ܴଶ ή ݅ଵ 
(16.4) 
E 
௕ܸ െ ௬ܸ ൌ ܴ௫ ή ݅ଶ 
(16.5) 
Como ௔ܸ௕ ൌ Ͳ: 
ܴଶ ή ݅ଵ ൌ ܴ௫ ή ݅ଶ 
(16.6) 
 
De (16.3) e (16.6), teremos: 
 ܴ௫ܴ௦ ൌ ܴଶܴଵ �� ׵ ܴ௫ ൌ ܴ௦ ܴଶܴଵ 
(16.7) 
 
 Questão 17
 
Mostre que se os pontos a e b da figura 16.1 
forem ligados por um fio de resistência r, este será 
percorrido por uma corrente igual a 
 ݅ ൌ ఌሺோೞିோೣሻሺோାଶ௥ሻሺோೞାோೣሻାଶோೞோೣ, 
 
onde fizemos ܴ௦ ൌ ܴ௫ ൌ ܴǡ ܴ଴ ൌ Ͳ e ߝ é o valor da 
f.e.m. da bateria. 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 17.1 
 
Aplicando a lei das malhas no circuito da figura 
17.1, teremos: 
 
Malha xbyx: 
 ߝ െ ݅ଶܴ௦ െ ሺ݅ଶ ൅ ݅ሻܴ௫ ൌ Ͳ 
(17.1) 
 
Malha xabx: 
 െ݅ଵܴଵ െ ݅ݎ ൅ ݅ଶܴ௦ ൌ Ͳ 
(17.2) 
 
Malha ayba: 
 
 
ߝ 
ܴ௫ 
ܴʹ ܴଵ 
ܴͲ 
ܴݏ 
a 
b 
x y 
ߝ 
ܴ௫ 
ܴʹ ܴଵ 
ܴͲ 
ܴݏ 
a 
b 
x y 
݅ଵ ݅ଶ ݅௫ ݅ ݅ݎ 
 
www.profafguimaraes.net 
11 
െሺ݅ଵ െ ݅ሻܴଶ ൅ ሺ݅ଶ ൅ ݅ሻܴ௫ ൅ ݅ݎ ൌ Ͳ 
(17.3) 
Malha xayx: ߝ െ ݅ଵܴଵ െ ሺ݅ଵ െ ݅ሻܴଶ ൌ Ͳ 
(17.4) 
Da equação (17.1), temos: ݅ଶ ൌ ߝ െ ܴ݅௫ܴ௦ ൅ ܴ௫ 
(17.5) 
E da equação (17.4): ݅ଵ ൌ ߝ ൅ ܴ݅ʹܴ 
(17.6) 
Em que ܴଵ ൌ ܴଶ ൌ ܴ. Agora, utilizando (17.5) e 
(17.6) em (17.2), teremos: െ൤ߝ ൅ ܴ݅ʹܴ ൨ܴ െ ݅ݎ ൅ ൤ߝ െ ܴ݅௫ܴ௦ ൅ ܴ௫൨ ܴ௦ ൌ Ͳ 
(17.7) 
Após algumas manipulações algébricas teremos: ݅ ൌ ߝሺܴ௦ െ ܴ௫ሻሺܴ ൅ ʹݎሻሺܴ௦ ൅ ܴ௫ሻ ൅ ʹܴ௦ܴ௫ 
(17.8) 
 Questão 18
Considere a questão 17. Suponha que todas as 
cinco resistências sejam desiguais. Considere ܴ଴ ൌ Ͳ e calcule a resistência equivalente entre os 
pontos x e y da figura 17.1. 
Resolução: 
Vamos aproveitar as equações da questão anterior 
sendo que os resultados (17.5) e (17.6) serão 
dados respectivamente por: ݅ଶ ൌ ߝ െ ܴ݅ସܴଷ ൅ ܴସ 
(18.1) 
E 
݅ଵ ൌ ߝ ൅ ܴ݅ଶܴଵ ൅ ܴଶ 
(18.2) 
 
Em que ܴ௦ ൌ ܴଷ e ܴ௫ ൌ ܴସ. Assim, a expressão 
(17.8) toma a seguinte forma: 
 ݅ ൌ ߝሺܴଶܴଷ െ ܴସܴଵሻܴଵܴଶሺܴଷ ൅ ܴସሻ ൅ ݎሺܴଵ ൅ ܴଶሻሺܴଷ ൅ ܴସሻ ൅ ሺܴଵ ൅ ܴଶሻܴଷܴସ 
(18.3) 
 
Desta forma, podemos obter a corrente total do 
circuito ሺ݅௫ሻ: 
 ݅௫ ൌ ݅ଵ ൅ ݅ଶ 
(18.4) 
 
Chamamos de resistência equivalente, aquela que 
ao ser conectada a bateria a mesma corrente total 
se estabelece no circuito: 
 ܴ௘௤ ൌ ݅ߝ௫ 
(18.5) 
 
Assim, utilizando (18.1), (18.2), (18.3) e (18.4) em 
(18.5), teremos: 
 ܴ௘௤ ൌ ሺܴଵ ൅ ܴଶሻሺܴଷ ൅ ܴସሻሺܴଵ ൅ ܴଶሻሺͳ െ ܣܴସሻ ൅ ሺܴଷ ൅ ܴସሻሺͳ ൅ ܣܴଶሻ 
(18.6) 
 
Em que 
 ܣ ൌ ሺܴଶܴଷ െ ܴଵܴସሻܴଵܴଶሺܴଷ ൅ ܴସሻ ൅ ݎሺܴଵ ൅ ܴଶሻሺܴଷ ൅ ܴସሻ ൅ ܴଷܴସሺܴଵ ൅ ܴଶሻ 
(18.7) 
 
 Questão 19
 
Medida da resistência. Um voltímetro 
(resistência interna ܴ௏) e um amperímetro 
(resistência interna ܴ஺) são ligados a um resistor a 
fim de medir o valor R da sua resistência como 
mostra a figura 19.1. O valor da resistência é 
obtido de ܴ ൌ ܸ ݅Τ , onde V é dado pela leitura do 
voltímetro e i é o valor da corrente que atravessa 
o resistor R. Uma fração da corrente i’ registrada 
pelo amperímetro passa através do voltímetro, de 
modo que o quociente ܸ ݅ԢΤ entre as leituras dá 
 
www.profafguimaraes.net 
12 
apenas um valor aparente R’ para a resistência. 
Mostre que R e R’ estão relacionados por ͳܴ ൌ ͳܴԢ െ ͳܴ௏ 
 
Note-se que se ܴ௏ ب ܴ, então ܴ ؆ ܴԢ. 
Figura 19.1 
Resolução: 
A corrente que percorre o amperímetro é dada 
por: ݅஺ ൌ ݅ோ ൅ ݅௏ 
(19.1) 
Em que ݅ோ é a corrente que atravessa o resistor e ݅௏ é a corrente que atravessa o voltímetro. O 
resistor e o voltímetro estão associados em 
paralelo, portanto, estão sob a mesma d.d.p., a 
saber, V. Assim, definimos a resistência R’ por: ܸ݅஺ ൌ ܴԢ 
(19.2) 
No entanto, a resistência R deve ser dada por: ܸ݅ோ ൌ ܴ 
(19.3) 
Substituindo (19.2) e (19.3) em (19.1), teremos: ܸܴᇱ ൌ ܸܴ ൅ ܸܴ௏ �� ׵ ͳܴ ൌ ͳܴԢ െ ͳܴ௏ 
(19.4) 
Em que ݅௏ ൌ ௏ோೇ. 
 Questão 20
 
Medida da resistência. Numa medida de 
resistência, o amperímetro e o voltímetro também 
podem ser ligados na forma indicada pela figura 
20.1. Aqui, novamente, o quociente entre as 
leituras dos instrumentos dá apenas o valor de R’ 
da resistência. Mostre que, agora, 
 ܴ ൌ ܴᇱ െ ܴ஺ 
 
Onde ܴ஺ é a resistência do amperímetro. Note-seque temos, outra vez, ܴ ؆ ܴԢ, quando ܴ஺ ا ܴ. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 20.1 
 
Resolução: 
 
A d.d.p. medida pelo voltímetro é dada por: 
 ܸ ൌ ோܸ ൅ ஺ܸ 
(20.1) 
 
Em que ோܸ é a d.d.p. no resistor, dada por: 
 ோܸ ൌ ݅஺ܴ 
(20.2) 
 
A d.d.p. no amperímetro, ஺ܸ é dada por: 
 ஺ܸ ൌ ݅஺ܴ஺ 
(20.3) 
 
A resistência R’ é definida de acordo com (19.2). 
Assim, substituindo (19.2), (20.2) e (20.3) em 
(20.1), teremos: 
 ݅஺ܴᇱ ൌ ݅஺ܴ஺ ൅ ݅஺ܴ�� ׵ ܴ ൌ ܴᇱ െ ܴ஺ 
(20.4) 
 
 
 
 
ߝ A 
V V
 
ܴ 
ߝ A V V
 ܴ 
 
www.profafguimaraes.net 
13 
 Questão 21
Um resistor de ʹͲ�݇ȳ e um capacitor estão 
ligados em série, sendo-lhes subitamente aplicado 
um potencial de 12 V. Sabendo-se que o potencial 
através do capacitor sobe a 5 V em ͳǡͲ�ߤݏ, qual é a 
capacitância do capacitor? 
Resolução: 
Com a solução da equação diferencial (veja, por 
exemplo, Física III – Sears e Zemansky 10ª 
edição), temos para a d.d.p. nos terminais do 
capacitor: ܸ ൌ ߝ ൬ͳ െ ݁ି ௧ோ஼൰ 
(21.1) 
Substituindo os dados teremos: ͷ ൌ ͳʹቆͳ െ ݁ିଵ଴షలோ஼ ቇ�� ݁ିଵ଴షలோ஼ ൌ Ͳǡͷͺ� െͳͲି଺ܴܥ Ž ݁ ൌ Ž Ͳǡͷͺ�� ͳͲି଺ ൌ ͲǡͷͶ ή ʹͲ ή ͳͲଷܥ ׵ ܥ ؆ ͻǡ͵ ή ͳͲିଵଵܨ 
(21.2) 
 Questão 22
Tome como referência a figura 22.1. Suponha 
que o capacitor esteja carregado com uma carga 
máxima ݍ଴; no instante t = 0 a chave S é movida do 
terminal a para o terminal b. Mostre que toda 
energia elétrica inicial ܷ଴ é transformada em calor 
por efeito Joule. 
Figura 22.1 
Resolução: 
Na descarga do capacitor, a expressão da carga 
armazenada nele é dada por: 
ݍሺݐሻ ൌ ݍ଴݁ି ௧ோ஼ 
(22.1) 
 
A expressão da energia armazenada no capacitor é 
dada por: 
 ܷ ൌ ݍଶʹܥ 
(22.2) 
 
Assim, utilizando (22.2) em (22.1), teremos: 
 ܷ ൌ ܷ଴݁ିଶ௧ோ஼ 
(22.3) 
 
Em que ܷ଴ ൌ ௤బమଶ஼. 
 
Assim, tomando o limite de (22.3), quando o 
tempo tende ao infinito, teremos: 
 Ž‹௧՜ஶܷ ൌ ܷ଴ Ž‹௧՜ஶ ݁ିଶ௧ோ஼ ൌ Ͳ 
(22.4) 
 
A energia cedida pelo capacitor foi aproveitada 
pelo resistor em seu próprio aquecimento. 
Podemos também encontrar a potência dissipada 
pelo resistor. De (22.1), teremos para a corrente 
no resistor: 
 ݅ ൌ ݀ݍ݀ݐ ൌ െ ݍ଴ܴܥ ݁ି ௧ோ஼ 
(22.5) 
 
Utilizando (22.5), teremos para a potência 
dissipada: 
 ܲ ൌ ܴ݅ଶ ൌ ݍ଴ଶܴܥଶ ݁ିଶ௧ோ஼ ൌ ʹܴܥ ܷ 
(22.6) 
 
Tomando o limite de (22.6), utilizando (22.4), 
teremos: 
 Ž‹௧՜ஶܲ ൌ ʹܴܥ Ž‹௧՜ஶܷ ൌ Ͳ 
(22.7) 
 
 
ߝ 
ܴ 
ܥ 
a 
b 
 
www.profafguimaraes.net 
14 
 Questão 23
Sejam ݅ଵǡ ݅ଶǡ ݅ଷǡ ଵܸǡ ଶܸ�‡� ଷܸ, respectivamente, as 
correntes e diferenças de potencial através dos 
resistores ܴଵǡ ܴଶ�‡�ܴଷ do circuito da figura 23.1. 
Seja também ஼ܸ a diferença de potencia entre as 
placas do capacitor C. (a) Faça um gráfico que 
descreva, qualitativamente, a dependência com o 
tempo das grandezas acima, a partir do momento 
em que é ligada a chave S. (b) Depois de 
permanecer ligada durante várias constantes de 
tempo, a chave S é desligada. Faça um novo gráfico 
qualitativo da variação com o tempo das mesmas 
grandezas, a partir do momento em que S é 
desligada. 
 
Figura 23.1 
Resolução: 
a) Imediatamente após a ligação, podemos 
considerar o capacitor como um condutor comum. 
Assim, teremos uma resistência equivalente dada 
por: ܴ௘௤ ൌ ܴଵ ൅ ܴଶܴଷܴଶ ൅ ܴଷ 
(23.1) 
Com isso, a corrente fornecida pela bateria será: ܫଵ ൌ ܴߝ௘௤ 
(23.2) 
Depois de certo tempo, várias vezes a constante 
de tempo capacitiva, o capacitor está 
praticamente carregado e a corrente no resistor 3 
é praticamente nula. Assim a resistência 
equivalente do circuito será: ܴԢ௘௤ ൌ ܴଵ ൅ ܴଶ 
(23.3) 
E desta forma, a corrente fornecida pela bateria 
será: 
 ܫԢଵ ൌ ߝܴԢ௘௤ 
(23.4) 
 
Em que ܫଵ ൐ ܫԢଵ. Logo, teremos para os gráficos do 
resistor 1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para o resistor 2, imediatamente após a ligação, 
teremos: 
 ܫଶ ൌ ܴଷܫଷܴଶ 
(23.5) 
 
E 
 ܫଵ ൌ ܫଶ ൅ ܫଷ 
(23.6) 
 
Utilizando (23.6) em (23.5), teremos: 
 
 
ߝ ܴଵ ܥ 
S 
ܴʹ ܴ͵ 
݅ଵ ܫଵ ܫԢଵ 
ݐ Ͳ 
ଵܸ ܴଵܫଵ ܴଵܫԢଵ 
ݐ Ͳ 
 
www.profafguimaraes.net 
15 
ܫଶ ൌ ܴଷܫଵܴଶ ൅ ܴଷ 
(23.7) 
E ܫଷ ൌ ܴଶܫଵܴଶ ൅ ܴଷ 
(23.8) 
Em que ܫଵ é dada por (23.2). Pode-se observar que ܫଵ ൐ ܫଶ�‡�ܫଵ ൐ ܫଷ. Após o intervalo de tempo de 
carga do capacitor supracitado, teremos: ܫԢଶ ՜ ܫԢଵ�‡��ܫԢଷ ՜ Ͳ 
(23.9) 
Então teremos para os resistores 2 e 3: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E para o capacitor, temos que inicialmente a 
tensão é nula. E para o intervalo de tempo várias 
vezes a constante de tempo capacitiva, a tensão 
tende para a tensão do resistor 2. Assim, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Desligando a chave, teremos para o resistor 1, ݅ଵ ൌ Ͳ�‡� ଵܸ ൌ Ͳ. Agora, levando em consideração 
que o capacitor se encontra carregado, a corrente 
fornecida por ele será: 
 ݅஼ ൌ െ ܴଶܫԢଵܴ௘௤ଶǡଷ ݁ି ௧ோ೐೜మǡయ஼ 
(23.10) 
 
Em que ܴ௘௤ଶǡଷ ൌ ܴଶ ൅ ܴଷ. O sinal negativo indica 
que a corrente fornecida pelo capacitor tem o 
݅ଶ ܫԢଵ ܫଶ 
ݐ Ͳ 
ଶܸ ܴଶܫԢଵ ܴଶܫଶ 
ݐ Ͳ 
݅ଷ 
ܫଷ 
ݐ Ͳ 
ଷܸ 
ܴଷܫଷ 
ݐ Ͳ 
஼ܸ 
ଶܸ 
ݐ Ͳ 
 
www.profafguimaraes.net 
16 
sentido invertido. Assim, para os resistores 2 e 3 
teremos: 
Obs.: Só por uma questão de coerência com o sinal 
da corrente, construiu-se o gráfico com a curva 
abaixo do eixo dos tempos. 
 
Agora, para a tensão (d.d.p.) para os resistores 2 e 
3, teremos: 
Também aqui foram construídos os gráficos com 
as curvas abaixo do eixo dos tempos. 
 Questão 24
No circuito da figura 24.1, temos ߝ ൌͳʹͲͲܸǡ ܥ ൌ ͸ǡͷͲߤܨ�‡�ܴଵ ൌ ܴଶ ൌ ܴଷ ൌ ͹ǡ͵ͲݔͳͲହ�ȳ. 
Com o capacitor C completamente descarregado, a 
chave S é fechada, repentinamente (t = 0). (a) 
Determinar, para t = 0 e t = ∞, as correntes 
através de cada resistor. (b) Representar 
qualitativamente num gráfico a queda de 
potencial ଶܸ através de ܴଶ desde t = 0 até t = ∞. (c) 
Quais são os valores numéricos de ଶܸ em t = 0 e t = 
∞? (d) Dar o significado físico de “t = ∞” e 
estabelecer um limite inferior aproximado, mas 
significativo (em segundos), para “t = ∞”, neste 
caso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 24.1 
 
Resolução: 
 
a) Essa questão é semelhante à questão anterior. 
Para t = 0, o capacitor, estando descarregado, 
funciona como um condutor comum. Sendo assim, 
a resistência equivalente é dada por (23.1). 
Substituindo os valores, teremos para a 
resistência equivalente do circuito: 
 ܴ௘௤ ൌ ͳͲǡͻͷ ή ͳͲହ�ȳ 
(24.1) 
 
Com isso, a corrente fornecida pela bateria será: 
 ݅ଵ ൌ ܴߝ௘௤ ؆ ͳǡͳ�݉ܣ 
(24.2) 
 
Que é a corrente que percorre o resistor 1. Para os 
resistores 2 e 3, como são idênticos: 
 ݅ଶ ൌ ݅ଷ ൌ Ͳǡͷͷ�݉ܣ 
(24.3) 
 
݅ଶǡ ݅ଷ 
݅஼ ݐ Ͳ 
ଶܸ 
ܴଶ݅஼ ݐ Ͳ 
ଷܸ 
ܴଷ݅஼ ݐ Ͳ 
ߝ ܴଵ 
ܥ 
S 
ܴʹ ܴ͵ 
 
www.profafguimaraes.net 
17 
Agora para t = ∞, a resistência equivalente será 
dada por (23.3), ou seja: ܴԢ௘௤ ൌ ͳͶǡ͸ ή ͳͲହȳ 
(24.4) 
Logo, a corrente fornecida pela bateria será: ݅Ԣଵ ൌ ߝܴԢ௘௤ ؆ Ͳǡͺʹ�݉ܣ 
(24.5) 
Que também será a corrente do resistor 2. Como o 
capacitor estará carregado, a corrente no resistor 
3 será nula. 
b) e c)Utilizando os resultados de (24.3) e (24.5), 
teremos: 
ଶܸ ൌ ܴଶ݅ଶ ൌ ͶͲͳǡͷ�ܸ�݁�ܸԢଶ ൌ ܴଶ݅Ԣଶ ൌ ͷͻͺǡ͸�ܸ 
(24.6) 
d) Esse tempo é o esperado para uma carga total 
do capacitor. O limite inferior será a constante de 
tempo capacitiva RC. Sabemos que a equação para 
a carga desse capacitor é dada por: ݍ ൌ ܥ ଶܸ ൬ͳ െ ݁ି ௧ோ஼൰ 
(24.7) 
Então a corrente no resistor 3 é dada por: ݅ଷ ൌ ݀ݍ݀ݐ ൌ ܥ ଶܸܴܥ ݁ି ௧ோ஼ 
(24.8) 
Para t= 0, teremos: 
݅ଷ ൌ Ͳǡͷͷ ή ͳͲିଷ�ܣ 
(24.9) 
 
Assim, de (24.8), utilizando (24.6) e (24.9), 
teremos: 
 Ͳǡͷͷ ή ͳͲିଷ ൌ ͸ǡͷ ή ͳͲି଺ ή ͶͲͳǡͷܴܥ �� ׵ ܴܥ ؆ ͹ǡͳʹ�ݏ 
(24.10) 
 
 Questão 25
 
Malha infinita. A rede com os resistores ܴଵ e ܴଶ 
indicados na figura 25.1 se estende até o infinito 
pelo lado direito. Prove que a resistência total ்ܴ 
dessa rede infinita é dada por: 
 ்ܴ ൌ ܴଵ ൅ඥܴଵଶ ൅ ʹܴଵܴଶ. 
 
(Dica: Uma vez que a rede se estende até o 
infinito, a resistência da rede situada à direita dos 
pontos c e d também é igual a ்ܴ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 25.1 
 
Resolução: 
Um problema semelhante foi resolvido em: 
Questões de eletricidade 6 em ensino médio 
exercícios resolvidos. A resolução é idêntica ao 
referido caso. 
Seja a resistência equivalente entre os 
terminais c e d igual a ்ܴ . O fato de se adicionar 
aos terminais c e d um ramo à esquerda com os 
terminais a e b, não deve oferecer nenhuma 
mudança significativa, ou seja, a resistência 
equivalente entre os terminais a e b também será ்ܴ . Assim poderemos escrever: 
 
 
ଶܸሺܸሻ ͷͻͺǡ͸ ͶͲͳǡͷ 
ݐሺݏሻ Ͳ ܴଶ 
ܴଵ 
ܴଶ ܴଵ 
ܴଵ 
ܴଵ 
ܴଵ 
ܴଵ 
a 
b 
c 
d 
. . . 
οݔ 
 
www.profafguimaraes.net 
18 
்ܴ ൌ ʹܴଵ ൅ ܴଶ ή ்ܴܴଶ ൅ ்ܴ 
(25.1) 
Resolvendo a equação (25.1), teremos: ்ܴሺܴଶ ൅ ்ܴሻ ൌ ʹܴଵሺܴଶ ൅ ்ܴሻ ൅ ܴଶ்ܴ �� ܴଶ் െ ʹܴଵ்ܴ െ ʹܴଵܴଶ ൌ Ͳ 
(25.2) 
Resolvendo a última equação de (25.2), por 
Bhaskara, teremos: ்ܴ ൌ ܴଵ േටܴଵଶ ൅ ʹܴଵܴଶ 
(25.3) 
No entanto, devemos tomar o sinal positivo, pois ሾܴଵଶ ൅ ʹܴଵܴଶሿభమ ൐ ܴଵ. Logo: ்ܴ ൌ ܴଵ ൅ටܴଵଶ ൅ ʹܴଵܴଶ 
(25.4) 
 Questão 26
Axônios e cadeia atenuadora. A rede que se 
estende até o infinito da figura 25.1 denomina-se 
cadeia atenuadora, uma vez que nessa cadeia de 
resistores a diferença de potencial entre o fio 
superior e o fio inferior diminui, ou se atenua, ao 
longo do comprimento da cadeia. A) Mostre que, 
se a diferença de potencial entre os pontos a e b 
indicados na figura 25.1 é ௔ܸ௕, então a diferença 
de potencial entre os pontos c e d é dada por ௖ܸௗ ൌ ௔ܸ௕ ሺͳ ൅ ߚሻΤ , onde ߚ ൌ ʹܴଵሺ்ܴ ൅ ܴଶሻ ்ܴܴଵΤ 
e ்ܴ , a resistência total da rede, foi obtida na 
questão anterior (eq. (25.4)). B) Se a diferença de 
potencial entre os terminais a e b da extremidade 
esquerda da rede na figura 25.1 for ଴ܸ, mostre que 
a diferença de potencial entre pontos do fio 
superior e os pontos do fio inferior situados a uma 
distância igual a n segmentos da rede contados a 
partir da extremidade esquerda é dada por ௡ܸ ൌ ଴ܸ ሺͳ ൅ ߚሻ௡Τ . Considerando ܴଵ ൌ ܴଶ, quantos 
segmentos serão necessários para produzir uma 
redução da diferença de potencial ௡ܸ até um valor 
menor do que 1% do valor de ଴ܸ? C) Uma cadeia 
atenuadora infinita fornece um modelo para 
propagação de um pulso de voltagem ao longo de 
uma fibra nervosa conhecida como axônio. Cada 
segmento da rede na figura 25.1 representa um 
pequeno segmento do axônio com um 
comprimento οݔ. A resistência ܴଵ representa a 
resistência do fluido dentro e fora da parede da 
membrana do axônio. A resistência da membrana 
para uma corrente que flui através da parede é 
representada por ܴଶ. Para um segmento de axônio 
com um comprimento οݔ ൌ ͳǡͲ�ߤ݉ǡ ܴଵ ൌ ͸ǡͶ ήͳͲଷ�ȳ�‡�ܴଶ ൌ ͺǡͲ ή ͳͲ଼�ȳ (a parede da membrana é 
um bom isolante). Calcule ்ܴ e ߚ para um axônio 
infinitamente comprido. (Essa afirmação é boa, 
visto que o comprimento do axônio é muito maior 
do que sua largura; o maior axônio no sistema 
nervoso humano possui cerca de ͳ�݉ de 
comprimento, porém seu raio é aproximadamente 
igual a ͳͲି଻݉.) D) Qual é a fração da diminuição 
da diferença de potencial entre a parte interna e a 
parte externa do axônio depois de uma distância 
igual a 2,0 mm? A atenuação da diferença de 
potencial mostra que o axônio não pode ser 
simplesmente um cabo passivo conduzindo a 
corrente elétrica; a diferença de potencial deve ser 
periodicamente reforçada ao longo do 
comprimento do axônio pelo mecanismo do 
potencial de ação. E) O mecanismo do potencial de 
ação é lento, de modo que o sinal se propaga ao 
longo do axônio com uma velocidade de apenas ͵Ͳ�݉ ή ݏିଵ. Quando se torna necessária uma 
resposta mais rápida, o axônio é revestido com 
uma camada de material gorduroso denominado 
mielina. Os segmentos possuem comprimento 
aproximado de 2 mm e são separados por lacunas 
chamadas de nodos de Ranvier; os potenciais de 
ação são gerados somente nesses nodos. A mielina 
produz um aumento da resistência de um 
segmento de ͳǡͲ�ߤ݉ da membrana para ܴଶ ൌ ͵ǡ͵ ή ͳͲଵଶ�ȳ. Para esse axônio revestido com 
a camada de mielina, qual é a fração da diminuição 
da diferença de potencial entre a parte interna e 
parte externa do axônio depois de uma distância 
compreendida entre dois nodos de Ranvier 
consecutivos? Essa atenuação menor permite que 
o pulso chegue ao nodo seguinte com intensidade 
suficiente para gerar um novo potencial de ação; a 
velocidade de propagação aumenta porque o 
pulso se desloca como um sinal elétrico 
convencional nos segmentos que contêm mielina. 
 
 
www.profafguimaraes.net 
19 
Resolução: 
a) A diferença de potencial entre a e b é dada por: 
௔ܸ௕ ൌ ்ܴ݅ 
(26.1) 
A diferença de potencial entre c e d é dada por: 
௖ܸௗ ൌ ൬ ܴଶ்ܴܴଶ ൅ ்ܴ൰ ݅ 
(26.2) 
Utilizando (26.1) em (26.2), teremos: 
௖ܸௗ ൌ ௔ܸ௕ܴଶ ൅ ்ܴܴଶ 
(26.3) 
Agora, utilizando a primeira equação de (25.2), 
teremos: 
௖ܸௗ ൌ ௔ܸ௕ͳ ൅ ߚ Ǣ �ߚ ൌ ʹܴଵሺܴଶ ൅ ்ܴሻܴଶ்ܴ 
(26.4) 
b) Observa-se que para o primeiro segmento, 
temos de (26.4): 
ଵܸ ൌ ଴ܸͳ ൅ ߚ 
(26.5) 
Para o segundo segmento: 
ଶܸ ൌ ଵܸͳ ൅ ߚ ֜ ଶܸ ൌ ଴ܸሺͳ ൅ ߚሻଶ 
(26.6) 
E claro, considerando a rede infinita: 
௡ܸ ൌ ଴ܸሺͳ ൅ ߚሻ௡ 
(26.7) 
Agora, seja ܴଵ ൌ ܴଶ ൌ ܴ. Teremos: ்ܴ ൌ ܴ൫ͳ ൅ ξ͵൯ 
(26.8) 
 
Logo: 
 ߚ ؆ ʹǡ͹͵ 
(26.9) 
 
Utilizando (26.7) e (26.9), para 
௏೙௏బ ൌ ͳͲିଶ, 
teremos: 
 ͳͲିଶ ൌ ͳሺͳ ൅ ʹǡ͹͵ሻ௡�� ʹ Ž‘‰ ͳͲ ൌ ݊ Ž‘‰ ͵ǡ͹͵ �� ׵ ݊ ؆ ͵ǡͷͳ 
(26.10) 
 
Ou seja, cerca de 4 segmentos. 
 
c) Substituindo os dados, teremos: 
 ்ܴ ൌ ͵ǡʹͳ ή ͳͲ଺�ȳ��‡��ߚ ؆ ͶǡͲ ή ͳͲିଷ 
(26.11) 
 
Um segmento possui um comprimento de ͳǡͲ�ߤ݉ 
então 2,0 mm possui 2000 segmentos. Utilizando 
(26.7) e (26.11), teremos: 
 ଶܸ଴଴଴଴ܸ ൌ ͳሺͳ ൅ Ͷ ή ͳͲିଷሻଶ଴଴଴ ൌ ͵ǡͶ ή ͳͲିସ 
(26.12) 
 
d) Utilizando o novo valor para ܴଶ, teremos: 
 ்ܴ ൌ ʹͲͷǡͷ ή ͳͲ଺�ȳ�‡�ߚ ൌ ͸ǡʹʹ ή ͳͲିହ 
(26.13) 
 
Então: 
 ܸԢଶ଴଴଴଴ܸ ൌ ͳሺͳ ൅ ͸ǡʹʹ ή ͳͲିହሻଶ଴଴଴ ؆ Ͳǡͺͺ 
(26.14) 
 
 Questão 27
 
Um capacitor de alarme contra ladrões. A 
capacitância de um capacitor pode ser alterada 
por um material dielétrico que, embora fora do 
capacitor, esteja suficientemente próximo do 
capacitor para ser polarizado pelo campo elétrico 
existente nas bordas de um capacitor carregado. 
Esse efeito é da ordem de picofarads (pF), porém 
ele pode ser usado com um circuito eletrônico 
 
www.profafguimaraes.net 
20 
apropriado para detectar uma variação do 
material dielétrico que está na vizinhança do 
capacitor. Tal material dielétrico poderia ser o 
corpo humano, e esse efeito poderia ser usado 
para projetar um alarme contra ladrões. 
Considere o circuito simples indicado na figura 
27.1. A fonte de tensão possui fem ߝ ൌ ͳͲͲͲ�ܸ e o 
capacitor apresenta capacitância ܥ ൌ ͳͲǡͲ�݌ܨ. O 
circuito eletrônico para detectar a corrente, 
representado por um amperímetro no diagrama, 
possui resistência desprezível, sendo capaz de 
detectar uma corrente da ordem de pelo menos ͳǡͲͲ�ߤܣ e que persista por um tempo de pelo 
menos ʹͲͲ�ߤݏ depois que a capacitância mudar 
repentinamente de C para C’. O alarme contra 
ladrões é projetado para ser ativado quando a 
capacitância varia de 10%. A) Determine a carga 
no capacitor de ͳͲǡͲ�݌ܨ quando ele está 
plenamentecarregado. B) Supondo que o 
capacitor esteja plenamente carregado antes de o 
intruso ser detectado e desprezando o tempo 
necessário para produzir a variação de 
capacitância de 10%, deduza uma equação que 
forneça a corrente que passa em R em função do 
tempo t desde o momento em que a capacitância 
foi alterada. C) Determine o intervalo de valores 
para os quais a resistência R satisfaça as condições 
especificadas do alarme contra ladrões. O que 
ocorreria se o valor de R fosse demasiadamente 
pequeno? E se fosse muito grande? (Dica: Não há 
como resolver analiticamente o problema, porém 
é possível usar um método numérico. Expresse o 
valor de R como uma função logarítmica de R mais 
grandezas conhecidas. Comece com um valor 
estimado de R e calcule pela expressão um novo 
valor. Continue esse procedimento até obter um 
valor de R com três algarismos significativos.) 
Figura 27.1 
Resolução: 
a) A carga plena é dada por: 
ݍ଴ ൌ ܥߝ ൌ ͳͲି଼�ܥ 
(27.1) 
 
b) Alterando o dielétrico, altera-se a capacitância 
e consequentemente altera-se a carga do 
capacitor. Assim, aplicando a lei das malhas 
teremos: 
 ܴ݅ ൅ ݍԢܥԢ ൌ ߝ 
(27.2) 
 
Em que q’ e C’ são respectivamente a nova carga e 
a nova capacitância. Resolvendo a equação 
diferencial (27.2), com ݅ ൌ ௗ௤ᇱௗ௧ , teremos: 
 ݀ݍᇱ݀ݐ ൌ ܥᇱߝ െ ݍᇱܴܥᇱ �� න ݀ݍᇱܥᇱߝ െ ݍᇱ௤ᇲ௤బ ൌ න ݀ݐܴܥᇱ௧଴ �� Ž ܥᇱߝ െ ݍᇱܥᇱߝ െ ܥߝ ൌ െ ݐܴܥᇱ�� ׵ ݍᇱ ൌ ܥᇱߝ െ ߝοܥ݁ି ௧ோ஼ᇱ 
(27.3) 
 
Em que ݍ଴ é dada por (27.1) e οܥ ൌ ܥԢ െ ܥ. Logo, 
para a corrente, teremos: 
 ݅ ൌ ݀ݍԢ݀ݐ ൌ ߝοܥܴܥԢ ݁ି ௧ோ஼ᇱ 
(27.4) 
 
c) Utilizando os valores fornecidos, teremos, para 
(27.4): 
 Ž ͳǡͳܴ ή ͳͲି଼ ൌ െʹ ή ͳͲ଻ͳǡͳܴ 
(27.5) 
 
Para satisfazer a equação (27.5), temos que: 
 Ž ͳǡͳܴ ή ͳͲି଼ ൏ Ͳ ֜ͳǡͳܴ ή ͳͲି଼ ൏ ͳ�� ׵ ܴ ൏ ͻǡͲͻͳ ή ͳͲ଻ȳ 
(27.6) 
 
E de forma um tanto óbvia, R > 0. Podemos 
determinar os valores de R que satisfaçam a 
equação (27.5) construindo os gráficos das duas 
funções. 
ߝ 
ܴ 
ܥ 
A 
 
www.profafguimaraes.net 
21 
Sejam ݂ሺܴሻ ൌ Ž ͳǡͳܴ ή ͳͲି଼ �‡���݃ሺܴሻ ൌ െ ଶήଵ଴ళଵǡଵோ . 
Para os gráficos, teremos: 
 
As curvas se cruzam nos pontos em que ܴ ؆ ͹ǡͳ ή ͳͲ଺�ȳ�‡�ܴ ؆ ͹ǡͲ ή ͳͲ଻ȳ. O gráfico foi 
construindo a partir de uma planilha. Esse 
processo não é muito preciso. No entanto nos 
fornece uma boa aproximação. 
Agora, utilizando o seguinte algoritmo em C++, 
é possível encontrar os valores aproximados 
acima citados com maior precisão. 
// 
// Programa para calcular o valor da resistência para o alarme de presença 
// 
#include <cstdio> 
#include <cstdlib> 
#include <iostream> 
#include <cmath> 
using namespace std; 
int main(int nNumberofArgs, char* pszArgs[]) 
{ 
double nL = 1.0; 
double Delta = 1.0e-8; 
while (nL < 9.0e+7) 
{ 
double A = (1.1e-8)*nL; 
double B = -2.0e+7/(1.1*nL); 
double Dif = log(A) - B; 
if (Dif < Delta && Dif > -Delta) 
{ 
cout << log(A) << endl; 
cout << B << endl; 
cout << nL << endl; 
} 
nL = nL + 1.0; 
} 
system ("PAUSE"); 
return 0; 
} 
Os valores encontrados com esse algoritmo são: ܴ ؆ ͹ǡͳͷͳ ή ͳͲ଺�ȳ�‡�ܴ ؆ ͹ǡͲͳͷ ή ͳͲ଻ȳ 
(27.7) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-4
-3
-2
-1
0
1
5,00E+00 5,50E+01
Milhões 
f(R)
g(R)